拋物線指數(shù) n＞2型斷面正常水深計(jì)算通式

陳 萍，滕 凱

（1.齊齊哈爾市水政監(jiān)察大隊(duì)，黑龍江齊齊哈爾161006；2.齊齊哈爾市水務(wù)局，黑龍江齊齊哈爾161006）

拋物線指數(shù) n＞2型斷面正常水深計(jì)算通式

陳 萍1，滕 凱2

（1.齊齊哈爾市水政監(jiān)察大隊(duì)，黑龍江齊齊哈爾161006；2.齊齊哈爾市水務(wù)局，黑龍江齊齊哈爾161006）

針對(duì)拋物線n＞2型斷面正常水深求解涉及不可積分函數(shù)及超越方程計(jì)算，引入二次拋物線近似積分法及優(yōu)化擬合法，經(jīng)逐次逼近擬合，獲得了表達(dá)形式簡(jiǎn)單、計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)捷，實(shí)用范圍廣、便于工程設(shè)計(jì)人員實(shí)際應(yīng)用的近似計(jì)算通式。誤差分析及算例計(jì)算表明，在工程實(shí)用范圍內(nèi)，該通式的最大計(jì)算相對(duì)誤差僅為0.841%，完全滿(mǎn)足工程的設(shè)計(jì)精度要求，具有推廣應(yīng)用價(jià)值。

拋物線型渠道；正常水深；優(yōu)化擬合；水力計(jì)算

隨著拋物線型斷面渠道在水利水電灌排及城市供排水工程中的廣泛應(yīng)用［1－2］，有關(guān)該種斷面水力計(jì)算方法簡(jiǎn)化方面［3－7］的研究成果已取得較大進(jìn)展，較好地解決了常規(guī)計(jì)算方法存在的不足，也得到了實(shí)際工程設(shè)計(jì)中的推廣及應(yīng)用。由于當(dāng)拋物線方程指數(shù) n＞2時(shí)的正常水深計(jì)算涉及不可積分函數(shù)，且為超越方程，因此，到目前為止，有關(guān)拋物線型斷面渠道正常水深簡(jiǎn)化計(jì)算方面的研究也僅限于半立方拋物線及二次拋物線型兩種斷面［8－9］，而在實(shí)際工程中，由于受地形、地質(zhì)及過(guò)流條件的制約，拋物線類(lèi)渠道斷面可能是指數(shù)大于1的任意一種拋物線曲線［10］。因此，尋求一個(gè)簡(jiǎn)化通式，實(shí)現(xiàn)對(duì)指數(shù)n＞2時(shí)任意一種拋物線型斷面渠道正常水深簡(jiǎn)化計(jì)算，具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

由于拋物線方程指數(shù) n＞2型渠道斷面正常水深計(jì)算涉及不可積分函數(shù)且為超越方程求解，采用常規(guī)的解析法無(wú)法完成，而由計(jì)算機(jī)編程求解又不便基層工程技術(shù)人員實(shí)際工作。本文首先利用二次拋物線近似積分法完成了不可積函數(shù)的積分計(jì)算，進(jìn)而完成n＞2時(shí)拋物線型渠道斷面正常水深無(wú)量綱參數(shù)的計(jì)算，并依據(jù)參數(shù)關(guān)系采用優(yōu)化擬合的方法［11－12］，以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)，經(jīng)逐次逼近擬合，獲得了一種表達(dá)式較為簡(jiǎn)捷、實(shí)用范圍廣、計(jì)算精度較高的近似計(jì)算通式，便于實(shí)際推廣應(yīng)用。

1 正常水深基本計(jì)算公式

以曼寧公式表示的明渠均勻流方程為［13］：

式中：Q為過(guò)水流量（m3／s）；n′為渠床糙率；i為渠底坡降；A為過(guò)水?dāng)嗝婷娣e（m2）；X為過(guò)水濕周（m）。拋物線型斷面曲線方程為：

式中：a為拋物線型斷面形狀參數(shù)；n為拋物線指數(shù)。

其過(guò)水?dāng)嗝婷娣e及濕周為：

式中：a為拋物線形狀參數(shù)（m2）；B為過(guò)水?dāng)嗝嫠鎸挾鹊囊话耄╩）。在式（4）中，僅當(dāng)指數(shù)n為個(gè)別值時(shí)（如n＝1.5及2.0）函數(shù)可以完成積分，通常情況下均無(wú)法通過(guò)常規(guī)完成積分。為此，采用二次拋物線近似法完成對(duì)式（4）的積分，其計(jì)算公式為：

