基于Plackett—Burman對星點(diǎn)試驗(yàn)設(shè)計(jì)理論優(yōu)化

摘要：星點(diǎn)設(shè)計(jì)主要解決了水平數(shù)過多的試驗(yàn)條件，合理地選取水平數(shù)，應(yīng)用Design expert這一軟件進(jìn)行擬合分析，最終在效應(yīng)面中對于最優(yōu)的方案進(jìn)行選取。文章基于Plackett-Burman設(shè)計(jì)對星點(diǎn)設(shè)計(jì)進(jìn)行補(bǔ)充改進(jìn)優(yōu)化，有效地解決因素?cái)?shù)目的問題。

關(guān)鍵詞：試驗(yàn)設(shè)計(jì)；星點(diǎn)設(shè)計(jì)；Plackett-Burman設(shè)計(jì)；效應(yīng)面

中圖分類號：R284 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-2374（2014）15-0022-02

1 概述

試驗(yàn)設(shè)計(jì)這門起源于20世紀(jì)20年代并發(fā)展至今的學(xué)科正在越來越多的被應(yīng)用于實(shí)際的各行各業(yè)，以提高產(chǎn)量；減少質(zhì)量的波動，提高產(chǎn)品質(zhì)量水準(zhǔn)；大大縮短新產(chǎn)品試驗(yàn)周期；降低成本；試驗(yàn)設(shè)計(jì)延長產(chǎn)品壽命等目的發(fā)揮著它的作用。經(jīng)過多年的發(fā)展試驗(yàn)設(shè)計(jì)也由早期的正交設(shè)計(jì)和均勻設(shè)計(jì)發(fā)展出了一些新的設(shè)計(jì)方法。星點(diǎn)設(shè)計(jì)就是這其中之一，但正是由于星點(diǎn)設(shè)計(jì)是近些年才被提出來的，這種方法仍然有很大的發(fā)展空間。

星點(diǎn)設(shè)計(jì)主要解決了對于因素?cái)?shù)適中，水平數(shù)過多的試驗(yàn)條件，合理地篩選水平數(shù)，同時結(jié)合效應(yīng)面方法對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行擬合，借助計(jì)算機(jī)分析數(shù)據(jù)，主要是Design expert這一軟件進(jìn)行分析，最終在效應(yīng)面中對于最優(yōu)的方案進(jìn)行選取。但這種方法的前提是因素的數(shù)量適中控制在4到5個以內(nèi)。但是在實(shí)際操作中這種情況可能不如人意，在涉及到很多因素的時候我們很難決定因素的取舍。我們可以做到在水平的選取上科學(xué)，但在因素?cái)?shù)上也同樣不可忽視，正因如此本文基于Plackett-Burman設(shè)計(jì)對星點(diǎn)設(shè)計(jì)進(jìn)行補(bǔ)充改進(jìn)優(yōu)化，有效地解決因素?cái)?shù)目的問題。

Plackett-Burman試驗(yàn)就是篩選試驗(yàn)設(shè)計(jì)，主要針對因素?cái)?shù)較多，且未確定眾因素相對于響應(yīng)變量的顯著影響，采用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。篩選試驗(yàn)設(shè)計(jì)對顯著影響的因素可以確定出來，從而達(dá)到篩選的目的，避免在后期的優(yōu)化試驗(yàn)中由于因素?cái)?shù)太多或部分因素不顯著而浪費(fèi)試驗(yàn)資源。這兩者的結(jié)合可以有效地同時解決實(shí)際實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的因素?cái)?shù)目多，水平較多的情況。

在未來發(fā)展中，隨著科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展，試驗(yàn)設(shè)計(jì)以適應(yīng)這種高速發(fā)展必定會更加復(fù)雜，用科學(xué)的方法變復(fù)雜為簡單是試驗(yàn)設(shè)計(jì)的一個目的，相信這種方法會在未來被更多地應(yīng)用于實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，同樣對這種方法更深入的研究也會是試驗(yàn)設(shè)計(jì)的一個新的突破。

