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    具有集值約束的弱Nash平衡問題解的存在性

    2014-07-02 00:21:07帥維成
    關(guān)鍵詞:集值標量子集

    帥維成

    (四川民族學(xué)院數(shù)學(xué)系,四川康定 626000)

    具有集值約束的弱Nash平衡問題解的存在性

    帥維成

    (四川民族學(xué)院數(shù)學(xué)系,四川康定 626000)

    利用不動點定理證明了一類具有集值約束的弱Nash平衡問題解的存在性,推廣了以往文獻的結(jié)果。

    非線性標量化函數(shù);自然擬凸;集值映射

    現(xiàn)代博弈論的基礎(chǔ)是由J.Nash于1950年和1951年所發(fā)表的兩篇論文奠定的。目前,多目標博弈均衡解的存在性是博弈論研究的熱點[1-4]。文獻[5]研究了一類對稱向量擬平衡問題解的存在性,文獻[6]研究了一類關(guān)于集值映射的廣義對稱向量擬平衡問題解的存在性。注意到文獻[5]和文獻[6]的模型是本文所研究集值約束的弱Nash平衡問題模型的特殊情況,本文研究了這類模型解的存在性,從而推廣了相關(guān)文獻的結(jié)果。

    1 預(yù)備知識

    假設(shè)I是一個有限指標集,任取i∈I,Zi是一個拓撲向量空間,Xi是Hausdorff拓撲線性空間。令對任意x∈X,令xi與xi分別表示x的第i個坐標和x在Xi上的投影。因此,x又可表示為x=(xi)i∈I=(xi,xi)。對任意i∈I,令Pi是Zi的一個內(nèi)部非空的尖閉凸錐,F(xiàn)i:Xi×Xi→2Zi,以及Si:Xi→2Xi??紤]以下具有集值約束的弱Nash平衡問題:

    注:

    1)如果對每個i∈I,設(shè)Fi是一個單值函數(shù),Zi=R并且Si(X)=Xi,(CWNEP)退化為經(jīng)典的Nash平衡問題[7]。

    2)如果I={1,2},F(xiàn)i是向量值函數(shù),(CWNEP)退化為對稱向量擬平衡問題[6]。

    3)如果I={1,2},F(xiàn)i是集值映射,(CWNEP)退化為關(guān)于集值映射的廣義對稱向量擬平衡問題[5]。

    定義1設(shè)X和Y是2個拓撲空間。F:X→2Y是一個集值映射。

    1)稱F在點x∈X處是上半連續(xù)的,如果對任意開集U?F(x),存在x的一個鄰域V滿足Ux∈VF(x):=F(V)?U。如果F在X的每一個點都是上半連續(xù)的,則稱F是上半連續(xù)的。

    2)稱F在點x∈X處是下半連續(xù)的,如果對任意y0∈F(x0)和任意y0的一個鄰域U,存在x0的一個鄰域V,使得對?x∈V滿足F(x)∩U≠?。如果F在X的每一點都是下半連續(xù)的,稱F是下半連續(xù)的。

    3)稱集值映射F是閉的當(dāng)且僅當(dāng)對任意序列{xn},xn→x,和任意序列{yn}滿足yn∈F(xn),yn→y有 y∈F(x)。

    4)稱集值映射F是連續(xù)的,如果集值映射F既是上半連續(xù)的又是下半連續(xù)的。

    定義2假設(shè)X是Hausdorff拓撲空間和Z是一個實拓撲向量空間。E是X的一個非空凸子集,F(xiàn):E→2Z是一個集值映射,假設(shè)P?Z是int P≠φ的閉凸尖錐。若對每個x1,x2∈E,λ∈0,[1]存在μ∈ [0,1],使得

    則稱F為E上的自然擬凸函數(shù)。

    定義3設(shè)Z是一個實拓撲向量空間,P?Z是一個閉凸尖錐,e∈int P。非線性標量化函數(shù)ξe:Z→R定義為:

