附有約束條件的整周模糊度解算

陳炳權(quán)，何凱，劉宏立

湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，長沙 410082

附有約束條件的整周模糊度解算

陳炳權(quán)，何凱，劉宏立

湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，長沙 410082

載波相位測量的相對精度目前可以達(dá)毫米級，其周期性造成了模糊度無法確知，必須對其進(jìn)行解算。傳統(tǒng)的模糊度解算方法精度雖然較高但耗時(shí)，無法滿足實(shí)時(shí)動態(tài)定位；附有幾何約束算法的定位速度雖然較高，但由于基線先驗(yàn)信息的誤差導(dǎo)致可靠性不高。提出了一種模糊度的解算方法，通過對基線向量的約束提高模糊度解算速度，該算法即使在先驗(yàn)信息出現(xiàn)一定誤差的情況下，依然能較準(zhǔn)確地估算模糊度，從而保證模糊度解算結(jié)果的可靠性。仿真結(jié)果表明：該算法能有效地提高整周模糊度解算效率，并且具有一定的容錯(cuò)力，適合于動態(tài)定位。

整周模糊度；基線向量；全球定位系統(tǒng)（GPS）；模糊度解算

1 引言

GPS高精度定位的關(guān)鍵技術(shù)之一就是載波相位測量，其絕對定位精度和相對精度可分別達(dá)到厘米級和毫米級。然而載波相位測量存在整周模糊度問題，對其解算是實(shí)現(xiàn)利用載波測量進(jìn)行GPS高精度動態(tài)定位的關(guān)鍵。

借助雙差方程[1]進(jìn)行模糊度解算可以減小電離層、對流層、軌道、衛(wèi)星和接收機(jī)時(shí)鐘的誤差，當(dāng)求得了初始時(shí)刻的雙差整周模糊度后，利用雙差載波相位測量值和接收機(jī)到衛(wèi)星的單位矢量就可以求得高精度的基線向量坐標(biāo)，從而有效地實(shí)現(xiàn)高精確定位功能。然而，在雙差方程解算過程中，由于原始雙差模糊度搜索空間的模糊度之間的高度相關(guān)性，勢必造成模糊度條件方差之間存在突變，可能引入大量錯(cuò)誤的候選整數(shù)矢量，造成模糊度搜索范圍的急劇增大，從而引起運(yùn)算量急劇增大，最終影響模糊度的解算效率。

考慮用基線作為一個(gè)向量，其基線傾角對于模糊度搜索也會產(chǎn)生影響。本文在LAMBDA傳統(tǒng)算法基礎(chǔ)上，通過參數(shù)轉(zhuǎn)化，在方程中引入基線傾角，利用最大后驗(yàn)概率估計(jì)進(jìn)行處理。仿真結(jié)果證明：即使在基線向量的先驗(yàn)信息存在一定誤差的條件下，該算法相比其他算法依然能夠較準(zhǔn)確地排除搜索錯(cuò)誤候選組，增強(qiáng)解算的可靠性，同時(shí)減小模糊度搜索區(qū)域，提高了模糊度解算效率和可靠性。

2 數(shù)學(xué)模型的建立

對于雙差觀測方程[1]，第k顆衛(wèi)星載波頻率為f，則其載波相位觀測方程為[5]：

將式（2）進(jìn)行多頻線性擬合，利用Henkel矩陣對其進(jìn)行優(yōu)化[7]，則雙差觀測值可以表示為：

其中，EK表示第k顆衛(wèi)星到接收機(jī)的單位向量；N為整周模糊度；ε為觀測噪聲；ξ為接收機(jī)和參考點(diǎn)之間的基線向量。對于基線向量ξ可以在球坐標(biāo)中表示為：

由整周模糊度的整數(shù)性質(zhì)可知矩陣A為：

觀測噪聲ε服從白高斯噪聲分布。

3 整周模糊度解算

采用載波相位進(jìn)行定位的核心問題就是整周模糊度的解算問題，模糊度求解公認(rèn)的經(jīng)典方法[8-12]有：經(jīng)典待定系數(shù)法；最小二乘搜索算法（LSST）；模糊度快速法（FARA）；模糊度最小二乘去相關(guān)平差法（Least-squares AM Biguity Decorrelation Adjustment method，LAMBDA法）。其中LAMBDA算法對于整周模糊度的解算一般分為3步：（1）在非約束條件下，利用常規(guī)無約束最小二乘問題得到模糊度參數(shù)浮點(diǎn)解；（2）利用模糊度參數(shù)基線求向量參數(shù)浮點(diǎn)解；（3）將模糊度和向量2個(gè)浮點(diǎn)解作為輸入量，求解模糊度向量的整數(shù)最小二乘解，并利用相應(yīng)的殘差值對最初得到的基線向量浮點(diǎn)解進(jìn)行平差，最終得到基線向量固定解。

