球面菱形離散格網(wǎng)正二十面體剖分法

周良辰,盛業(yè)華,林冰仙,閭國(guó)年,趙志鵬

1.南京師范大學(xué)虛擬地理環(huán)境教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇南京 210023;2.江蘇省地理信息資源開(kāi)發(fā)與利用協(xié)同創(chuàng)新中心,江蘇南京 210023

球面菱形離散格網(wǎng)正二十面體剖分法

周良辰1,2,盛業(yè)華1,2,林冰仙1,2,閭國(guó)年1,2,趙志鵬1,2

1.南京師范大學(xué)虛擬地理環(huán)境教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇南京 210023;2.江蘇省地理信息資源開(kāi)發(fā)與利用協(xié)同創(chuàng)新中心,江蘇南京 210023

基于菱形單元的球面離散格網(wǎng)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和方向性一致等優(yōu)點(diǎn),使得其適用于全球多尺度空間數(shù)據(jù)建模與分析。本文提出一種球面菱形離散格網(wǎng)正二十面體剖分法。首先根據(jù)地球的主要地理特征確定正二十面體各個(gè)頂點(diǎn)在球面上的位置;其次針對(duì)南北兩極處的極點(diǎn)奇異性,建立了球面經(jīng)緯度坐標(biāo)與三維直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,在此基礎(chǔ)上提出球面菱形離散格網(wǎng)層次遞歸剖分算法,并從菱形格網(wǎng)單元面積、長(zhǎng)短軸比兩方面對(duì)剖分結(jié)果進(jìn)行幾何形變分析;最后驗(yàn)證了本文方法的可行性,試驗(yàn)結(jié)果表明,該方法可有效地構(gòu)建基于正二十面體的球面菱形離散格網(wǎng),其總體幾何特性明顯優(yōu)于基于正八面體構(gòu)建的球面菱形離散格網(wǎng)。

全球離散格網(wǎng);菱形;正二十面體;層次遞歸剖分;幾何形變

1 引 言

全球離散格網(wǎng)(discrete global gird,DGG)主要研究如何將地球表面剖分成一個(gè)等面積、等形狀、具有多分辨率的空間層次格網(wǎng)結(jié)構(gòu)[1],采用每個(gè)格網(wǎng)對(duì)應(yīng)的地址碼代替地理坐標(biāo)在球面上進(jìn)行操作。由于地址碼既表示位置,又表達(dá)了比例尺和精度,因此已被廣泛應(yīng)用于全球尺度空間數(shù)據(jù)集成與模式計(jì)算中[2-3]。最常見(jiàn)的DGG構(gòu)建方法是以經(jīng)緯弧線為基礎(chǔ),使得基于經(jīng)緯坐標(biāo)系的數(shù)據(jù)及算法無(wú)需進(jìn)行坐標(biāo)變換即可使用,但該格網(wǎng)存在單元面積從赤道向南北兩極逐漸收斂造成格網(wǎng)粒度不均勻以及極點(diǎn)收斂等問(wèn)題[4]。另一類常見(jiàn)的DGG構(gòu)建方法是基于5種基本柏拉圖立體,目前研究較多的是基于正八面體或正二十面體的球面三角形離散格網(wǎng)[5-6]、球面菱形離散格網(wǎng)[7-8]與球面六邊形離散格網(wǎng)[9-10]。該類DGG因具有粒度近似多層次多分辨率等特性,目前成為研究的重點(diǎn)。

球面菱形離散格網(wǎng)具有類似于平面正方形格網(wǎng)的幾何結(jié)構(gòu),在剖分方法與編碼機(jī)制上比三角形或六邊形格網(wǎng)簡(jiǎn)單,且具有方向性一致、徑向?qū)ΨQ和平移相和性,易于實(shí)現(xiàn)鄰近搜索和層次關(guān)聯(lián)等空間操作,適應(yīng)于全球空間數(shù)據(jù)管理與模式計(jì)算[11]。正八面體6個(gè)頂點(diǎn)可以定位在兩個(gè)極點(diǎn)和4個(gè)等分的赤道點(diǎn)上,任意的經(jīng)緯度坐標(biāo)能很容易地定位到其中一個(gè)面上[12]。相關(guān)學(xué)者對(duì)球面菱形離散格網(wǎng)正八面體剖分方法、編碼模型、空間數(shù)據(jù)建模以及空間分析等方面均進(jìn)行了較為深入的研究[5,7-8]。然而,正八面體的形狀與球體相差較大,因此格網(wǎng)系統(tǒng)的單元形狀會(huì)出現(xiàn)較大變形(圖1)。相比之下,正二十面體是最接近球面的柏拉圖立體[12],基于正二十面體所構(gòu)建的DGG將具有更均勻的幾何性質(zhì),有利于全球空間數(shù)據(jù)建模與模式模擬[13],因此逐步引起相關(guān)研究者的關(guān)注[14-16]。