2 星點(diǎn)試驗(yàn)設(shè)計(jì)的發(fā)展與原理

傳統(tǒng)的正交設(shè)計(jì)會由于之前提到的兩種缺陷，即試驗(yàn)精度的選擇的試驗(yàn)取值僅僅是接近的最佳取值，無法精確到最佳；不能靈敏地考察各個因素間的交互作用。由此我們提出效應(yīng)面法，即通過對一些部分水平值進(jìn)行試驗(yàn)，通過回歸擬合可以擬合出全部水平對應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果指標(biāo)。該方法的優(yōu)點(diǎn)在于試驗(yàn)次數(shù)少，同時這種方法又消除了回歸系數(shù)間的相關(guān)性。但是僅僅憑效應(yīng)面設(shè)計(jì)還不足以最佳的改良傳統(tǒng)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法，也帶來了一個副作用。如果我們用這個效應(yīng)面進(jìn)行預(yù)測的時候，方差會依賴于試驗(yàn)點(diǎn)在因素空間中的位置，這是由于我們把原本平面化的結(jié)果立體化，在空間中考查它們之間的關(guān)系結(jié)果。由于殘差是我們衡量精度的一個重要標(biāo)準(zhǔn)，正是由于這種誤差項(xiàng)的干擾，試驗(yàn)者不能根據(jù)預(yù)測值找到最優(yōu)方案。

我們考慮如果在二次設(shè)計(jì)上添加旋轉(zhuǎn)性，我們設(shè)計(jì)一個旋轉(zhuǎn)中心。使與試驗(yàn)中心距離相等的點(diǎn)上的預(yù)測值的方差相等，就可以解決在空間位置帶來的方差干擾。但是同時考慮到已有的試驗(yàn)設(shè)計(jì)表示完全考慮正交性的，如果此時我們改變試驗(yàn)設(shè)計(jì)表那么我們必定會破壞原有的正交性。此時我們究竟是要正交性還是旋轉(zhuǎn)性，在因素水平較高的時候，用犧牲部分正交性換來旋轉(zhuǎn)性的方法是必要的。

中心組合設(shè)計(jì)方案中的試驗(yàn)點(diǎn)有三部分組成，第一是將編碼值-1，1都看成每個因素的兩個水平，如同一次回歸的正交設(shè)計(jì)那樣，采用二水平正交表安排設(shè)計(jì)。這部分試驗(yàn)次數(shù)為mc=2k。第二是在每一個因素的坐標(biāo)軸上取兩個試驗(yàn)點(diǎn)，該因素的編碼值分別為-γ，其他因素編碼值為0，由于有k個因素，因此這部分試驗(yàn)點(diǎn)共有2k個，稱這種試驗(yàn)點(diǎn)為星號點(diǎn)。γ=。第三是試驗(yàn)區(qū)域的中心進(jìn)行m0次重復(fù)試驗(yàn)，這時每個因素的編碼值均為0。這里值得說明的是，以上在選取水平值中應(yīng)用到的編碼值是對于標(biāo)準(zhǔn)差的度量，1代表距離中值相差一個標(biāo)準(zhǔn)差，這是在具體試驗(yàn)中會用到的。

正如之前所述，星點(diǎn)設(shè)計(jì)解決了因素水平較多的問題，比如在實(shí)際試驗(yàn)應(yīng)用中，有類似比例的指標(biāo)，比例的指標(biāo)取值是無窮無盡的，我們不可能窮盡每一個水平試驗(yàn)。由此我們要用某種科學(xué)的方法來抽取試驗(yàn)的水平值，在正交試驗(yàn)的試驗(yàn)點(diǎn)選取的基礎(chǔ)上選取的新的實(shí)驗(yàn)值我們稱之為星點(diǎn)，也正因此這種選取水平的設(shè)計(jì)試驗(yàn)方法被稱為星點(diǎn)設(shè)計(jì)，結(jié)合之后的擬合效應(yīng)面，也就是星點(diǎn)設(shè)計(jì)效應(yīng)面法。

正如之前所說，由于對于方差問題解決力度不同，星點(diǎn)設(shè)計(jì)有三種設(shè)計(jì)方案，如果確定一個試驗(yàn)，那么在此時試驗(yàn)因素?cái)?shù)目，因素水平的選取都是一定的了，此時只有最后一部分可以進(jìn)行調(diào)節(jié)以滿足不同需要，即中心點(diǎn)重復(fù)的次數(shù)。

2.1 二次回歸正交旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)

二次回歸正交旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)是星點(diǎn)設(shè)計(jì)中對方差誤差干擾這一問題處理最弱的一種方法，只是能保證所有相對于中心距離相等的點(diǎn)的預(yù)測的方差近似相等。對于那些相對于中心的距離有些許差別的試驗(yàn)點(diǎn)的預(yù)測方差可能會有很大的差異。

2.2 二次回歸通用旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)