本項(xiàng)目使用的混凝土平倉推土機(jī)有兩類，分別為D31p-18A和D65P-8，二者均產(chǎn)自日本；所使用的倉面碾壓設(shè)備有三類，包括BW200、BW202AD和BW75S，三者均產(chǎn)自德國。檢測設(shè)備有DN-40中子儀和TS-600VC值測量儀。

本文首先求解非約束條件下模糊度浮點(diǎn)和參數(shù)浮點(diǎn)解，然后使用約束條件(ν1，ν2，l)等先驗(yàn)信息結(jié)合浮點(diǎn)解進(jìn)行模糊度搜索，將{N^}作為搜索候選值，對于每個(gè)候選值N^，利用牛頓迭代對基線參量進(jìn)行計(jì)算，通過平差檢驗(yàn)得到基線參量的固定解。

由上述可知：基線向量的先驗(yàn)信息在第2步模糊度搜索和第3步基線向量的解算中均要使用，對于本文研究的動態(tài)定位，觀測值不能確定，采用軟約束模型。對于軟約束模糊度解算模型，通常使用最大似然概率估計(jì)或者最大后驗(yàn)概率估計(jì)，最大后驗(yàn)概率估計(jì)可以通過引入?yún)?shù)先驗(yàn)概率結(jié)合似然度選擇最佳參數(shù)。本文采用后者，對于給定的測量值概率，對參數(shù)ν1，ν2，l進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)后確定這些參數(shù)。對于給定的ψ，由貝葉斯公式[13-14]可知：

假設(shè)參數(shù)ν1，ν2，l都服從方差已知的高斯分布，則

雙差測量概率分布變?yōu)椋?/p>

由上述分析可知，利用對數(shù)關(guān)系，式（8）的最大化可以等同于下式：

由式（13）可知，對于模糊度的確定可以分為2步：應(yīng)用樹形搜索算法搜索候選值N；對應(yīng)每個(gè)候選值N運(yùn)用迭代法計(jì)算基線向量參數(shù)ν1，ν2，l。

對整周模糊度組合值進(jìn)行搜索的目的在于找到向量N，使其滿足：

其中S為Hesse矩陣，且表達(dá)式為：

4 仿真分析

為了驗(yàn)證本文提出方法的有效性和可靠性，利用MATLAB軟件對本改進(jìn)算法進(jìn)行仿真，算法仿真流程圖如圖1所示，選取短基線長度為30 km，可見衛(wèi)星數(shù)目為6顆。對于短基線，其雙差模式下的觀測方程消除了大部分的系統(tǒng)誤差，剩下的誤差主要為觀測誤差。

本文仿真的輸入數(shù)據(jù)為某一歷元所實(shí)際記錄的6維實(shí)數(shù)模糊度浮動解向量和其相應(yīng)的方差協(xié)方差矩陣，其表示某一歷元對6顆衛(wèi)星同時(shí)進(jìn)行載波相位跟蹤。輸入的模糊度實(shí)數(shù)解如表1所示，而其相應(yīng)的方差協(xié)方差矩陣如表2所示。