圖1 正八面體和正二十面體對(duì)比Fig.1 Comparison between octahedron and icosahedron

剖分方法是構(gòu)建DGG的基礎(chǔ),以菱形作為基本格網(wǎng)單元的DGG,通常采用四叉樹(shù)剖分策略[19],但正二十面體的幾何性質(zhì)、拓?fù)湫再|(zhì)比正八面體更為復(fù)雜,無(wú)法直接采用現(xiàn)有的球面菱形離散格網(wǎng)正八面體剖分方法[5,7-8]。

2 正二十面體與球面的對(duì)應(yīng)關(guān)系

球面菱形離散格網(wǎng)正二十面體剖分首先要確定正二十面體各個(gè)頂點(diǎn)在球面上的位置。文獻(xiàn)[17]分別在兩極各放置一個(gè)頂點(diǎn),其中一條通過(guò)北極的邊線和0°經(jīng)線重合(圖2(a))。圖2(b)、(c)將大部分多面體頂點(diǎn)放在海洋上,減少頂點(diǎn)對(duì)陸地?cái)?shù)據(jù)的影響[16-18]。地理現(xiàn)象客觀存在著水平地帶性特征(即經(jīng)度地帶性和緯度地帶性的合稱),同時(shí)地球是以南北兩極所確定的地軸為中心進(jìn)行自轉(zhuǎn)。后一種放置方法只能針對(duì)陸地應(yīng)用,且沒(méi)能顧及地球的自轉(zhuǎn)特性。因此本文采用文獻(xiàn)[17]提出的方法建立正二十面體與球面的對(duì)應(yīng)關(guān)系。將正二十面體中頂點(diǎn)位于極點(diǎn)處的三角形與其極點(diǎn)對(duì)邊相鄰的三角形進(jìn)行合并,可以將正二十面體劃為10個(gè)初始菱形格網(wǎng)單元。這些格網(wǎng)單元沿赤道對(duì)稱,符合地球南北兩極的方向性、對(duì)稱性和水平地帶性特征,便于后續(xù)的剖分、編碼與地理坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

圖2 正二十面體的3種不同放置方法Fig.2 Icosahedron placed in three different ways

3 菱形格網(wǎng)單元層次遞歸剖分

初始菱形格網(wǎng)單元確定后,即可進(jìn)行格網(wǎng)單元的層次遞歸剖分。球面菱形離散格網(wǎng)單元形狀、大小近似規(guī)則、均勻,拓?fù)溥B接關(guān)系類似于正方形格網(wǎng),可以按照四叉樹(shù)或其他方式進(jìn)行層次遞歸剖分[19]。正二十面體結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性以及南北兩極處的極點(diǎn)奇異性給格網(wǎng)單元與球面經(jīng)緯度的轉(zhuǎn)換帶來(lái)問(wèn)題。分析發(fā)現(xiàn),球面菱形離散格網(wǎng)單元的幾何位置既可以用經(jīng)緯坐標(biāo)表達(dá),也可以由以球心為原點(diǎn)的三維直角坐標(biāo)表達(dá),且在三維直角坐標(biāo)系中不存在極點(diǎn)收斂,有利于實(shí)現(xiàn)球面菱形離散格網(wǎng)的層次遞歸剖分。

3.1 球面經(jīng)緯度坐標(biāo)與三維直角坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)換

