神經(jīng)元HR模型簇放電活動(dòng)的計(jì)算機(jī)仿真

周毅

（淮南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，安徽淮南 232038）

神經(jīng)元HR模型簇放電活動(dòng)的計(jì)算機(jī)仿真

周毅

（淮南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，安徽淮南 232038）

針對(duì)神經(jīng)元HR模型，通過數(shù)值仿真，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)出現(xiàn)4種不同的轉(zhuǎn)遷行為。運(yùn)用快慢動(dòng)力學(xué)理論，將這些神經(jīng)元簇放電活動(dòng)歸結(jié)為4類不同的模式：fold/fold滯后環(huán)fold/SupHopf型、fold/fold滯后環(huán)SupHopf/SupHopf型、fold/fold點(diǎn)-點(diǎn)滯后環(huán)型、fold/homoclinic滯后環(huán)的fold/homoclinic型，并探討它們的動(dòng)力學(xué)行為和產(chǎn)生機(jī)制。

神經(jīng)元；仿真；簇放電；分岔；快慢動(dòng)力學(xué)

生物神經(jīng)系統(tǒng)是由數(shù)量龐大的神經(jīng)元組成的結(jié)構(gòu)復(fù)雜的一類信息網(wǎng)絡(luò)，它通過神經(jīng)元的發(fā)放對(duì)接收到的信息進(jìn)行處理、編碼、整合繼而轉(zhuǎn)變?yōu)樯窠?jīng)沖動(dòng)，并以此聯(lián)絡(luò)和調(diào)節(jié)生物各系統(tǒng)和器官的功能。因而神經(jīng)元的電活動(dòng)在機(jī)體功能調(diào)節(jié)系統(tǒng)中起著舉足輕重的作用。

作為神經(jīng)系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)和功能單位的神經(jīng)元，能夠感受外界刺激和傳導(dǎo)興奮。研究者在很多電生理實(shí)驗(yàn)中都發(fā)現(xiàn)：在不同幅度的外界直流激勵(lì)或者不同的Ca2+離子濃度下神經(jīng)元能表現(xiàn)出模式眾多的放電行為，如混沌的峰放電或周期性的簇放電等。在新興的交叉學(xué)科神經(jīng)動(dòng)力學(xué)的眾多研究領(lǐng)域中，神經(jīng)元簇放電活動(dòng)的非線性行為、動(dòng)力學(xué)特性以及模式劃分一直都是研究重點(diǎn)①BELYKH V.N.BELYKH I.V.COLDING J.M.etc.Homoclinic bifurcations leading to the emergence of bursting oscillations in cell models.Eur.Phys.2000,3.pp.205-219；楊卓琴，陸啟韶：《神經(jīng)元Chay模型中不同類型的簇放電模式》，《中國科學(xué)G輯:物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)》2007年第37期，第440-450頁；張艷嬌,李美生,陸啟韶：《ML神經(jīng)元的放電模式及時(shí)滯對(duì)神經(jīng)元同步的影響》，《動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)》2009年第7期，第19-22頁。。生物體內(nèi)神經(jīng)元的簇放電活動(dòng)是不盡相同的，并且不同類型簇放電模式的計(jì)算性質(zhì)和動(dòng)力學(xué)機(jī)制也是各不相同的②CHRISTOPHER P..F.Computational cell biology.Springer,2002.。由于神經(jīng)元電活動(dòng)的高度非線性，這一方面的結(jié)論仍然需要進(jìn)一步完善。本文主要針對(duì)神經(jīng)元Hindmarsh-Rose(HR)模型③HINDMARSH J.L.ROSE R.M.A model of neuronal bursting using three coupled first order differential equations.Proc R Soc.London Ser.B.,1984,221.pp.87-102.，利用計(jì)算機(jī)仿真④IZHIKEVICH E.M.Mathematical foundations of neuroscience.Springer,2010；BARD E.Simulating,analyzing,and animating dynamical systems.Springer,2002；周毅：《神經(jīng)元Morris-Lecar模型簇放電活動(dòng)的分岔研究》，《長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)》（自然科學(xué)）2012年第4期，第427-431頁；周毅：《神經(jīng)元Chay模型簇放電活動(dòng)的分岔研究》，《赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)》（自然科學(xué)）2012年第11期，第23-25頁；李遠(yuǎn)華：《非興奮型生物細(xì)胞內(nèi)鈣離子濃度振蕩的數(shù)值仿真》，《淮南師范學(xué)院學(xué)報(bào)》2011年第3期，第1-3頁。的方法來研究其簇放電活動(dòng)。