    引理1[8]設(shè)Z是一個實拓撲向量空間,P?Z是一個閉凸尖錐,e∈int P。非線性標量化函數(shù)具有以下主要性質(zhì):①非線性標量化函數(shù)是凸的連續(xù)函數(shù);②?y1,y2∈Z,ξe(y1+y2)≤ξe(y1)+ξe(y2);③若y1-y2∈int P,則有ξe(y1)>ξe(y2)。

    2 解的存在性

    假設(shè)Ei(i∈I)是實的局部凸Hausdorff拓撲向量空間,Zi是實Hausdorff拓撲向量空間。令Xi是Zi上的非空緊凸子集。令Pi?Zi是一個閉凸尖錐,ei∈int Pi。假設(shè)Si:X→2Xi是一個緊凸的連續(xù)集值映射,F(xiàn)i:Xi×Xi→2Zi是一個緊連續(xù)集值映射,令ξei(Fi(x,y))=∪ui∈Fi(x,y)ξei(ui)。

    引理2[9]設(shè)E是局部凸Hausdorff拓撲空間X的一個非空緊凸子集。假如G:E→2E是上半連續(xù)的,并對每個x∈E,G(x)是一個非空閉凸子集,則存在一個ˉ∈E使得ˉ∈G(ˉ)。

    定理1若以下條件成立:①Si:X→2Xi是緊凸連續(xù)的;②Fi:Xi×Xi→2Zi是連續(xù)和緊值的;③對每個固定xi∈Xi,F(xiàn)i(·,xi)是自然擬凸函數(shù),則存在ˉ∈X為(CWNEP)的解。

    證明定義一個集值映射Ai:Xi→2Xi:

    [1]Blackwell O.An Analog of the Minimax Theorem for Vector Payoffs[J].Pacific Journal of Mathematics,1956,6:1-8.

    [2]Ghose D,Prasad U R.Solution Concepts in Two-Persons Multicriteria Games[J].Journal of Optimization Theory and Applications,1989,63:167-188.

    [3]Fernandez F R,Hinojosa MR,Puerto J.Gameswith Vector Payoffs[J].Journal of Optimization Theory and Applications,2002,112:331-360.

    [4]Corley HW.Gameswith Vector Payoffs[J].Journal of Optimization Theory and Applications,1985,42:491-498.

    [5]張文燕,陳純榮,李聲杰.集值映射的廣義對稱向量擬平衡問題[J].運籌學(xué)學(xué)報,2006,10(3):24-32.

    [6]Fu JY.Symmetric Vector Quasi-Equilibrium Problems[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2003,285:708-713.

    [7]Nash J,Noncooperative Games,Ann[J].Math,1951,54:286-295.

    [8]Gerth C,Weidner P.Nonconvex Separation Theorems and Some Applications in Vector Optimization[J].Journal of Optimization Theory and Applications,1990,67:297-320.

    [9]Istratescu V I.Fixed Point Theory,An Introduction[Z].Direidel Publishing Company,Dordrecht,Boston,London,1981.

    [10]Aubin JP,Ekeland I.Applied Nonlinear Analysis[M].New York:John Wiley and Sons,1984.

    (責(zé)任編輯 劉舸)

    Existence of Weak Nash Balance Problem with Set-valued Constraints

    SHUAIWei-cheng
    (School of Mathematics,Sichuan University for Nationalities,Kangding 626000,China)

    The fixed point theorem was used to prove the existence of a type of weak Nash balance problem,which extended the results of past literature.

    nonlinear quantitative function;natural quasi-convex;set-valued mapping

    O224

    A

    1674-8425(2014)09-0139-04

    10.3969/j.issn.1674-8425(z).2014.09.029

    2014-07-20

    國家自然科學(xué)基金天元基金資助項目(11226231)

    帥維成(1977—),男,四川康定人,碩士,講師,主要從事運籌學(xué)及其應(yīng)用研究。

    帥維成.具有集值約束的弱Nash平衡問題解的存在性[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2014(9):139-142.

    format:SHUAIWei-cheng.Existence of Weak Nash Balance Problem with Set-valued Constraints[J].Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science,2014(9):139-142.

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