3.1.1 球面經(jīng)緯度坐標(biāo)向三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

設(shè)地球半徑為R,格網(wǎng)點(diǎn)(i,j)的經(jīng)緯度坐標(biāo)分別為G(i,j)＝(λ(i,j),φ(i,j)),對(duì)應(yīng)的空間直角坐標(biāo)為C(i,j)＝(X(i,j),Y(i,j),Z(i,j)),借助空間幾何關(guān)系即可建立從球面經(jīng)緯度坐標(biāo)向三維直角坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系如下

3.1.2 三維直角坐標(biāo)向球面經(jīng)緯度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

球面格網(wǎng)點(diǎn)的三維直角坐標(biāo)向球面經(jīng)緯度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,是將一個(gè)不收斂空間轉(zhuǎn)換到一個(gè)收斂空間。對(duì)于非極點(diǎn)處(即Z(i,j)＝?{R,－R}),可基于式(2)建立轉(zhuǎn)換關(guān)系。地球南北兩極處(當(dāng)Z(i,j)＝R或－R時(shí)),極點(diǎn)奇異性帶來(lái)一對(duì)多的映射沖突,但與極點(diǎn)同屬于一條格邊的另一格點(diǎn)并不存在映射沖突的問(wèn)題,且這兩個(gè)格點(diǎn)處在同一條經(jīng)線上,即λ(i,j＋1)＝λ(i,j),可基于式(3)建立轉(zhuǎn)換關(guān)系

3.2 格網(wǎng)單元層次遞歸剖分算法

基于球面經(jīng)緯度坐標(biāo)與三維直角坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系,進(jìn)行球面菱形離散格網(wǎng)層次遞歸剖分,算法主要步驟包括(圖3):①根據(jù)正二十面體與球面的對(duì)應(yīng)關(guān)系,確定初始菱形格網(wǎng)的球面經(jīng)緯坐標(biāo);②將初始菱形格網(wǎng)從球面經(jīng)緯坐標(biāo)映射為三維直角坐標(biāo),根據(jù)剖分層次,采用大圓弧平分方法進(jìn)行層次遞歸剖分,建立剖分層級(jí)與對(duì)應(yīng)比例尺的關(guān)系(表1);③將剖分結(jié)果從三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換至球面經(jīng)緯度坐標(biāo)。

圖3 基于正二十面體的球面菱形離散格網(wǎng)層次遞歸剖分算法流程Fig.3 The recursive subdivision algorithms flow of spherical diamond discrete grids based on icosahedron

表1 格網(wǎng)剖分層級(jí)對(duì)應(yīng)的地圖比例尺Tab.1 The relationship between subdivision level of grid and map scale

4 菱形格網(wǎng)單元幾何形變分析

從球面幾何可知,沒(méi)有一種剖分方法能使球面格網(wǎng)在每個(gè)層次上具有像平面柵格那樣完全相同的幾何特征(如:面積、長(zhǎng)度、角度),只能達(dá)到近似相等[12,20]。目前對(duì)于球面離散格網(wǎng)的幾何特性研究通常以對(duì)格網(wǎng)單元幾何特性的統(tǒng)計(jì)分析為主[20]。下面分別從球面菱形離散格網(wǎng)單元面積比和標(biāo)準(zhǔn)差、長(zhǎng)/短軸比(角度)和標(biāo)準(zhǔn)差為度量指標(biāo)對(duì)本文提出的球面菱形離散格網(wǎng)正二十面體剖分的結(jié)果進(jìn)行分析(表2)。

4.1 最大/小面積比和面積標(biāo)準(zhǔn)差

本文采用球面大圓弧剖分方法,菱形單元的每條邊均為球面大圓弧,因此菱形單元的面積等同于兩個(gè)球面三角形面積之和,即SABCD＝SABCD＋SBCD。根據(jù)式(4)即可求得球面三角形的面積和格網(wǎng)單元面積的標(biāo)準(zhǔn)差

式中,∠A、∠B、∠C、∠D為菱形單元的4個(gè)頂點(diǎn)的內(nèi)角;σ表示格網(wǎng)面積的標(biāo)準(zhǔn)差;Si表示每個(gè)菱形單元的面積;S表示該剖分層次下所有菱形格網(wǎng)

的平均面積;N表示該層次下菱形單元的個(gè)數(shù)。

表2 正二十面體球面菱形格網(wǎng)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)Tab.2 The statistical indicators of spherical diamond grid based on icosahedron