1 模型

Hindmarsh和Rose根據(jù)由電壓鉗實(shí)驗(yàn)獲得的關(guān)于池塘蝸牛神經(jīng)細(xì)胞的數(shù)據(jù)，于1982年提出了最初的Hindmarsh-Rose(HR)神經(jīng)元模型。1984年他們?cè)趯?shí)驗(yàn)中觀察到，蝸牛的腦神經(jīng)起初處于靜息狀態(tài)而不放電，當(dāng)輸入短的去極化電流脈沖后，會(huì)產(chǎn)生一簇比輸入電流持續(xù)時(shí)間更長(zhǎng)的動(dòng)作電位。為了解釋該現(xiàn)象，他們將模型進(jìn)一步修改為以下形式：

其中x代表神經(jīng)元的膜電壓，y是與內(nèi)電流（如Na+離子或K+離子）相關(guān)聯(lián)的恢復(fù)變量，z是與Ca2+離子激活的K+離子電流相關(guān)的慢變調(diào)節(jié)電流。a,b,c,d,r,s以及x0都是系統(tǒng)參數(shù)，I為外界直流激勵(lì)。我們把全系統(tǒng)分成由方程（1）和（2）構(gòu)成的快系統(tǒng)，而把方程（3）作為慢系統(tǒng)。在快慢動(dòng)力學(xué)分岔分析中，分岔參數(shù)取為慢變量Z。

2 仿真與分析

2.1 經(jīng)由fold/fold滯后環(huán)fold/SupHopf型簇放電

系統(tǒng)中各參數(shù)取值如下：

快系統(tǒng)（1）-（2）的平衡點(diǎn)形成如圖1(b)所示的Z形分岔曲線，并將圖1(a)對(duì)應(yīng)的相圖也疊加于圖1(b)中。Z形分岔曲線中支和下支分別由鞍點(diǎn)和穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)構(gòu)成，Lp1、Lp2為fold分岔點(diǎn)。Z形分岔曲線上支的穩(wěn)定焦點(diǎn)隨著慢變量Z的增加，經(jīng)由SupHopf分岔點(diǎn)H1失穩(wěn)轉(zhuǎn)變?yōu)榘包c(diǎn)，再經(jīng)由SupHopf分岔點(diǎn)H2轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定的焦點(diǎn)。與此同時(shí)，穩(wěn)定周期軌在不穩(wěn)定的焦點(diǎn)周圍產(chǎn)生。

由圖1（b）的快慢動(dòng)力學(xué)分岔分析（按順時(shí)針方向跟蹤相軌線）：當(dāng)快系統(tǒng)的分岔參數(shù)Z逐漸減小時(shí)，位于快系統(tǒng)分岔曲線下支的下靜息狀態(tài)經(jīng)由fold分岔（Lp1）消失，同時(shí)由于分岔曲線上支的穩(wěn)定周期軌的吸引作用，系統(tǒng)的上狀態(tài)即穩(wěn)定的簇放電開始。隨著Z的增大，穩(wěn)定的簇放電經(jīng)SupHopf分岔點(diǎn)結(jié)束，而此時(shí)由于上支穩(wěn)定焦點(diǎn)的吸引，簇放電以振幅逐漸衰減的方式振蕩減弱，最后經(jīng)由fold分岔點(diǎn)（Lp2）轉(zhuǎn)遷到簇放電的下狀態(tài)。

