對流擴散方程數(shù)值耗散的定量研究方法

崔 冬,何小燕,楊海燕

(1.上海市水利工程設計研究院有限公司,上海 200061;2.上海圍海工程技術研究中心,上海 200061)

對流擴散方程數(shù)值耗散的定量研究方法

崔 冬1,2,何小燕1,2,楊海燕1,2

(1.上海市水利工程設計研究院有限公司,上海 200061;2.上海圍海工程技術研究中心,上海 200061)

針對對流擴散方程數(shù)值耗散問題普遍缺乏明確定量指標的現(xiàn)狀,提出了度量數(shù)值耗散程度的定量指標及其研究方法,即借助廣義“假擴散”系數(shù)這一定量指標來度量某一離散格式的數(shù)值耗散程度,其數(shù)值上近似等于具有相同擴散效應的真擴散所對應的擴散系數(shù),其中真擴散效應可通過求解純擴散問題的高精度數(shù)值解近似得到。采用該方法研究了三階QUICKEST離散格式的數(shù)值耗散規(guī)律,分析了時間步長、流速大小及空間步長對“假擴散”系數(shù)的敏感性以及相關性,得到了“假擴散”系數(shù)的具體表達式,進而驗證了該定量研究方法的可行性。

對流擴散方程;數(shù)值耗散;QUICKEST離散格式;流體力學

保守性物質(zhì)的對流擴散是流體力學、環(huán)境科學領域中經(jīng)常遇到的一類經(jīng)典問題,可用對流擴散方程加以描述,如式(1)所示。該方程由非恒定項對流項u擴散項組成,一般采用數(shù)值離散的方法求解,但求解過程中不可避免地會帶來一定的離散誤差而影響數(shù)值解的準確性,其中影響較大的離散誤差是由一階導數(shù)項(非恒定項、對流項)離散帶來的數(shù)值耗散[1]。數(shù)值耗散,也稱“假擴散”,是截斷誤差的一種,會放大擴散作用的效應,是對流擴散方程數(shù)值求解中普遍存在的一個問題,且數(shù)值耗散程度越大,給數(shù)值解帶來的計算誤差越大。在應用某種研究手段研究實際對流擴散問題之前,有必要對研究手段的數(shù)值耗散程度有較為準確的把握,以便判斷研究手段的適用性,并盡可能地減小這種“假擴散”效應[2]。

式中:c為物質(zhì)的質(zhì)量濃度;t為時間;x、y為直角坐標系坐標;u、v分別為沿x、y方向的流速;Dx、Dy分別為物質(zhì)沿x、y方向的擴散系數(shù)。當u=v=0時,式(1)可簡化為純擴散方程;當Dx=Dy=0時,式(1)可簡化為純對流方程。

對流擴散方程求解存在的數(shù)值耗散問題,一直受到研究人員的關注,并已取得了諸多研究成果[1-9],如提出了改進離散格式、減小空間步長等減少“假擴散”效應的措施。但針對不同離散格式以及同一離散格式不同參數(shù)下的數(shù)值耗散程度尚缺乏統(tǒng)一的度量指標,已有的研究往往是通過比較經(jīng)典算例數(shù)值解與解析解的差異程度、純對流問題數(shù)值解最大濃度隨時間的降低程度等間接方式來判斷數(shù)值耗散程度的大小,這給實際應用帶來不便。針對當前研究現(xiàn)狀,本文提出度量數(shù)值耗散程度的定量指標及研究方法,并將該方法應用到三階QUICKEST離散格式的數(shù)值耗散規(guī)律的研究中,以進一步驗證方法的可行性。

1 定量指標的提出

數(shù)值耗散最早定義為對流擴散方程中一階導數(shù)項(非恒定項、對流項)離散格式的截斷誤差小于二階而引起較大數(shù)值計算誤差的現(xiàn)象。以二維純對流方程為例,當采用一階迎風格式對非恒定項和對流項進行數(shù)值離散時,略去三階及三階以上的項,其等價表達式[10]為