從表2可以看出,隨著剖分層次的增加,面積比首先增大然后逐漸收斂到1.3左右,標(biāo)準(zhǔn)差先增加后減,逐漸收斂到0(圖4)。說(shuō)明隨著剖分層次的增加,格網(wǎng)單元的大小能夠保持近似均勻。同時(shí),菱形單元的面積分布和面積標(biāo)準(zhǔn)差分布在初始菱形中由內(nèi)到外呈現(xiàn)出類似于五邊形的分布規(guī)律,五邊形外部的菱形單元面積標(biāo)準(zhǔn)差大于內(nèi)部(圖5)。

圖4 最大/最小面積比和面積標(biāo)準(zhǔn)差Fig.4 Max/min area ratio and area standard deviation of diamond cell

圖5 菱形單元面積和面積標(biāo)準(zhǔn)差全球分布圖Fig.5 The global distribution of diamond element area and the area＇s standard deviation

4.2 長(zhǎng)/短軸比和軸長(zhǎng)標(biāo)準(zhǔn)差

菱形單元的長(zhǎng)短軸之比和標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)的組合可以用來(lái)衡量格網(wǎng)單元角度變形的情況[26]。對(duì)于球面菱形的長(zhǎng)短軸可以作如下的定義,長(zhǎng)軸方向即為連接豎直方向上兩個(gè)頂點(diǎn)的大圓弧,短軸為水平方向上兩個(gè)頂點(diǎn)的大圓弧,長(zhǎng)軸、短軸球面長(zhǎng)度可定義為

式中,OA、OC、OB、OD為球心至菱形格網(wǎng)單元4個(gè)頂點(diǎn)的距離。

同樣,從表2可以看出,最長(zhǎng)最短軸長(zhǎng)比和軸長(zhǎng)標(biāo)準(zhǔn)差表現(xiàn)出了與面積特性極為相似的變化的特征,即隨著剖分層次的增加逐漸收斂穩(wěn)定(圖6),這一特性表明隨著剖分層級(jí)的增加,正二十面體格網(wǎng)能夠保持穩(wěn)定的形狀變形特征。格網(wǎng)的形狀以及面積越穩(wěn)定、均勻,越有利于格網(wǎng)編碼的實(shí)現(xiàn)以及數(shù)據(jù)的集成。從軸長(zhǎng)比的分布圖和軸長(zhǎng)的分布圖,可以發(fā)現(xiàn):軸長(zhǎng)比和軸長(zhǎng)標(biāo)準(zhǔn)差的分布呈現(xiàn)菱形分布的特點(diǎn),菱形水平方向兩頂點(diǎn)處的變形較大;豎直方向兩頂點(diǎn)處的變形較小(圖7)。

圖6 長(zhǎng)短軸比和軸長(zhǎng)標(biāo)準(zhǔn)差Fig.6 The axial ratio and axial standard deviation of diamond cell

4.3 與其他球面菱形離散格網(wǎng)剖分方法對(duì)比

為了進(jìn)一步分析基于正二十面體的球面菱形離散格網(wǎng)(正二十大圓弧)的幾何形變性質(zhì),將其與正八面體大圓弧平分法[19](正八大圓弧法)、經(jīng)緯線平分法[7](正八經(jīng)緯法)以及大圓弧和經(jīng)緯線混合平分法[8](正八混合法)所得到的3種球面菱形離散格網(wǎng)進(jìn)行幾何性質(zhì)對(duì)比(圖8)。對(duì)比分析可以看出,基于正二十面體的球面菱形格網(wǎng)隨著剖分層次的遞增,角度變形和面積變形均保持為最小,進(jìn)而表明格網(wǎng)的幾何性質(zhì)更好,更有利于空間數(shù)據(jù)集成和提高空間分析的精度。這顯然是由于正二十面體相較于正八面體更加接近球面。

圖7 菱形單元長(zhǎng)短軸比和長(zhǎng)短軸比標(biāo)準(zhǔn)差全球分布圖Fig.7 The global distribution of diamond element’s ratio of major/minor axis and the ratio’s standard deviation