圖1 （a）膜電壓的時(shí)序圖;（b）快慢動(dòng)力學(xué)分岔圖

因此，在上述參數(shù)條件下，系統(tǒng)的簇放電模式應(yīng)為經(jīng)由fold/fold滯后環(huán)的fold/SupHopf型。

2.2 經(jīng)由fold/fold滯后環(huán)SupHopf/SupHopf型簇放電

當(dāng)a=1，b=2，c=1.2，d=5,r=0.01，s=4,x0=-1.6，i=4時(shí)。

由圖2（b）可見，由于分岔參數(shù)Z的減小，對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)構(gòu)成的分岔曲線下支的下靜息狀態(tài)，經(jīng)由fold分岔（Lp1）轉(zhuǎn)遷到由穩(wěn)定焦點(diǎn)構(gòu)成的分岔曲線上支的簇放電上狀態(tài)。由于穩(wěn)定焦點(diǎn)的吸引作用，振幅在逐漸衰減，當(dāng)經(jīng)過SupHopf分岔（H1）后，系統(tǒng)被穩(wěn)定周期軌吸引開始持續(xù)的簇振蕩。隨著分岔參數(shù)Z增加，放電狀態(tài)對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定周期軌經(jīng)由SupHopf分岔（H2）成為穩(wěn)定的焦點(diǎn)。同樣因?yàn)榉€(wěn)定焦點(diǎn)的吸引放電狀態(tài)結(jié)束。

導(dǎo)致滯后環(huán)產(chǎn)生的分岔分別為：簇放電的下狀態(tài)結(jié)束、上狀態(tài)開始時(shí)經(jīng)過的Lp1，以及簇放電的上狀態(tài)轉(zhuǎn)遷到下狀態(tài)時(shí)碰到的Lp2。

圖2 （a）膜電壓的時(shí)序圖；（b）快慢動(dòng)力學(xué)分岔圖

由此簇放電模式的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)可知其為經(jīng)由fold/fold滯后環(huán)的SupHopf/SupHopf型簇放電。

2.3 fold/fold點(diǎn)-點(diǎn)滯后環(huán)型簇放電

系統(tǒng)中各參數(shù)取值如下：

如圖3（b），由于快系統(tǒng)分岔曲線上不存在Hopf點(diǎn)，所以引發(fā)持續(xù)放電行為的穩(wěn)定周期軌同樣是不存在的，從而該系統(tǒng)中不存在導(dǎo)致放電狀態(tài)開始或結(jié)束的分岔。此時(shí)的點(diǎn)-點(diǎn)滯后環(huán)由分岔曲線上支穩(wěn)定焦點(diǎn)代表的上狀態(tài)與下支的穩(wěn)定焦點(diǎn)代表的下狀態(tài)構(gòu)成。

圖3 （a）膜電壓的時(shí)序圖;（b）快慢動(dòng)力學(xué)分岔圖

我們按順時(shí)針方向跟蹤相軌線，由穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)構(gòu)成的分岔曲線下支對(duì)應(yīng)的下靜息狀態(tài)經(jīng)由fold分岔（Lp1）結(jié)束，轉(zhuǎn)遷到由穩(wěn)定焦點(diǎn)構(gòu)成的分岔曲線上支，即上靜息態(tài)。隨著分岔參數(shù)Z的增加，上靜息狀態(tài)又經(jīng)由fold分岔（Lp2）轉(zhuǎn)遷到下靜息態(tài)。由此，一個(gè)經(jīng)由穩(wěn)定的上靜息態(tài)和穩(wěn)定的下靜息狀態(tài)之間的相互轉(zhuǎn)遷而產(chǎn)生的點(diǎn)-點(diǎn)滯后環(huán)出現(xiàn)了。由此簇放電模式表現(xiàn)出的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)可知其為fold/ fold點(diǎn)-點(diǎn)滯后環(huán)型。