圖1 仿真流程圖

表1 模糊度實(shí)數(shù)解

由算法流程及上述原理可知：由于搜索空間和模糊度之間的高度相關(guān)性，所以首先需要對實(shí)數(shù)模糊度矢量進(jìn)行去相關(guān)處理（包括了整數(shù)Z變換和喬累斯分解），降低矢量元素之間的相關(guān)性，為后續(xù)處理的實(shí)時(shí)性提供保障，之后通過分解優(yōu)化后的分解矩陣及相關(guān)先驗(yàn)信息進(jìn)行模糊度搜索空間的確定，搜索空間確定后就固定模糊解。通過附加一定的約束條件快速地排除空間中錯(cuò)誤的候選組，而這些約束條件由于是估計(jì)值，其或多或少會出現(xiàn)一定的偏差，因此模糊度候選值錯(cuò)誤率是檢驗(yàn)?zāi)：冉馑闼惴煽啃缘囊粋€(gè)重要指標(biāo)，本文通過對傳統(tǒng)非約束、緊約束和本文約束所解算的模糊度搜索候選組的錯(cuò)誤率進(jìn)行仿真，比較結(jié)果如圖2所示。由圖2可知：如果對于先驗(yàn)約束信息估計(jì)較為準(zhǔn)確，即偏差大?。肌?0 cm時(shí)，使用傳統(tǒng)的基線約束方法，模糊度錯(cuò)誤組合概率比本文提出的方法和非約束方法高了2至3個(gè)數(shù)量級，遠(yuǎn)優(yōu)于這兩種算法。但是當(dāng)基線先驗(yàn)信息出現(xiàn)的誤差＞60 cm時(shí)，后兩種算法相比前者高出2至3個(gè)數(shù)量級，從而高于傳統(tǒng)算法。對于動態(tài)定位而言先驗(yàn)基線信息的精確度會出現(xiàn)一定的誤差，相比傳統(tǒng)的緊約束算法本文提出的方法和非約束算法的排錯(cuò)性能更好更適合于動態(tài)高精確定位。

表2 模糊度方差協(xié)方差矩陣

圖2 錯(cuò)誤候選值概率仿真

搜索過程是算法中最為耗時(shí)的部分，模糊度組合的多少決定了模糊度搜索耗時(shí)的長短，通過模糊度組合的遍歷搜索，最終得出最優(yōu)解和次優(yōu)解，因此模糊度的搜索范圍變化速度也是考量模糊度解算算法效率的重要指標(biāo)，本文對計(jì)算過程中搜索范圍組的變化進(jìn)行仿真，記錄結(jié)果如圖3所示。通過分析圖3可知，通過2次仿真測試，由于基線約束使得初始時(shí)刻的模糊度實(shí)驗(yàn)組合不多，因此對于N值的搜索范圍大幅地減小為3 000組左右，通過10 s左右的搜索2次實(shí)驗(yàn)均能得到最優(yōu)解和次優(yōu)解，而通過參閱文獻(xiàn)可知未加改進(jìn)LAMBDA算法其搜索時(shí)間一般在30～60 s，而傳統(tǒng)模糊度函數(shù)法等則需要更長的時(shí)間。由此可知本算法在解算效率上有一定的提升。

圖3 模糊度搜索范圍

5 結(jié)論

綜上述分析，本文力求在解算效率和解算的可靠性上尋求一種有效的算法。仿真結(jié)果表明：模糊度的解算算法在解算效率和解算可靠性上取得了較好的優(yōu)勢，適合于較高精度的GPS動態(tài)動態(tài)定位，對于GPS載波相位動態(tài)定位的研究具有一定的理論價(jià)值和實(shí)用價(jià)值。

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CHEN Bingquan,HE Kai,LIU Hongli

College of Electrics and Information Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China

The relative precision of carrier phase measurement can reach millimeter, but its periodicity causes the uncertainty of its ambiguity, so it is necessary to calculate its ambiguity. The traditional calculating method is highly precise but time-consuming which can not satisfy dynamic positioning. The geometric constraint algorithm has relatively high positioning speed, but due to the error of baseline apriori information, it is less reliable. Accordingly, a new ambiguity calculating method is proposed in this paper, which can increase the calculating speed through the baseline vector constraints, and even with the error of apriori information, assure the reliability. Simulation results show the method can effectively increase the calculating efficiency, is fault-tolerant and is suitable for dynamic positioning.

integer ambiguity; baseline vector; Global Positioning System（GPS）; ambiguity calculation

CHEN Bingquan, HE Kai, LIU Hongli. Integer ambiguity calculation with constraint condition. Computer Engineering and Applications, 2014, 50（17）：210-213.

A

TN911

10.3778/j.issn.1002-8331.1211-0128

國家自然科學(xué)基金（No.61172089）；湖南省自然科學(xué)基金（No.12GJ6055）；湖南省科技廳科技計(jì)劃項(xiàng)目（No.2010FJ4107）。

陳炳權(quán)（1972—），男，博士研究生，副教授，主要從事模式識別、信號處理與智能控制等方面研究；何凱（1985—），男，助理工程師，主要從事嵌入式系統(tǒng)開發(fā)研究；劉宏立（1963—），男，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)槎嗝襟w信息處理與傳輸技術(shù)、現(xiàn)代通信與網(wǎng)絡(luò)和嵌入式系統(tǒng)應(yīng)用。

2012-11-12

2013-01-31

1002-8331（2014）17-0210-04

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2013-02-20,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130220.1555.006.htm l