式中:等號后兩項即為數(shù)值離散引入的數(shù)值耗散項; Δx、Δy分別為沿x、y方向的空間步長;Δt為時間步長。將分別定義為沿x、y方向的“假擴散”系數(shù),形式上起擴散系數(shù)的作用。

事實上“假擴散”效應不僅存在于一階離散格式中,其他離散格式中也存在,如二階迎風格式、三階迎風格式、QUICK格式等[11]。參照式(2),設想其他離散格式下二維純對流方程也可寫成類似的等價表達式:

將Dfalse定義為廣義的“假擴散”系數(shù),用來定量表征數(shù)值耗散程度,這樣就可將“假擴散”系數(shù)這一重要參數(shù)的應用范圍由一階迎風離散格式推廣到更多離散格式中。

2 定量指標的研究方法

2.1 研究方法的提出

由于數(shù)值離散的復雜性,很多離散格式難以直接寫出“假擴散”系數(shù)的表達式?？紤]到“假擴散”對數(shù)值解的影響表現(xiàn)為放大了擴散效應,“假擴散”應與真擴散具有類似的擴散效應,若能找到與“假擴散”效應相當?shù)恼鏀U散,則可以認為二者具有相同的擴散系數(shù)。即“假擴散”系數(shù)取值上近似等于具有相同擴散效應的真擴散對應的擴散系數(shù),其中不同擴散系數(shù)下的真擴散效應,可以通過求解純擴散方程的高精度數(shù)值解近似得到。

以下擬采用沿單一方向(x方向)的純對流問題來研究“假擴散”效應,這樣既消除了物質(zhì)自身擴散帶來的影響[6],又將二維問題簡化為一維,式(3)可簡化為式(4);相應地,采用單一方向(x方向)的純擴散問題來模擬真擴散效應,如式(5)所示,可消除對流項離散帶來的計算誤差。

計算模型設置如下:計算區(qū)域為一個長100km、寬8 km、水深10 m的河道,計算網(wǎng)格采用單一矩形網(wǎng)格,網(wǎng)格走向與河道走向一致。當采用純對流問題研究“假擴散”效應時,初始時刻設置一個1 km× 1 km范圍、初始質(zhì)量濃度為20 mg/L的保守性物質(zhì)團位于河道上游,其他計算區(qū)域初始濃度為零,水體沿河道縱向均勻流動,如圖1所示。當采用純擴散問題研究真擴散效應時,計算網(wǎng)格空間步長經(jīng)試算取25 m可達到足夠精度,水體靜止,初始時刻設置1 km×1 km范圍、初始質(zhì)量濃度為20 mg/L的保守性物質(zhì)團位于河道中游,如圖2所示。

圖1 純對流問題下計算模型及初始濃度設置

圖2 純擴散問題下計算模型及初始濃度設置

2.2 基本假定的驗證

本文提出的“假擴散”系數(shù)的研究方法有一個基本假定,即認為當真擴散與“假擴散”具有相同擴散效應時,二者應當具有相同的擴散系數(shù);反過來說,當二者具有相同擴散系數(shù)時,二者應當具有相同的擴散效應。為了驗證這一基本假定的正確性,以下采用“假擴散”系數(shù)具有理論解的一階迎風離散格式來模擬“假擴散”效應,與具有相同擴散系數(shù)的真擴散效應進行對比,觀察二者是否相近。參數(shù)設置及一階迎風離散格式的“假擴散”系數(shù)理論解(根據(jù)式(2)計算得到)如表1所示。

表1 一階迎風離散格式不同參數(shù)下的“假擴散”系數(shù)理論解

采用具有一階迎風格式的MIKE 21對流擴散模型[12]求解如圖1所示的純對流問題,可分別得到2組參數(shù)下在時間t=6 h時的“假擴散”效應如圖3所示(截圖范圍以濃度團為中心,沿河道縱向與橫向分別取10 km與4 km)。

圖3 一階迎風離散格式下的“假擴散”效應(t=6 h,單位:mg/L)

