簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)與音樂(lè)的聯(lián)系及其可視化

徐富清

（揚(yáng)州市邗江區(qū)公道中學(xué) 江蘇 揚(yáng)州 2251 19 ）

兩年前，講完簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)一章后，無(wú)意中向?qū)W生展示了幾幅李薩如圖形，告訴他們簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)與音樂(lè)有深深的聯(lián)系，且這里的李薩如圖形是由兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成的結(jié)果．頓時(shí)學(xué)生紛紛提出問(wèn)題，為什么幾個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)就會(huì)合成一個(gè)個(gè)漂亮的圖形？這種圖形還有哪些表現(xiàn)？音樂(lè)怎樣通過(guò)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)出來(lái)……

事后查閱了大量資料，發(fā)現(xiàn)有兩種典型的諧振儀，分別是橫向式諧振儀和轉(zhuǎn)動(dòng)式諧振儀，可以將幾個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成李薩如圖形，然后，使用MATLAB工具就可將音樂(lè)與李薩如圖形的關(guān)系以可視化的方式表現(xiàn)出來(lái)．

首先，通過(guò)振動(dòng)了解音樂(lè)，了解單擺的頻率與音程之間的關(guān)系．

1 泛音與音程

1．1 彈撥琴弦

仔細(xì)聆聽(tīng)，你聽(tīng)到的不只是基礎(chǔ)音（主調(diào)音），還會(huì)聽(tīng)到多重和聲，也就是泛音．如圖1呈現(xiàn)了前5個(gè)泛音，藍(lán)、綠點(diǎn)是琴弦振動(dòng)的波節(jié)．

圖1

1．2 琴弦上各音程的位置

根據(jù)振動(dòng)的知識(shí)，當(dāng)音的頻率比呈簡(jiǎn)單整數(shù)關(guān)系時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生悅耳的和聲．圖2是一根琴弦上各音程的位置．以“第二音程，五度 ——3∶2”為例，當(dāng)琴弦振動(dòng)時(shí)，用手按住A點(diǎn)（圖2），A點(diǎn)右側(cè)部分的弦長(zhǎng)占整個(gè)弦長(zhǎng)的，那么就形成“第二音程，五度”．

圖2 一根琴弦各音程的位置

2 音程與單擺的頻率

由于不同音樂(lè)家演唱的聲音頻率是不同的，但他們每個(gè)人在整首曲子中聲音的音階比是不變的，那么，表現(xiàn)樂(lè)音的最佳方法就是將樂(lè)音的頻率降低10 ～100 倍，這樣，通過(guò)單擺的振動(dòng)，以肉眼就能“看到”音樂(lè)了．

簡(jiǎn)單的諧振儀使用兩個(gè)擺來(lái)代表和聲，其中一個(gè)擺錘放到最低位置，另一個(gè)擺錘的位置則依特定的比率設(shè)置．表1給出了單擺的頻率與音程之間的關(guān)系．

表1 單擺的頻率與音程的關(guān)系

3 兩種諧振儀和MATLAB工具

3．1 橫向式諧振儀

如圖3所示，這種諧振儀有2個(gè)擺，分別經(jīng)由洞孔懸于臺(tái)面下方，它們的擺動(dòng)方向彼此垂直．兩個(gè)擺的柄都突出臺(tái)面，其中一個(gè)擺錘的柄上裝了個(gè)平臺(tái)，上面夾著一張紙，另一個(gè)擺的柄上則裝了一支帶筆的筆桿．

圖3 橫向諧振儀

兩個(gè)擺錘擺動(dòng)時(shí)，筆就會(huì)描繪出兩者合成運(yùn)動(dòng)的結(jié)果．剛開(kāi)始時(shí)兩擺長(zhǎng)度相等，接著縮短其中一擺的長(zhǎng)度，如此就可以依次呈現(xiàn)出各種和聲的頻率比．

3．2 轉(zhuǎn)動(dòng)式諧振儀

如圖4所示，這種諧振儀有3個(gè)擺，由于兩側(cè)的兩個(gè)擺的擺動(dòng)方向彼此垂直且振幅相等，二者的合運(yùn)動(dòng)是一個(gè)圓周，而中間擺做的是圓周運(yùn)動(dòng)，因此三者的合運(yùn)動(dòng)是2個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)的結(jié)合．

圖4 轉(zhuǎn)動(dòng)式諧振儀

3．3 MATLAB工具描述

MATLAB是一款功能非常強(qiáng)大的軟件，在其具有的眾多優(yōu)點(diǎn)中比較突出的，是以可視化的方式將計(jì)算結(jié)果快速、準(zhǔn)確地用圖形的方式形象、直觀地描繪出來(lái)．本文就使用MATLAB軟件將兩個(gè)單擺的復(fù)合運(yùn)動(dòng)以可視化方式表達(dá)音樂(lè)．

4 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)與音樂(lè)的可視化

4．1 橫向式諧振儀中的音樂(lè)可視化

（1）橫向八度 ——2∶1

若一擺的頻率是另一個(gè)的2倍，并且兩者的擺動(dòng)方向呈直角，這時(shí)的八度就會(huì)繪出數(shù)字8的形狀，且相位差不同時(shí)得到的結(jié)果也不同，如圖5，圖6．如果讓兩擺不斷反復(fù)，振幅隨著擺動(dòng)的減弱而減小，得到的結(jié)果如圖7所示．

