兩環(huán)形導(dǎo)軌平面度平行度測試方法*

劉慶博，趙圣宇，任順清

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間控制與慣性技術(shù)中心，黑龍江哈爾濱 150080)

0 引言

為了保證支承在兩環(huán)形導(dǎo)軌運(yùn)動物體的運(yùn)動平穩(wěn)性，一是需要保證單個(gè)環(huán)形導(dǎo)軌的平面度誤差滿足一定的要求［1］，二是要保證兩環(huán)形導(dǎo)軌所確定的兩個(gè)平面的平行度誤差，以免運(yùn)動物體產(chǎn)生周期性的搖擺顛簸運(yùn)行［2］。為此，將采用誤差分離技術(shù)，用水平儀測試并分離這些誤差。對平面度平行度誤差的測試采用計(jì)算機(jī)按最小區(qū)域法處理誤差分析的精度不是很理想［3-4］，用自準(zhǔn)直儀加光學(xué)直角器來測量導(dǎo)軌在水平面內(nèi)平行度誤差的測試方法對測量儀器有一定的要求［5］，筆者采用較為簡易的測量工具——水平儀進(jìn)行導(dǎo)軌平行度誤差測試。

1 測試原理

1.1 導(dǎo)軌相對高度與水平儀度零位的關(guān)系

水平儀的理想讀數(shù)為測量兩端的連線與水平面的夾角，但是水平儀存在測量的零位誤差，線性度誤差等因素，測量值與實(shí)際值有一定偏差。由于此研究的測量范圍小，只需考慮零位誤差即可。如果實(shí)際的夾角為θ，令水平儀的跨距為l，則水平儀橋板兩端相對于水平面的高度差h=lsin θ，θ為水平儀的讀數(shù)，又因?yàn)棣群苄?，所以水平儀每次測量的相對高度可以近似為h=l·θ。但實(shí)際情況是水平儀存在零位誤差，即水平儀(包括橋板)放置在絕對水平面的理想讀數(shù)為零，但實(shí)際讀數(shù)不是零，設(shè)為α0，應(yīng)滿足θ-α0=h/l。

1.2 測試誤差模型的建立

首先建立基準(zhǔn)坐標(biāo)系:在環(huán)形導(dǎo)軌上標(biāo)上測試點(diǎn)0，相鄰兩個(gè)測試點(diǎn)之間的距離為水平儀的跨距，基準(zhǔn)坐標(biāo)系的O0x0軸水平指向測試點(diǎn)0，O0y0軸處于水平面內(nèi)并與O0x0軸垂直，O0z0軸豎直向上。

環(huán)形導(dǎo)軌坐標(biāo)系Oxyz的建立:可以認(rèn)為環(huán)形導(dǎo)軌坐標(biāo)系是繞O0x0軸旋轉(zhuǎn)Δθx，繞O0y0軸旋轉(zhuǎn)Δθy，形成環(huán)形導(dǎo)軌坐標(biāo)系，其姿態(tài)關(guān)系為:

建立如圖1所示坐標(biāo)系，x軸指向測試點(diǎn)0，測試點(diǎn)0，1，2，……，m在環(huán)形導(dǎo)軌上，相鄰間距為水平儀的跨距，z軸指向上，y軸與x軸垂直，Oxy在環(huán)形導(dǎo)軌所確定的平面之內(nèi)，水平儀在第i個(gè)測試點(diǎn)與x軸的夾角為γ，即γ=i·α，第i個(gè)測試點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為 ［Rcos γ Rsin γ 0］T，其中環(huán)形導(dǎo)軌的半徑為R，則向量 ［Rcos γ Rsin γ 0］T在基準(zhǔn)坐標(biāo)系下表示為:

圖1 測試示意圖

設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O0處的高度為0，式(2)中的z坐標(biāo)表示測量點(diǎn)的理想高度，假設(shè)各個(gè)測試點(diǎn)的平面度誤差為 ε0，ε1，ε2，…，εm，水平儀的零位誤差為 Δθ0，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O0處的高度為0，則測試點(diǎn)0的高度為:

水平儀處于0，1位置之間時(shí)的讀數(shù) θ1，0，則:

同理可以得到水平儀處于1，2位置之間時(shí)，有:

從上面的公式可以推導(dǎo)出:

1.3 數(shù)據(jù)處理分析

將上面的等式寫成矩陣的形式:

即:

式中:X為要辨識的參數(shù)矩陣向量;ε為殘余誤差;m為已知的測量次數(shù);R為環(huán)形導(dǎo)軌的半徑;α為水平儀兩端與環(huán)形導(dǎo)軌圓心連線的夾角，且滿足幾何關(guān)系l=2Rsin(α/2)，即α=2arcsin(l/2R)。通過矩陣形式，可以得到Δθ是水平儀讀數(shù)逐步累加得到的矩陣，常數(shù)項(xiàng)為 ε0-RΔθy，Δθ0在累加中表現(xiàn)為一次線性斜坡項(xiàng)，可以利用最小二乘法進(jìn)行辨識，得到的殘余誤差為導(dǎo)軌的平面度誤差［6］。

根據(jù)最小二乘法可以得到誤差系數(shù)的估計(jì)值:

進(jìn)而可以辨識出 Δθy，Δθx，Δθ0，計(jì)算出環(huán)形導(dǎo)軌的水平度誤差和平面度誤差ε=YΦX。

1.4 兩環(huán)形導(dǎo)軌的水平度計(jì)算平行度誤差

用水平儀分別對兩環(huán)形導(dǎo)軌進(jìn)行測試，可以得到兩環(huán)形導(dǎo)軌各自的水平度，根據(jù)公式 Δθ=可以計(jì)算出兩環(huán)形導(dǎo)軌所確定平面的平行度誤差。

2 測試數(shù)據(jù)與結(jié)果

將水平儀沿外，內(nèi)兩環(huán)形導(dǎo)軌依次擺放進(jìn)行測量，其中外導(dǎo)軌的半徑R1=453 mm，水平儀的跨距l(xiāng)1=150 mm，內(nèi)導(dǎo)軌的半徑R2=304 mm，水平儀的跨距l(xiāng)2=93 mm，記錄水平儀的讀數(shù)，如表1所列。

表1 水平儀沿外環(huán)和內(nèi)環(huán)形導(dǎo)軌測量的讀數(shù)

根據(jù)表1，對水平儀的讀數(shù)進(jìn)行累加，利用最小二乘法，計(jì)算出外、內(nèi)環(huán)形導(dǎo)軌的 Δθy，Δθx，Δθ0，以及其平面度。計(jì)算結(jié)果如下:外環(huán)形導(dǎo)軌二維水平度Δθy1=-10.40″，Δθx1=-0.34″，Δθ01=4.21″，平面度誤差的范圍為-7.09 ～11.31 μm;內(nèi)環(huán)形導(dǎo)軌二維水平度 Δθy2=-11.87″，Δθx2=-1.84″，Δθ02=6.77″，平面度誤差的范圍為-2.40 ～1.65 μm。根據(jù)公式 Δθ=計(jì)算出兩環(huán)形導(dǎo)軌的平行度誤差 Δθ=2.10″。

3 測試誤差分析

利用最小二乘法進(jìn)行精度分析，假設(shè)每個(gè)測量值都是等精度的，首先計(jì)算殘差的標(biāo)準(zhǔn)差，根據(jù)公式(12)，有4個(gè)未知數(shù)，則殘差標(biāo)準(zhǔn)差為:

誤差模型系數(shù):

令:

則:

同理可得:

Δθy的不確定度為:

令 B=AAT，則為B中主對角線的元素B11，則:

同理可得:

根據(jù)測試結(jié)果，計(jì)算出外環(huán)形導(dǎo)軌 σΔθy1=0.81″，σΔθx1=1.25″，內(nèi)環(huán)形導(dǎo)軌 σΔθy2=0.32″，σΔθx2=0.47″，則兩環(huán)形導(dǎo)軌所確定平面的平行度誤差的不確定度為 1.13″。

4 結(jié)論

介紹了利用水平儀測量環(huán)形導(dǎo)軌水平度和平面度的方法，對水平儀讀數(shù)進(jìn)行逐步累加后，其中一次諧波表現(xiàn)為導(dǎo)軌的水平度誤差，一次線性斜坡項(xiàng)表現(xiàn)為水平儀的零位誤差，殘余誤差表現(xiàn)為導(dǎo)軌的平面度誤差。通過測量兩個(gè)環(huán)形導(dǎo)軌的水平度誤差，計(jì)算了兩環(huán)形導(dǎo)軌所確定平面的平行度誤差，對平行度誤差測試結(jié)果進(jìn)行了分析，測試不確定度為1.13″，證明了該方法能夠達(dá)到測試精度的要求。

［1］ 曹恒斌，張巨寶，曹蠑方.重型機(jī)械裝備環(huán)形導(dǎo)軌磨損后修復(fù)工藝設(shè)計(jì)［J］.新技術(shù)新工藝，2009(12):127-128.

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