真擴散效應通過求解圖2所示的純擴散問題的高精度數(shù)值解近似得到,其中非恒定項采用一階迎風格式離散,擴散項采用二階中心差分格式離散,對大多數(shù)有實際意義的問題,二者的離散精度已能滿足需要[1]。表1所示的2組擴散系數(shù)對應的t=6 h時真擴散效應如圖4所示。對比圖3與圖4可以看出,“假擴散”與真擴散呈現(xiàn)出幾乎完全一致的擴散效應。這說明當真擴散與“假擴散”具有相同擴散系數(shù)時,二者具有相同擴散效應的基本假定是成立的;反過來說,當真擴散與“假擴散”具有相同擴散效應時,二者具有相同擴散系數(shù)的基本假定也是成立的。

圖4 純擴散問題下的真擴散效應(t=6 h,單位:mg/L)

2.3 純擴散問題的高精度數(shù)值解

通過求解圖2所示的純擴散問題的高精度數(shù)值解,近似得到單一方向(x方向)擴散系數(shù)取值為0～50 m2/s之間的濃度場分布情況,其中部分取值下的濃度場縱斷面分布如圖5所示。為方便實際應用,本文根據(jù)圖5呈現(xiàn)的濃度場縱斷面分布特征,并參考以往研究成果,選用物質(zhì)團在靜水中擴散6 h與12h后對應的擴散范圍(以0.5mg/L包絡范圍來統(tǒng)計擴散范圍)與最大濃度值來表征不同擴散系數(shù)下的擴散效應,如圖6所示。當研究某種離散格式數(shù)值耗散程度時,可采用相應的離散格式求解圖1所示的純對流問題,統(tǒng)計得到t=6 h與t=12 h的物質(zhì)團擴散范圍與最大濃度值,通過查圖6,找到相對應的“假擴散”系數(shù)。

圖5 部分擴散系數(shù)下的濃度場縱斷面分布

圖6 擴散系數(shù)與物質(zhì)團擴散范圍及最大濃度值的關系

此外,通過圖5、圖6還可以看出,擴散作用的存在使保守性物質(zhì)團最大濃度值降低程度明顯,當擴散系數(shù)分別取5 m2/s與30 m2/s時,經(jīng)過6 h單一方向的擴散,物質(zhì)團最大濃度分別由20 mg/L降低至14.6mg/L與6.95mg/L,降低幅度分別為27%與65%。

3 研究方法的初步應用

以下以三階QUICKEST離散格式為例介紹度量數(shù)值耗散程度的定量方法在研究某一離散格式下數(shù)值耗散規(guī)律中的應用,三階QUICKEST格式由廣泛應用于一維數(shù)值模擬的二次迎風插值格式——QUICK格式演變而來,三階QUICKEST格式在QUICK格式的基礎上加以改進,將應用范圍擴展至多維[3]。利用當前節(jié)點值、上游最近的2個節(jié)點值、下游最近的1個節(jié)點值等10個節(jié)點共同構造差分[3](式(6)),表達式復雜,難以直接確定“假擴散”系數(shù)。

式中:n為時間步長的編號;j為節(jié)點沿x方向的編號;k為節(jié)點沿y方向的編號;A1～A10為系數(shù)。

由式(2)可知,“假擴散”系數(shù)一般與時間步長、流速大小、空間步長有關。為了得到三階QUICKEST離散格式的數(shù)值耗散規(guī)律,分別研究了時間步長、流速大小、空間步長對“假擴散”系數(shù)的敏感性以及相關性。

3.1 時間步長的敏感性及相關性

采用三階QUICKEST離散格式分別研究了Δx =100 m、200 m兩組空間步長(流速以0.5 m/s為例)下的“假擴散”效應,通過查圖6可以得到相對應的“假擴散”系數(shù),如圖7所示。可以看出,時間步長對“假擴散”系數(shù)不敏感,改變時間步長,“假擴散”系數(shù)幾乎不受影響(理論上改變時間步長會對舍入誤差略有影響,因而造成計算結果之間的微小差異)。