圖5 相位差是

圖6 相位差是

圖7 振幅減小，相位差是

（2）橫向四度 ——4∶3

若兩單擺振動(dòng)的頻率之比是4∶3，并且兩者的擺動(dòng)方向呈直角，相位差不同時(shí)得到的結(jié)果也不同，如圖8～10 所示．

圖8 相位差是

圖9 相位差是

圖10 相位差是

（3）橫向大三度 ——5∶4

若兩單擺振動(dòng)的頻率之比是5∶4，并且兩者的擺動(dòng)方向呈直角，相位差不同時(shí)得到的結(jié)果也不同，如圖11 ～13 所示．

圖11 相位差是

圖12 相位差是

圖13 相位差是

顯然，合成運(yùn)動(dòng)的圖形不僅與振動(dòng)頻率有關(guān)，而且相位差不同時(shí)，結(jié)果也不相同．橫向式諧振儀表現(xiàn)圖形相對(duì)簡(jiǎn)單、單調(diào)．但是轉(zhuǎn)動(dòng)式諧振儀表現(xiàn)出的圖形就雅致而令人驚奇．

4．2 轉(zhuǎn)動(dòng)式諧振儀中的音樂(lè)可視化

（1）旋轉(zhuǎn)八度 ——2∶1

這時(shí)兩擺的運(yùn)動(dòng)情形是兩個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)的結(jié)合，其中一個(gè)擺的速率剛好是另一個(gè)的2倍．筆者發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩擺振幅相等，且同相位或相位差為π時(shí)，分別呈現(xiàn)出心形、三葉草形狀，如圖14 ，15 所示；當(dāng)兩擺振幅不相等且相位差為π時(shí)，呈現(xiàn)為三角形，如圖16 所示．

圖14 心形，同相位

圖15 三葉草，相位差π

圖16 三角形，振幅不相等，相位差π

（2）旋轉(zhuǎn)五度 ——3∶2

若兩擺圓周運(yùn)動(dòng)的速率之比是3∶2，當(dāng)兩圓周運(yùn)動(dòng)振幅相等，相位差為π，不斷反復(fù)且振幅隨著擺動(dòng)的減弱而減小時(shí)，呈現(xiàn)出五葉草形，如圖18 所示；兩圓周運(yùn)動(dòng)振幅不相等，相位差為π，振幅隨著擺動(dòng)的減弱而減小時(shí)，呈現(xiàn)出五角星，如圖19 所示．

圖17 同相位

圖18 五葉草，振幅減小，相位差是π

圖19 五角星，振幅不相等，相位差是π

（3）旋轉(zhuǎn)大三度 ——5∶4

若兩擺圓周運(yùn)動(dòng)同相位，速率之比分別是5∶4和5∶1，合成運(yùn)動(dòng)的結(jié)果分別如圖20 和圖22 所示，它們表現(xiàn)出奇異而與眾不同的特質(zhì)．

圖20 同相位

圖21 振幅不相等，相位差π

圖22 頻率5∶1，同相位

5 小結(jié)

如果將MATLAB程序中的參數(shù)略微改變一些，比如，改變簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率、相位、振幅等，筆者發(fā)現(xiàn)很多有趣的圖形，有時(shí)令人感到有些不可思議，比如下面2例．

（1）略微改變頻率，產(chǎn)生“拍”的現(xiàn)象．如圖23 所示，這個(gè)形狀就是從天王星上觀察到的海王星運(yùn)行軌跡，這是因?yàn)檫@兩顆行星都是同向繞日運(yùn)行，天王星的周期為84 年，海王星則為165 年，大致相當(dāng)于一個(gè)八度．

圖23 不同頻率

（2）就旋轉(zhuǎn)圖形而言，振幅比“相位”更重要，相位僅僅影響到頁(yè)面整個(gè)構(gòu)圖的放置方向．如圖24 和圖25 所示，這兩圖都是音階十一度（頻率8∶3），圖24 兩個(gè)單擺的振幅是相同的，圖25 兩單擺的振幅是不同的，且在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中它們的振幅逐漸減小．

圖24 振幅相同

圖25 振幅不同

6 結(jié)束語(yǔ)

上學(xué)期，筆者將所發(fā)現(xiàn)的音樂(lè)與李薩如圖形之間的關(guān)系一一展示給學(xué)生欣賞，目的是培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)他們的想象，知道物理學(xué)不是單調(diào)枯燥的，關(guān)鍵是以怎樣的方式表達(dá)．這要求教師在教學(xué)過(guò)程中要以一種超前的戰(zhàn)略眼光，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的科學(xué)精神，以開(kāi)放的思維、大膽的設(shè)想提出自己的見(jiàn)解．在課堂教學(xué)中提倡以一種活潑而靈動(dòng)的、寓教于樂(lè)的方式傳輸知識(shí)，某個(gè)時(shí)候，師生的關(guān)系會(huì)在某個(gè)點(diǎn)上能夠產(chǎn)生“共鳴”．

1 （英）安東尼·艾希頓著．諧振儀——音樂(lè)數(shù)學(xué)原理的可視化向?qū)ВR俊杰譯．長(zhǎng)沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2012

2 鐘季康，鮑鴻吉．大學(xué)物理習(xí)題計(jì)算機(jī)解法——MATLAB編程應(yīng)用．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2008

3 彭芳麟．?dāng)?shù)學(xué)物理方程的MA TA L B解法與可視化．北京：清華大學(xué)出版社，2004