具有時滯和分段常數(shù)變量的比率型密度制約模型的分支分析

尚隨明, 陳斯養(yǎng)

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 陜西 西安 710062)

0 引言

生態(tài)系統(tǒng)中帶有分段常數(shù)變量的微分方程模型由于其具有較強的現(xiàn)實背景及意義，近年來受到生態(tài)數(shù)學(xué)學(xué)者的廣泛關(guān)注.文獻[1-5]詳細討論了幾類種群動力學(xué)的復(fù)雜行為，文獻[6-8]簡單介紹了具有分段常數(shù)變量的Logistic模型

(1)

文獻[9,10]詳細討論了模型(1)的穩(wěn)定性和分支問題.文獻[11]研究了一類具有密度制約并帶有分段常數(shù)變量的單種群模型

的穩(wěn)定性.考慮到實際因素對種群的影響(如時滯因素)，文獻[12]研究了模型

的穩(wěn)定性，關(guān)于此模型的相關(guān)討論亦可見文獻[13,14].文獻[15]中討論了具有時滯和分段常數(shù)變量的單種群模型

正解的全局吸引性，正平衡態(tài)的存在唯一性與穩(wěn)定性.

在生態(tài)模型中，密度制約往往呈現(xiàn)比較復(fù)雜的變化形式,本文討論了具有時滯和分段常數(shù)變量的比率型密度制約單種群模型

(2)

正平衡態(tài)的穩(wěn)定性、分支的存在性及其方向和穩(wěn)定性.當(dāng)n

對上式關(guān)于t積分得

令t→n+1，即得與(2)等價的差分方程

(3)

當(dāng)m=0，c=0時模型(3)即為經(jīng)典的Logistic差分方程模型.其中r表示種群的內(nèi)稟增長率，a，c表示[t-m]時刻種群的密度制約系數(shù)，且a，c，r∈R+.

1 正平衡態(tài)穩(wěn)定性與分支存在的條件

本節(jié)選取內(nèi)稟增長率r為分支參數(shù)，討論了模型(3)在m=0和m=1及m=2三種情況下正平衡態(tài)的穩(wěn)定性及分支存在的條件.

1.1 m=0時正平衡態(tài)穩(wěn)定性與分支存在的條件

模型(2)在m=0時由(3)知其差分方程為

(4)

設(shè)是x*是(4)的正平衡態(tài)，則

證明:模型(4)在x*處的線性化方程為

1.2 m=1正平衡態(tài)穩(wěn)定性與分支存在的條件

模型(2)在m=1時知其對應(yīng)的差分方程為

(5)

證明:模型(5)在x*處的線性化方程為

x(n+1)=x*+(x(n)-x*)+

(6)

1.3m=2時正平衡態(tài)穩(wěn)定性與分支存在的條件

模型(2)在m=2時由(3)知其差分方程為

(7)

證明:模型(7)在x*處的線性化方程為

2 分支的方向、穩(wěn)定性和規(guī)范型

令則y(n)=x(n-1)則(5)等價于

(8)

作映射

X→A0X+F(X)

(9)

在正平衡態(tài)E(x*,y*)處的Taylor展開式為

由映射(9)經(jīng)計算可得

根據(jù)文獻[13,17]可得如下定理4.

對于m=2時的情況，應(yīng)用m=1時的基本思想，可得以下定理5.

3 數(shù)值模擬

本節(jié)給出舉例與數(shù)值模擬，運用MATLAB軟件繪制出分支圖、穩(wěn)定圖、解圖和最大李雅普諾夫指數(shù)圖，從而驗證理論的正確性.

例1m=0時選取a=0.5，c=10，x*=2，則在042時正平衡態(tài)不穩(wěn)定，模型(5)分支圖如圖1所示，隨著r變化的最大李雅普諾夫指數(shù)圖如圖2所示，取r=39.022<42時得到穩(wěn)定圖如圖3所示.

圖1 以r為分支參數(shù)的分支圖

圖2 最大李雅普諾夫指數(shù)圖

圖3 r=39.022<42時n-x穩(wěn)定圖

例2m=1時選取a=0.9，c=2，x*=1.11,最大李雅普諾夫指數(shù)圖(如圖4所示)以及對應(yīng)的分支圖(如圖5所示)當(dāng)r=3.061 1<3.222 2穩(wěn)定解圖(如圖6所示)；當(dāng)r=3.222時對應(yīng)的N-S 分支圖 (如圖7所示).

圖4 最大李雅普諾夫指數(shù)圖

圖5 隨著r變化的分支圖

圖6 r=3.061 1<3.222 2時x-y穩(wěn)定圖

圖7 r=3.222 N-S分支圖

4 總結(jié)

本文對模型(2)當(dāng)m=0，m=1，m=2時，討論了模型正平衡態(tài)的穩(wěn)定性和分支存在性，應(yīng)用Jury判據(jù)得到對應(yīng)差分方程模型正平衡態(tài)的穩(wěn)定性與分支條件，運用中心流行定理計算出N-S分支的規(guī)范型.通過數(shù)值模擬驗證理論的正確性以及生物系統(tǒng)動力學(xué)行為的復(fù)雜性.基于第一部分的分析和第二部分的計算可知，本文模型的分支值隨著m的增大而減小，第三部分的繪圖也驗證了這一結(jié)論.

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