在式（3）、式（5）及式（6）中，設(shè)：

將式（3）、式（7）～式（9）代入式（1）經(jīng)進(jìn)一步整理可得：

式中：k為已知綜合參數(shù)；z、S均為中間變量。

由文獻(xiàn)［1］、文獻(xiàn)［2］可知，當(dāng)拋物線方程指數(shù)n＝1.5及2.0時(shí)，斷面水力最優(yōu)參數(shù)分別為：a4／3＝0.981642和 ah0＝0.946732，經(jīng)整理也可分別表示為：z＝aB0.5＝0.9908和z＝aB＝0.9730。而當(dāng)2＜n≤5.5時(shí)，采用文獻(xiàn)［1］、文獻(xiàn)［2］同樣的方法可求得，相應(yīng)斷面的水力最優(yōu)參數(shù)范圍為0.9212≤z≤0.9730。在實(shí)際工程中，為盡量降低工程造價(jià)，其斷面水力參數(shù)一般均取接近最優(yōu)參數(shù)，因此，本文將有關(guān)水力參數(shù)確定為2.0＜n≤5.5，0.25≤z＜4.0，0.001＜k＜40.0。

當(dāng)n為已知，通過(guò)設(shè)定N值，選取不同的z，即可由式（5）完成積分的近似計(jì)算。為有效提高計(jì)算精度，在進(jìn)行N的取值時(shí)，將N的每次增加幅度取為6，并將上一次與本次X計(jì)算值的相對(duì)誤差小于0.01%時(shí)作為最終N的取值。N值確定后，利用式（10）即可根據(jù)已知的綜合參數(shù)k通過(guò)試算法求得z，進(jìn)而由下式求得正常水深h0，即：

2 正常水深簡(jiǎn)化通式的建立及精度分析

2.1 簡(jiǎn)化通式的建立

因式（10）為超越方程，無(wú)法直接獲解。為避免求解超越方程問(wèn)題，現(xiàn)假設(shè)z′＝f（k）（z′為z的近似替代值）函數(shù)在工程實(shí)用范圍內(nèi)（即2.0＜n≤5.5，0.25≤ z＜4.0，0.001＜ k＜40.0）可以替代式（10），并依據(jù)式（10）展繪k—n—z關(guān)系曲線（見(jiàn)圖1所示）。

圖1 k—n—z關(guān)系曲線

由圖1可見(jiàn)，當(dāng)n為定值時(shí)，k與z具有較好的指數(shù)關(guān)系。在兼顧擬合精度高、表達(dá)形式簡(jiǎn)單兩個(gè)必備條件下，采用數(shù)值擬合分析方法，以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)［14－15］即：

式中：m為擬合計(jì)算的數(shù)組數(shù)。

經(jīng)逐次逼近擬合即可獲得如下替代函數(shù)，即

2.2 精度分析及比較

圖2 w—h0包絡(luò)曲線

由圖2可見(jiàn)，在工程實(shí)用參數(shù)范圍內(nèi)，用式（12）替代式（10）求解 h0的最大相對(duì)正、負(fù)誤差分別為0.752%和－0.841%，可見(jiàn)，本文式（12）具有較好的計(jì)算精度。

3 算 例

某三次拋物線型（n＝3）渠道橫斷面的曲線方程為y＝0.1x3，渠道糙率n′＝0.025，坡降i＝5.2× 10－4，求過(guò)水流量Q＝45m3／s時(shí)渠道的正常水深h0。

根據(jù)已知參數(shù)即可采用本文公式按以下方法完成求解計(jì)算。

利用微機(jī)編程求得精確解為 h0＝5.324 m，本文公式計(jì)算相對(duì)誤差為0.24%。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文通過(guò)近似積分及優(yōu)化擬合的方法獲得了拋物線方程指數(shù)n＞2型渠道斷面正常水深的簡(jiǎn)化計(jì)算公式，公式的表達(dá)形式簡(jiǎn)單、實(shí)用范圍廣，誤差分析及實(shí)例計(jì)算表明，在工程實(shí)用范圍內(nèi)，利用本文公式計(jì)算該種斷面正常水深的最大相對(duì)誤差為0.841%，完全滿(mǎn)足實(shí)際工程的水力計(jì)算及設(shè)計(jì)精度要求。

［1］ 魏文禮，楊國(guó)麗.立方拋物線形渠道水力最優(yōu)斷面的計(jì)算［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)（工學(xué)版），2006，39（3）：49-51.