圖7 三階QUICKEST離散格式下時間步長對“假擴散”系數(shù)的敏感性

3.2 流速大小的敏感性及相關性

采用三階QUICKEST離散格式分別研究了100m、200m兩組空間步長下流速大小取0.1～2 m/s時對應的“假擴散”效應,通過查圖6可以得到相對應的“假擴散”系數(shù)如圖8所示?？梢钥闯?流速大小對“假擴散”系數(shù)敏感,改變流速大小,“假擴散”系數(shù)會隨之變化。采用趨勢線擬合發(fā)現(xiàn),三階QUICKEST離散格式下“假擴散”系數(shù)與流速的0.5次方呈相當好的擬合關系。

圖8 三階QUICKEST離散格式下“假擴散”系數(shù)與流速大小的相關關系

3.3 空間步長的敏感性及相關性

采用三階QUICKEST離散格式分別研究了0.5 m/s、2m/s兩組流速下空間步長取25～500m時的“假擴散”效應,通過查圖6可以得到相對應的“假擴散”系數(shù)如圖9所示?？梢钥闯?空間步長對“假擴散”系數(shù)相當敏感,改變空間步長,“假擴散”系數(shù)會發(fā)生較大變化。采用趨勢線擬合發(fā)現(xiàn),三階QUICKEST離散格式下“假擴散”系數(shù)與空間步長的2次方呈相當好的擬合關系。

圖9 三階QUICKEST離散格式下“假擴散”系數(shù)與空間步長的相關關系

3.4 “假擴散”系數(shù)的表達式

由圖8、圖9可以看出,三階QUICKEST離散格式下的“假擴散”系數(shù)與流速的0.5次方及空間步長的2次方呈正相關關系。因此,認為三階QUICKEST離散格式下“假擴散”系數(shù)可寫成

式中η為系數(shù),可由圖8及圖9的擬合關系推求得到。以圖8為例,當空間步長為100m時,由Dfalse(x)= ηu1/2Δx2=1002u1/2η=0.75u1/2,可 推 求 出η=7.5×10-5。由圖9亦可得到η=7.5×10-5。因此三階QUICKEST離散格式下“假擴散”系數(shù)表達式可寫為

4 結 論

a.可借助廣義“假擴散”系數(shù)這一定量指標來度量某一離散格式的數(shù)值耗散程度,“假擴散”系數(shù)數(shù)值上近似等于具有相同擴散效應的真擴散所對應的擴散系數(shù),其中真擴散效應可通過求解純擴散問題的高精度數(shù)值解近似得到。

b.采用該定量研究方法,成功得到了三階QUICKEST離散格式的數(shù)值耗散規(guī)律,驗證了該定量研究方法的可行性。

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Quantitative research method of numerical dissipation levels of convective-diffusive equation//

CUI Dong1,2,HE Xiaoyan1,2,YANG Haiyan1,2
(1.Shanghai Water Engineering Design and Research Institute Co.,Ltd.,Shanghai 200061, China;2.Shanghai Engineering Research Center of Reclamation,Shanghai 200061,China)

Considering the fact that quantitative indicator on numerical dissipation is lacking,in this paper the quantitative indicator and research method were given.The method is,namely,using generalized“false diffusive”coefficient of the certain indicators to measure the degree of numerical dissipation of a discrete format.The numerical value of the above method approximately equals to the same effect on the true diffusion of the diffusion coefficient.As to the true diffusion effect,the highly precise numerical value can be approximately obtained by the solution of the pure diffusion formulas.This method was successfully applied to third-order QUICKEST discrete scheme.The overall results show that false diffusion coefficient could be introduced to characterize the numerical dissipation level,whose value can be obtained by comparing the true diffusion effect.

convective-diffusive;numerical dissipation;QUICKEST discrete scheme;fluid mechanics

TV131.2;O241.82

:A

:1006-7647(2014)05-0008-04

10.3880/j.issn.1006-7647.2014.05.002

201309-18 編輯:駱超)

上海市科學技術委員會資助課題(13DZ2251500)

崔冬(1982—),女,江蘇徐州人,工程師,碩士,主要從事河口海岸工程研究。E-mail:njcuidong.student@sina.com