常用穩(wěn)健估計方法在坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換中的有效性比較

□董巧玲 王冠儒

（太原理工大學(xué)礦業(yè)工程學(xué)院測繪科學(xué)與技術(shù)系，山西太原030024）

常用穩(wěn)健估計方法在坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換中的有效性比較

□董巧玲 王冠儒

（太原理工大學(xué)礦業(yè)工程學(xué)院測繪科學(xué)與技術(shù)系，山西太原030024）

在進行GNSS坐標(biāo)系統(tǒng)之間相互轉(zhuǎn)換的坐標(biāo)擬合時，多采用基于最小二乘估計來研究不同的擬合方法，這就要求參與建模的觀測數(shù)據(jù)不包含粗差，一旦將粗差引入模型，就會造成參數(shù)的最小二乘估計結(jié)果失真。而穩(wěn)健估計方法能有效地消除或減弱粗差對參數(shù)估計的影響。本文探討了基于四參數(shù)和七參數(shù)模型坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換中，當(dāng)觀測值中包含粗差時幾種常用穩(wěn)健估計方法（Huber法、Tukey法、Danish法、IGGIII方案）的相對有效性，對于穩(wěn)健估計方法的選取具有一定的參考價值。

穩(wěn)健估計；粗差；坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

1.引言

自1953年G.E.P.BOX首先提出穩(wěn)健性（Robustness）的概念，Tukey、Huber、Hampel、Rousseeuw等人對參數(shù)的穩(wěn)健估計進行了卓有成效的研究[1]，1980年，丹麥的Krarup和Kubik等人將穩(wěn)健估計理論引入了測量界，1989年，周江文研究員針對測量平差中不等權(quán)觀測值普遍存在的情況下，提出了等價權(quán)原理，解決了不同精度獨立觀測的權(quán)函數(shù)的確定的問題。由于穩(wěn)健估計能夠比較好的處理測量原始數(shù)據(jù)含有粗差的問題，從此在測量界掀起了對穩(wěn)健估計研究的熱潮，這些研究擴充了穩(wěn)健估計方法的成果，為進一步理論研究和在測繪中應(yīng)用打下了基礎(chǔ)。坐標(biāo)系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換是應(yīng)用GNSS定位技術(shù)不可避免的問題[2]。近代以來，隨著3S等先進測量技術(shù)的發(fā)展以及測量數(shù)據(jù)采集的現(xiàn)代化和自動化，在某種意義上，粗差也不可避免地被包含在了平差模型之中[3]。由于最小二乘法對含有粗差的觀測量相當(dāng)敏感，個別粗差就會對參數(shù)的估值產(chǎn)生較大的影響[1]，此時，在測量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布情況下具有最優(yōu)統(tǒng)計性質(zhì)的經(jīng)典最小二乘法就不能滿足高精度測量的需要。針對最小二乘估計這一缺陷便提出了具有一定抵抗粗差能力的穩(wěn)健估計方法。穩(wěn)健估計（Robust Estimation）理論旨在構(gòu)造某種估計方法，使其對于粗差具有較強的抵抗能力。它與經(jīng)典的估計理論不同的是，穩(wěn)健估計理論中討論的最優(yōu)是在抗差的前提下的最優(yōu)[3]。坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換的實質(zhì)是求解坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換參數(shù)[4]。在平面直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中，較常用的是四參數(shù)的相似變換法，即2個平移參數(shù)、1個縮放參數(shù)和1個旋轉(zhuǎn)參數(shù)。在三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中，較常用的是較嚴(yán)密的七參數(shù)相似變換法，即3個平移參數(shù)，1個尺度比參數(shù)和3個旋轉(zhuǎn)參數(shù)。本文以算例探討了將粗差加入坐標(biāo)觀測值中，幾種穩(wěn)健估計方法之間以及與LS法對減弱或消除粗差的有效性比較，在觀測值中存在粗差的情況下，為合適地選擇參數(shù)估計方法提供了初步依據(jù)。

2.幾種常用的穩(wěn)健估計方法

（1）Huber法[5]：

（2）Tukey法[6]：

（3） Danish法[1]：

（4） IGGIII方案[7，8]：

3.坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換模型

3.1四參數(shù)坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換模型

P坐標(biāo)系統(tǒng)下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到Q坐標(biāo)系統(tǒng)下坐標(biāo)的四參數(shù)模型為[9]：

式中：XP和YP表示P坐標(biāo)系統(tǒng)下的坐標(biāo)；XQ和XQ表示Q坐標(biāo)系統(tǒng)下的坐標(biāo)；x0、y0、k和α是P坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到Q坐標(biāo)系統(tǒng)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，它們分別表示兩個平移參數(shù)、一個縮放參數(shù)和一個旋轉(zhuǎn)參數(shù)。

四參數(shù)坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換算例如下：

本算例選取將一組北京54坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為西安80下的坐標(biāo)中的5個重合點，其觀測數(shù)據(jù)見表1[10]。P、Q分別表示P、Q坐標(biāo)系統(tǒng)下坐標(biāo)的觀測值。由LS法求得中誤差約為± 0．3cm，i表示在第i個觀測值加入6cm（約為20倍的單位權(quán)中誤差由于算例中數(shù)據(jù)有限，加入10倍中誤差作為粗差，各估計方法減弱或消除粗差的效果不明顯，故選用20倍中誤差作為粗差）的粗差，j表示第j個觀測值加入6cm（同上）的粗差，g表示觀測值中加入粗差的個數(shù)。觀測值中加入粗差后改正數(shù)解算結(jié)果見表2、表3。