［2］ 張志昌，劉亞菲，劉松艦.拋物線形渠道水力最優(yōu)斷面的計(jì)算［J］.西安理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，18（3）：235-237.

［3］ 文 輝，李風(fēng)玲.立方拋物線斷面渠道收縮水深的直接計(jì)算方法［J］.人民長(zhǎng)江，2009，40（13）：38-38，59.

［4］ 王正中，王 羿，趙延風(fēng)，等.拋物線形斷面河渠收縮水深的直接計(jì)算公式［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)（工學(xué)版），2011，44（2）：175-177，191.

［5］ 謝成玉，滕 凱.三次拋物線形渠道斷面收縮水深的簡(jiǎn)化計(jì)算公式［J］.南水北調(diào)與水利科技，2012，10（1）：136-138.

［6］ 馬子普，張根廣，趙春龍，等.立方拋物線形渠道水躍共軛水深的迭代算法［J］.人民長(zhǎng)江，2013，44（1）：90-93.

［7］ 冷暢儉，王 羿，王正中.拋物線形斷面渠道共軛水深的直接計(jì)算公式［J］.排灌工程機(jī)械學(xué)報(bào)，2013，31（2）：132-136.

［8］ 謝成玉，滕 凱.拋物線形斷面渠道均勻流水深的近似計(jì)算公式［J］.水電能源科學(xué)，2012，30（7）：94-95，172.

［9］ 滕 凱.半立方拋物線形渠道正常水深的近似計(jì)算公式［J］.長(zhǎng)江科學(xué)院院報(bào)，2012，29（12）：30-32.

［10］ 冷暢儉，王正中.三次拋物線形渠道斷面收縮水深的計(jì)算公式［J］.長(zhǎng)江科學(xué)院院報(bào)，2011，28（4）：29-31，35.

［11］ 滕 凱.消力池深的簡(jiǎn)化計(jì)算法［J］.人民長(zhǎng)江，2012，43（15）：73-75，87.

［12］ 滕 凱.標(biāo)準(zhǔn)門(mén)洞形過(guò)水?dāng)嗝媾R界水深的簡(jiǎn)化計(jì)算［J］.華北水利水電學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，33（5）：1-3.

［13］ 張志昌.水力學(xué)［M］.北京：中國(guó)水利水電出版社，2011.

［14］ 王慧文.偏最小二乘回歸方法及其應(yīng)用［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1999.

［15］ 閻鳳文.測(cè)量數(shù)據(jù)處理方法［M］.北京：原子能出版社，1988.

Calculation Formula for NormalWater Depth of Parabolic Index n＞2-shaped Cross Section

CHEN Ping1，TENG Kai2
（1.Qiqihar CityWater Policy Monitoring Team，Qiqihar，Heilongjiang 161006，China；2.Qiqihar City Water Conservancy Affairs Bureau，Qiqihar，Heilongjiang 161006，China）

Since the normalwater depth solution of parabolic section（n＞2）involves the computing problems of non-integrable function and transcendental equation，by introducing quadratic parabolic approximate integration and optimal fitting，and through successive approximation fitting，the approximate calculation formula is obtained which is simple in form，concise in computational process，wide in application，and convenient for project design staff to practically use.The error analysis and case calculation show that in the scope of projectuse，the formula’smaximum relative calculation error is only 0.841%.It could completelymeet the requirements of projectdesign precision and have the value for popularization and application.

parabolic channel；normalwater depth；optim ization fitting；hydraulic calculation

TV131.4

A

1672—1144（2014）01—0160—03

10.3969／j.issn.1672－1144.2014.01.033

2013-07-15

2013-08-27

陳 萍（1960—），女，黑龍江齊齊哈爾人，高級(jí)工程師，主要從事水利工程建設(shè)管理工作。

滕 凱（1957—），男，黑龍江齊齊哈爾人，高級(jí)工程師，主要從事水利防災(zāi)減災(zāi)及工程優(yōu)化設(shè)計(jì)研究。