二次回歸通用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)之所以有一定的通用性，在于其在對于方差的處理方面又做了更進(jìn)一步的改進(jìn)，同樣也失去了一定的正交性。其改進(jìn)在于對于編碼中心距離小于1的任意點(diǎn)上的預(yù)測值的方差都會近似相等，不會再局限于只是對于相對于中心距離相等的點(diǎn)。

2.3 二次回歸的均勻精度旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)

二次回歸的均勻精度旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)，在整個星點(diǎn)設(shè)計(jì)中是對于方差誤差的處理最嚴(yán)格的一種設(shè)計(jì)方法，同時也最多地犧牲了正交性。這種方法是建立在之前的通用性的基礎(chǔ)之上通過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變化轉(zhuǎn)化為任意球內(nèi)的均勻精度旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)。

三者比較來看，通過通用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)的試驗(yàn)次數(shù)適中，同時又不會過分地失去正交性，也就是說我們由此相信在星點(diǎn)設(shè)計(jì)中，通用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)會更多地應(yīng)用于實(shí)際試驗(yàn)中。其結(jié)果也會更有說服力，預(yù)測的結(jié)果會更加有效。

3 Plackett-Burman設(shè)計(jì)對星點(diǎn)設(shè)計(jì)的優(yōu)化

對于因素水平過多導(dǎo)致的精度不準(zhǔn)等問題已經(jīng)被星點(diǎn)設(shè)計(jì)這一方法在一定程度上很好的解決了。但同時我們還會面臨一個問題就是因素本身數(shù)量過多的問題。

Plackett-Burman試驗(yàn)就是篩選試驗(yàn)設(shè)計(jì)，主要針對因素?cái)?shù)較多，且未確定眾因素相對于響應(yīng)變量的顯著影響，采用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。方法主要通過對每個因素取兩水平來進(jìn)行分析，通過比較各個因素兩水平的差異與整體的差異來確定因素的顯著性。篩選試驗(yàn)設(shè)計(jì)不能區(qū)分主效應(yīng)與交互作用的影響，但對顯著影響的因素可以確定出來，從而達(dá)到篩選的目的，避免在后期的優(yōu)化試驗(yàn)中由于因素?cái)?shù)太多或部分因素不顯著而浪費(fèi)試驗(yàn)資源。

4 基于Plackett-Burman對星點(diǎn)設(shè)計(jì)的優(yōu)化的應(yīng)用說明

對于試驗(yàn)設(shè)計(jì)中可能會遇到的兩大問題，因素?cái)?shù)和水平數(shù)對于試驗(yàn)設(shè)計(jì)的影響，通過Plackett-Burman設(shè)計(jì)以及星點(diǎn)設(shè)計(jì)可以很好的解決這兩個問題。但是正如本文題目所示，這里只是一個在理論上的證述。具體實(shí)際應(yīng)用并沒有付諸實(shí)踐，因?yàn)椴殚嗁Y料時很少有學(xué)者將這兩者聯(lián)系起來進(jìn)行實(shí)際操作，而二者分開的研究卻是數(shù)不勝數(shù)。由此對于這個改進(jìn)是否有價值。在實(shí)際試驗(yàn)中究竟會不會碰到因素?cái)?shù)與水平數(shù)都難以選擇的情況，此處還不能體現(xiàn)。但我相信，假以時日這種方法在當(dāng)今科技高速發(fā)展，各行業(yè)的科技技術(shù)都處在高速發(fā)展的階段，因素?cái)?shù)與水平數(shù)的取舍定會成為一個問題，那時這種星點(diǎn)設(shè)計(jì)的改進(jìn)定會體現(xiàn)它的價值。

5 結(jié)語

通過本文的初步研究，得出的結(jié)論是基于Plackett-Burman設(shè)計(jì)可以與星點(diǎn)設(shè)計(jì)很好地結(jié)合在一起。鑒于星點(diǎn)設(shè)計(jì)主要是解決因素?cái)?shù)適當(dāng)?shù)綌?shù)過多的情況，Plackett-Burman設(shè)計(jì)則是主要解決因素?cái)?shù)過多的情況。如果可以將這兩者結(jié)合起來使用，那么試驗(yàn)設(shè)計(jì)中的兩大問題就可以很好地被解決?？梢灶A(yù)見基于Plackett-Burman改進(jìn)的星點(diǎn)設(shè)計(jì)方法由于科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展，未來的研究還可以在從這一方面進(jìn)行深入，或者對二者的方法再進(jìn)行改進(jìn)，相信會有更大的突破。

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作者簡介：張雙（1993—），女（滿族），遼寧錦州人，中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院學(xué)生，研究方向：數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)。