田社平,張 峰
(上海交通大學(xué)電子信息學(xué)院,上海200240)
T形電路和Π形電路的等效變換是“電路理論”或“電路分析”課程中重要的內(nèi)容之一。作為這一部分內(nèi)容的擴(kuò)展和補(bǔ)充,很多教科書(shū)在習(xí)題部分提出了含獨(dú)立電源T形電路和Π形電路的相互等效變換的問(wèn)題[1,2]。含獨(dú)立電源T形電路和Π形電路的等效變換結(jié)果不是唯一的[3]。因此,當(dāng)出現(xiàn)含獨(dú)立電源T/Π形電路的兩個(gè)或多個(gè)Π/T形等效電路時(shí),就存在如何判斷這些等效電路相互等效的問(wèn)題。這也是筆者在教學(xué)實(shí)際中遇到的問(wèn)題。下面就針對(duì)含獨(dú)立電源T形電路和Π形電路的相互等效變換,提出幾個(gè)結(jié)論,供大家參考。
為討論方便起見(jiàn),假設(shè)含獨(dú)立電源T形電路和Π形電路如圖1所示,電源參考方向也示于圖上。
圖1 含獨(dú)立電源T形電路和Π形電路
假設(shè)圖1(a)、(b)所示的兩個(gè)電路互為等效,則有如下結(jié)論:
[結(jié)論1]T形電路等效為Π形電路
將圖1(a)電路等效為圖1(b)電路時(shí),如果參數(shù)iS31可取任意值,則Π形電路中元件的參數(shù)值為
證明:由于圖1中T形電路和Π形電路等效,因此兩者的端口特性相同。將端鈕①、③和端鈕②、③分別構(gòu)成端口,如圖2所示。
圖2 含獨(dú)立電源T形電路和Π形電路的二端口形式
T形電路的端口特性可表示為
式中,開(kāi)路電阻矩陣
開(kāi)路電壓向量
Π形電路的端口特性可表示為
式中,開(kāi)路電阻矩陣
開(kāi)路電壓向量
由于T形電路和Π形電路相互等效,因此可得
由式(5)可得到含獨(dú)立源Π形電路和T形電路中三個(gè)電阻之間的三個(gè)等效關(guān)系式,由式(6)得到T形電路和Π形電路中三個(gè)電壓源之間的兩個(gè)等效關(guān)系式。取參數(shù)iS31為任意值,即可解得式(1),得證。
[結(jié)論2]Π形電路等效為T(mén)形電路
將圖1(b)電路等效為圖1(a)電路時(shí),如果參數(shù)uS3可取任意值,則T形電路中元件的參數(shù)值為
圖3 T形電路的等效
證明:首先證明必要性。圖1(a)電路和圖3電路互為等效,則兩電路的開(kāi)路電阻矩陣和開(kāi)路電壓向量分別相等。兩電路的開(kāi)路電阻矩陣相等是顯然的,而兩電路的開(kāi)路電壓向量分別為
令兩者相等,即得到uSS1=uSS2=uSS3。
證明過(guò)程可類似給出,此處從略。
[結(jié)論3]T形電路的等效
在圖1(a)電路的三條支路中分別串聯(lián)三個(gè)電壓源uSS1、uSS2、uSS3,電壓源的參考方向如圖3所示。則圖1(a)電路和圖3電路互為等效的充分必要條件為 uSS1=uSS2=uSS3。
再證充分性。由于uSS1=uSS2=uSS3,對(duì)圖1(a)電路和圖2(a)電路分別應(yīng)用[結(jié)論1]可知,兩個(gè)電路得到同樣的Π形電路的元件參數(shù)值R12、R23、R31、iS12、iS23、iS31完全相同,因此圖1(a)電路和圖 3 電路互為等效。
充分性也可利用電壓源的等效轉(zhuǎn)移加以證明。將圖3的支路①上的電壓源uSS1向支路②、③轉(zhuǎn)移,它們分別與支路②、③上的電壓源uSS2、uSS3抵消,因此圖1(a)電路和圖2(a)電路互為等效。
與[結(jié)論3]類似,可以得到如下結(jié)論。
[結(jié)論4]Π形電路的等效
在圖1(b)電路的三條支路中分別并聯(lián)三個(gè)電流源 iSS1、iSS2、iSS3,參考方向如圖4所示,則圖1(b)電路和圖4電路互為等效的充分必要條件為iSS1=iSS2=iSS3。
圖4 Π形電路的等效
圖5顯示了利用等效變換方法將一個(gè)含獨(dú)立電流源Π形電路等效變換為含獨(dú)立電源T形電路,再進(jìn)一步等效變換為含獨(dú)立電流源Π形電路的情形。具體變換過(guò)程為:將圖5(a)電路中Π形電阻電路等效變換為T(mén)形電阻電路,得到圖5(b)電路;將圖5(b)電路進(jìn)行電流源轉(zhuǎn)移等效,得到圖5(c)電路,對(duì)并聯(lián)電流源進(jìn)一步等效得到圖5(d)電路;將圖5(d)電路中的諾頓支路等效變換為戴維寧支路,得到圖5(e)電路;通過(guò)T-Π形電阻等效變換得到圖5(f)電路;將圖5(f)電路中的電壓源進(jìn)行轉(zhuǎn)移,得到圖5(g)電路;最后通過(guò)戴維寧-諾頓支路等效變換,得到圖5(h)電路。
比較圖5(a)、(h)兩個(gè)電路可知,其中對(duì)應(yīng)的電流源參數(shù)值并不相等,但由[結(jié)論4]不難判斷它們確實(shí)互為等效。事實(shí)上,在圖5(a)電路的三條支路上分別并聯(lián)iSS1=iSS2=iSS3=(6/5)A的電流源,參考方向同圖3,就得到了圖5(h)電路。
圖5 含獨(dú)立電源Π-T-Π形電路等效變換
筆者每次在講授和討論含獨(dú)立源T形電路和Π形電路的等效變換時(shí),總是得到學(xué)生的熱烈的響應(yīng)。究其原因,我們認(rèn)為這與該部分內(nèi)容包含比較豐富的電路知識(shí)點(diǎn)有關(guān),含獨(dú)立電源T-Π形電路的等效變換至少包含如下知識(shí)點(diǎn):T-Π形電阻網(wǎng)絡(luò)的等效變換、電源(電壓源/電流源)轉(zhuǎn)移的等效變換、戴維寧-諾頓支路等效變換等。另外,含獨(dú)立電源T-Π形電路等效變換的解答非唯一性,也增加了學(xué)生分析和探究的空間。
正因?yàn)楹?dú)立源T-Π形電路等效變換的解答非唯一性,使得對(duì)于給定的含獨(dú)立源T-Π形電路,可以有多個(gè)等效的Π-T形電路,本文討論的幾個(gè)結(jié)論給出了判斷這些電路相互等效的條件。本文的分析對(duì)“電路理論”或“電路分析”課程教學(xué)具有一定價(jià)值,可供教師在教學(xué)時(shí)參考。
參考文獻(xiàn):
[1]李瀚蓀.簡(jiǎn)明電路分析基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社.2002
[2]陳洪亮,張峰,田社平.電路基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社.2007
[3]田社平,陳洪亮.含源T形電路和含源Π形電路的等效變換[J].電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào),2008,30(2):29~32