2.4 經(jīng)由fold/homoclinic滯后環(huán)的fold/homoclinic型簇放電

系統(tǒng)中各參數(shù)取值如下：

由圖4（b）的快慢動(dòng)力學(xué)分岔圖，在快系統(tǒng)的分岔參數(shù)Z逐漸減小的過程中，位于由穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)構(gòu)成的分岔曲線下支所對(duì)應(yīng)的下靜息狀態(tài)經(jīng)由fold分岔（Lp1）結(jié)束，進(jìn)而轉(zhuǎn)遷到分岔曲線上支，系統(tǒng)開始簇放電活動(dòng)。接下來，相軌線隨著Z增大經(jīng)由鞍點(diǎn)同宿軌分岔（Hc）回到中支處的鞍點(diǎn)，并進(jìn)一步轉(zhuǎn)遷到下靜息態(tài)，放電結(jié)束.由分析可知，導(dǎo)致靜息態(tài)結(jié)束、引發(fā)簇放電開始的分岔是fold分岔Lp1；簇放電狀態(tài)完結(jié)的分岔是鞍點(diǎn)同宿軌分岔Hc。另外，引起滯后環(huán)的分岔，即從下靜息態(tài)到上部簇振蕩狀態(tài)和從上狀態(tài)到下靜息態(tài)的分岔仍然是fold分岔和鞍點(diǎn)同宿軌分岔（Hc）。

圖4.（a）膜電壓的時(shí)序圖;（b）快慢動(dòng)力學(xué)分岔圖

由此簇放電模式的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)知其為fold/homoclinic滯后環(huán)的fold/homoclinic型簇放電。

3 結(jié)論

神經(jīng)系統(tǒng)的信息傳遞主要靠神經(jīng)元的放電活動(dòng)，而周期性簇放電由于振幅與頻率的多變，成為主導(dǎo)方式。不同類型的簇放電模式其轉(zhuǎn)遷機(jī)制也是不一樣的。本文通過計(jì)算機(jī)仿真的方法，應(yīng)用Matlab等軟件，數(shù)值模擬了電生理實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到的4種典型簇放電模式：fold/fold滯后環(huán)fold/SupHopf型、fold/fold滯后環(huán)SupHopf/SupHopf型、fold/fold點(diǎn)-點(diǎn)滯后環(huán)型、fold/homoclinic滯后環(huán)fold/homoclinic型。針對(duì)模型中的雙時(shí)間尺度，運(yùn)用快慢動(dòng)力學(xué)理論，研究了不同放電行為轉(zhuǎn)遷機(jī)制的成因，并按Izhikevich的分類方法給出了其類型。然而由于噪聲以及時(shí)滯等因素的影響，實(shí)驗(yàn)中獲得的簇放電模式異常龐雜，這就需要我們對(duì)神經(jīng)元模型做出改進(jìn)以符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果。同時(shí)由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性，不同耦合方式的動(dòng)力系統(tǒng)中的放電活動(dòng)也是需要進(jìn)一步研究的內(nèi)容。

Computer simulation of neuron bursting in HR model

ZHOU Yi

Four types of bursting pattern were simulated in the HR model.They are fold/SupHopf bursting via fold/fold hysteresis loop,SupHopf/SupHopf bursting via fold/fold hysteresis loop,fold/fold bursting via point-point hysteresis loop,and fold/homoclinic bursting via fold/homoclinc hysteresis loop.The dynamical behavior and mechanisms of them were also studied.

neuron;simulation;bursting;bifurcation;fast-slow dynamics

O193

A

1009-9530（2014）05-0097-03

2014-03-03

安徽高校省級(jí)自然科學(xué)研究項(xiàng)目（KJ2013Z309）；淮南師范學(xué)院青年教師基金（2012LK17，2012LK18）

周毅（1979-），男，淮南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系助教，碩士，主要研究方向：計(jì)算機(jī)仿真，穩(wěn)定性與分岔。