由于通常以三倍或兩倍中誤差作為偶然誤差的極限值，本文中取三倍中誤差作為偶然誤差的極限值。本算例中若含有粗差的觀測值的改正數(shù)大致落在v∈（5.1，6.9）cm范圍內(nèi)說明估計方法在一定程度上檢測出了粗差，能有效減弱或消除粗差對平差結(jié)果的影響。

表1 五重合點四參數(shù)坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換的觀測數(shù)據(jù)Tab.1 Observation data of four-parameter coordinate system transformation with five coincident points

表2 LS和不同穩(wěn)健估計方法的改正數(shù)（四參數(shù)，5重合點，g=1）Tab.2 Corrections of LS and different robust estimation methods（four-parameter，five coincident points，g=1）

表3 LS和不同穩(wěn)健估計方法的改正數(shù)（四參數(shù)，5重合點，g=2）Tab.3 Corrections of LS and different robust estimation methods（four-parameter，five coincident points，g=2）

將表2和表3中不同估計方法解算的改正數(shù)同值域v比較，可知在已知粗差大小和位置的情況下，當(dāng)g=1時，Tukey法、Danish法、IGGIII方案比LS法、Huber法更能有效地消除和減弱粗差對平差結(jié)果的影響；當(dāng)g=2時，Danish法、IGGIII方案比Huber法、Tukey法、LS法能同時更有效地減弱或消除不同位置上粗差對平差結(jié)果的影響。

3.2七參數(shù)坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換模型

P坐標(biāo)系統(tǒng)下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到Q坐標(biāo)系統(tǒng)下坐標(biāo)的七參數(shù)模型（Bursa模型）是[3]：

式中，XP、YP和ZP表示P坐標(biāo)系統(tǒng)下的坐標(biāo)；XQ、YQ和ZQ表示Q坐標(biāo)系統(tǒng)下的坐標(biāo)；x0、y0、z0、βx、βy和 βz分別是三個平移參數(shù)、一個縮放參數(shù)和三個旋轉(zhuǎn)參數(shù)。

七參數(shù)坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換算例如下：

本算例選取三維小角度直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中6個重合點，其觀測數(shù)據(jù)見表4[11]。P、Q分別表示P、Q坐標(biāo)系統(tǒng)下坐標(biāo)的觀測值。由LS法求得中誤差約為±0.5cm，i表示在第i個觀測值加入5cm（約為10倍的單位權(quán)中誤差）的粗差，j表示第j個觀測值加入5cm（同上）的粗差，g表示觀測值中加入粗差的個數(shù)。觀測值中加入粗差后改正數(shù)解算結(jié)果見表5、表6。

同上個算例相同，取三倍中誤差作為偶然誤差的極限值。本算例中若含有粗差的觀測值的改正數(shù)大致落在v'∈（3.5，6.5）cm范圍內(nèi)說明估計方法在一定程度上檢測出了粗差，能有效減弱或消除粗差對平差結(jié)果的影響。

表4 六重合點七參數(shù)坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換的觀測數(shù)據(jù)Tab.4 Observation data of seven-parameter coordinate system transformation with six coincident points

表5 LS和不同穩(wěn)健估計方法的改正數(shù)（七參數(shù)，6重合點，g=1）Tab.5 Corrections of LS and different robust estimation methods（seven-parameter，six coincident points，g=1）

表6 LS和不同穩(wěn)健估計方法的改正數(shù)（七參數(shù)，6重合點，g=2）Tab.6 Corrections of LS and different robust estimation methods（seven-parameter，six coincident points，g=2）

將表5和表6中不同估計方法解算的改正數(shù)同值域比較，可知在已知粗差大小和位置的情況下，當(dāng)g=1時，Tukey法、Danish法、IGGIII方案比LS法、Huber法能更有效地消除或減弱粗差對平差結(jié)果的影響；當(dāng)g= 2時，Tukey法、Danish法、IGGIII方案比Huber法、LS法能同時更有效地減弱或消除不同位置上粗差對平差結(jié)果的影響。

4.結(jié)語

本文通過算例研究了在四參數(shù)和七參數(shù)模型坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換的觀測值包含粗差的情況下，通過分析比較穩(wěn)健估計的Huber法、Tukey法、Danish法、IGGIII方案和LS法解算結(jié)果的改正數(shù)可知，在一定的條件下，Tukey法、Danish法、IGGIII方案比Huber法、LS法能更有效地消除或減弱粗差對參數(shù)估計結(jié)果的影響。當(dāng)粗差個數(shù)或位置改變時，穩(wěn)健估計各方法對于減弱或消除粗差的有效性會有一定的改變，一般情況下，Danish法、IGGIII方案具有相對較好的有效性。究其原因，觀測數(shù)據(jù)的相關(guān)性、粗差存在位置、粗差個數(shù)、粗差的大小等可能是造成其有效性改變的影響因素。本文為坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換如何選擇更恰當(dāng)?shù)墓烙嫹椒ㄌ峁┝艘欢ǖ囊罁?jù)。

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王冠儒（1966年——），女，碩士，高工，畢業(yè)于太原理工大學(xué)，主要從事測量數(shù)據(jù)處理和實驗室管理。

P207

A

2095-7319（2014）03-0057-05

董巧玲（1988年——），女，碩士，太原理工大學(xué)測繪科學(xué)與技術(shù)系，研究方向為空間數(shù)據(jù)采集方法和數(shù)據(jù)處理。