基于灰關(guān)聯(lián)度的數(shù)控磨床故障間隔時間分布模型決策*

范晉偉，梁曉霞，鄭德榮，劉勇軍

(北京工業(yè)大學(xué) 機電學(xué)院，北京 100124)

0 引言

科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展，使可靠性變成了產(chǎn)品的重要指標之一，并貫穿于產(chǎn)品的整個研制過程。數(shù)控磨床作為現(xiàn)代制造業(yè)的工作母機，其對可靠性研究的需求也顯得越來越迫切［1］。平均無故障間隔時間(即MTBF)作為衡量數(shù)控磨床可靠性的一個重要指標，其計算的精確性也日漸重要。

可靠性評價過程中，首先要收集整理數(shù)控磨床無故障間隔時間，對數(shù)據(jù)進行分析處理后，給出該系列數(shù)控磨床的故障間隔時間的分布模型。通常采用的模型有威布爾分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布和指數(shù)正態(tài)分布，但具體符合哪種分布大部分情況仍然由人為因素決定，故本文引入了灰色關(guān)聯(lián)度分析法。

灰色關(guān)聯(lián)度分析法是灰色系統(tǒng)分析方法的一種，灰色系統(tǒng)理論提出了對各曲線形狀進行灰色關(guān)聯(lián)度分析的概念。灰色關(guān)聯(lián)度分析的意義是指在曲線擬合過程中，如果兩條曲線的變化態(tài)勢是一致的，即擬合程度較高，則可以認為兩者關(guān)聯(lián)度較大;反之，則兩者關(guān)聯(lián)度較小［2］。因此，通過計算比較擬合曲線關(guān)聯(lián)度的大小，便可更準確的決策故障間隔時間的分布類型，從而可精確計算數(shù)控磨床無故障間隔時間。

1 灰色關(guān)聯(lián)度分析法簡介

灰色關(guān)聯(lián)度分析［3-4］來自灰色系統(tǒng)理論，最早由鄧聚龍教授于1982 年創(chuàng)始?；谊P(guān)聯(lián)分析法的基本思想是根據(jù)統(tǒng)計序列曲線與擬合分布幾何形狀的相似程度來確定相關(guān)聯(lián)度。兩曲線的幾何形狀越接近，它們的關(guān)聯(lián)程度越大。對于時間離散序列，所謂兩條曲線的接近程度是指兩時間序列在對應(yīng)各時段上的曲線斜率的接近程度，若兩曲線在各時段上的曲線斜率相等或相差較小，則兩曲線的關(guān)聯(lián)度就大，反之就小。通過二十多年大批學(xué)者的發(fā)展，相繼發(fā)展了相對關(guān)聯(lián)度、絕對關(guān)聯(lián)度、斜率關(guān)聯(lián)度、T 型關(guān)聯(lián)度、B 型關(guān)聯(lián)度、C 型關(guān)聯(lián)度以及若干種改進的關(guān)聯(lián)度計算方法，吉林大學(xué)張英芝等人參考王堅強教授提出的新的灰色關(guān)聯(lián)度的計算模型［5］，將灰色關(guān)聯(lián)分析引入機床故障分布擬合的擇優(yōu)中。具體方法如下:

(1)生成增量序列:

(2)標準化:

(3)計算各時間點的關(guān)聯(lián)系數(shù):

ξ(tk)=

(4)計算兩序列的關(guān)聯(lián)度r(x1，x2):

r(X1，X2)越大，則擬合的分布與樣本圖在相鄰兩時間點的曲線斜率越相近，則擬合分布曲線就越能描述故障間隔時間的分布規(guī)律。因而r(X1，X2)最大的分布模型為描述產(chǎn)品故障分布規(guī)律的最佳函數(shù)。

2 灰關(guān)聯(lián)度分析在數(shù)控磨床中的應(yīng)用

本文以MSK 系列數(shù)控磨床為例，運用灰關(guān)聯(lián)分析法對其故障間隔時間分布模型進行決策。

2.1 可靠性數(shù)據(jù)采集

可靠性采集數(shù)據(jù)的方式有定數(shù)截尾、定時截尾、隨機截尾三種方式［6］。

鑒于分析對象為數(shù)控磨床，成批量生產(chǎn)，且使用廠家分散，不可能進行全數(shù)試驗。而且基于產(chǎn)品故障間隔時間從幾小時到上千小時不等，范圍較廣，不方便使用定數(shù)截尾試驗，因論文對包裝機械采用定時截尾試驗。

2.2 繪制散點圖

將統(tǒng)計的樣本點按從小到大的順序排列，以樣本值為橫坐標，對應(yīng)的經(jīng)驗分布函數(shù)值為縱坐標，得到故障間隔時間累積分布函數(shù)F(t)的散點圖。

設(shè)壽命樣本值由小到大的觀測值為:t1≤t2≤tn，則其經(jīng)驗分布函數(shù)［7］為:

根據(jù)上式計算各故障對于的經(jīng)驗分布函數(shù)值結(jié)果如表1 所示。

表1 圖形擬合檢驗數(shù)據(jù)計算表

以ti作為橫坐標，F(xiàn)(ti)作為縱坐標，即可獲得故障間隔時間樣本分布的散點圖，如圖1 所示。

圖1 分布函數(shù)散點圖

2.3 故障間隔時間分布函數(shù)的擬合與檢驗

由圖1 的曲線走勢可知，該數(shù)控磨床故障間隔工作時間所服從的分布不會是正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布，而可能是指數(shù)分布或威布爾分布。

2.3.1 威布爾分布

(1)分布擬合

威布爾分布密度函數(shù)為［8］

威布爾分布函數(shù)為

式中，m為形狀參數(shù)，m ＞0 ;η 為尺度參數(shù)，η＞0 ;γ為位置參數(shù)，γ＞0 。在實際應(yīng)用中，往往假設(shè)在t =0時產(chǎn)品便發(fā)生故障。這樣，簡化為兩參數(shù)威布爾分布，相應(yīng)地，上式分別簡化為:

對于兩參數(shù)威布爾分布［9］，其累積分布函數(shù)為

對上式兩端進行變換，并取自然對數(shù)得

設(shè)樣本的線性回歸函數(shù)為:

則，B = m，A = - mlnη

根據(jù)最小二乘法的原理，假設(shè)y與x有如下關(guān)系:

其中εi～N(0，σ2)，

解矩陣方程得:

圖2 為威布爾分布擬合出來的概率分布函數(shù):

圖2 威布爾分布擬合概率分布函數(shù)

(2)線性相關(guān)性檢驗

由于威布爾分布可以變成線性關(guān)系來處理，故在顯著水平α=0.05 下采用相關(guān)系數(shù)法進行檢驗。

若采用相關(guān)系數(shù)法進行檢驗，其相關(guān)系數(shù)為［10］:

由于有105 個故障間隔時間，顯著水平位0.05，則查表可以得到ρ(103，0.05)=0.19179 。

經(jīng)計算得威布爾擬合函數(shù)的線性相關(guān)系數(shù)為:

2.3.2 指數(shù)分布

(1)分布擬合

指數(shù)分布概率密度函數(shù)為［8］:

指數(shù)分布函數(shù)為:

根據(jù)最小二乘法的原理擬合得:

則指數(shù)分布函數(shù)為:F(t)=1- e-0.001388723t

圖3 為指數(shù)分布擬合出來的概率分布函數(shù):

圖3 指數(shù)分布擬合概率分布函數(shù)

(2)線性相關(guān)性檢驗

同樣在顯著水平α=0.05 下采用相關(guān)系數(shù)法進行檢驗［10］:

2.4 灰關(guān)聯(lián)度分析法決策分布模型

根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)度分析方法的具體計算過程，下面分別計算兩種分布的關(guān)聯(lián)度值。

首先計算增量序列，其中Δy1表示威布爾分布擬合的數(shù)據(jù)列的增量，Δy2表示指數(shù)分布擬合的數(shù)據(jù)列的增量，Δy0表示原始整理的數(shù)據(jù)列的增量。然后分別進行標準化、計算各時間點的關(guān)聯(lián)系數(shù)。最后分別求得威布爾分布和指數(shù)分布擬合數(shù)據(jù)列與采集故障數(shù)據(jù)列的關(guān)聯(lián)度r(X1，X0)和r(X2，X0)為:

從幾何上，灰關(guān)聯(lián)度分析法實際上是一種曲線間幾何形狀的分析比較，即幾何形狀越接近，則關(guān)聯(lián)度越大，反之則小。所以根據(jù)上述計算結(jié)果，指數(shù)分布的灰色關(guān)聯(lián)度更大，所以確定MSK 系列數(shù)控磨床的故障間隔時間的分布符合指數(shù)分布。

3 結(jié)論

灰色關(guān)聯(lián)度分析法已成功應(yīng)用于很多領(lǐng)域，并取得很好的效果。但在數(shù)控磨床可靠性領(lǐng)域的應(yīng)用卻幾乎沒有。本文將灰色關(guān)聯(lián)度分析法引入數(shù)控磨床故障間隔時間分布模型的決策中，能夠定量的擇優(yōu)選擇分布模型，避免了很多認為因素，使可靠性評價的結(jié)果更準確、更具說服力。同時，將MKS 系列數(shù)控磨床作為實例，運用灰關(guān)聯(lián)度分析法進行故障間隔時間分布模型的決策，詳細說明了灰關(guān)聯(lián)分析的具體方法和步驟。最后，灰關(guān)聯(lián)度分析簡單、實用，在數(shù)控磨床可靠性研究過程中發(fā)揮了很大作用。

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