圖8 不同剖分方法的幾何形變對(duì)比Fig.8 Comparisons geometry distortion between different subdivision methods

5 實(shí)例驗(yàn)證與分析

本文在VC＋＋2013環(huán)境下,基于OpenGL開(kāi)發(fā)了試驗(yàn)系統(tǒng)。以90 m分辨率數(shù)字高程模型SRTM數(shù)據(jù)的球面空間建模為例,將本文所提出的剖分模型與前文介紹的3種基于正八面體的球面菱形離散格網(wǎng)剖分模型進(jìn)行效果對(duì)比(圖9)。

圖9 4種球面菱形離散格網(wǎng)建模效果對(duì)比Fig.9 Comparisions of modeling effect between four spherical diamond discrete grids

從圖9中可以看出:正八面體大圓弧剖分方法在同一基礎(chǔ)菱形區(qū)域內(nèi)格網(wǎng)單元分布較均勻,但在不同區(qū)域間的格網(wǎng)單元面積有較明顯的變化,格網(wǎng)整體分布不均勻(圖9(a)、(b));正八面體經(jīng)緯網(wǎng)剖分方法在不同區(qū)域間變化非常明顯,相對(duì)于正八面體大圓弧剖分方法,面積形變更大(圖9(c)、(d));正八面體混合剖分方法在同一基礎(chǔ)菱形區(qū)域內(nèi)的格網(wǎng)單元分布比較均勻,在不同區(qū)域間的格網(wǎng)單元面積有較明顯的變化(圖9(e)、(f)),并且在某些區(qū)域內(nèi)存在突變的情況,如圖9(f)中紅色箭頭所指的地方;本文剖分方法得到的格網(wǎng)整體分布均勻,格網(wǎng)單元面積形變小、排列緊致,不存在明顯的形狀突變(圖9(g)、(h))。對(duì)比以上4種格網(wǎng)的可視化效果,可以看出本文所提出的基于正二十面體的球面菱形格網(wǎng)在空間數(shù)據(jù)建模與集成方面具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

6 結(jié)論與展望

本文提出了一種球面菱形離散格網(wǎng)正二十面體剖分法。從地球的主要地理特征出發(fā)確定正二十面體與球體的對(duì)應(yīng)關(guān)系;針對(duì)南北兩極處的極點(diǎn)奇異性,設(shè)計(jì)了收斂的球面經(jīng)緯度坐標(biāo)與不收斂的三維直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系,實(shí)現(xiàn)了球面菱形離散格網(wǎng)的層次遞歸剖分與地理坐標(biāo)確定;基于菱形格網(wǎng)單元的最大/最小面積比和面積標(biāo)準(zhǔn)差、菱形長(zhǎng)/短軸比和軸長(zhǎng)標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行了剖分單元幾何變形性質(zhì)的分析。分析結(jié)果表明,與現(xiàn)有各類球面菱形離散格網(wǎng)剖分方法相比,本文方法所得到的格網(wǎng)在不同剖分層次,角度變形和面積變形均保持為最小,具有良好的幾何性質(zhì)。通過(guò)數(shù)據(jù)集成實(shí)例驗(yàn)證,本文方法所得到的格網(wǎng)整體分布均勻,格網(wǎng)單元面積形變小、排列緊致,不存在明顯的形狀突變,在空間數(shù)據(jù)建模與集成方面具有明顯的優(yōu)勢(shì)。下一步的工作是基于正二十面體菱形格網(wǎng)剖分模型探索菱形格網(wǎng)編碼模型以及空間數(shù)據(jù)的表達(dá)和管理方法。

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(責(zé)任編輯:宋啟凡)

Diamond Discrete Grid Subdivision Method for Spherical Surface with lcosahedron

ZHOU Liangchen1,2,SHENG Yehua1,2,LlN Bingxian1,2,LüGuonian1,2,ZHAO Zhipeng1,2
1.Key Laboratory of Virtual Geographic Environment for the Ministry of Education,Nanjing Normal University, Nanjing 210023,China;2.Jiangsu Center for Collaborative lnnovation in Geographical lnformation Resource Development and Application,Nanjing 210023,China

Diamond discrete grids of spherical surface can meet the requirements of multi-scale spatial data modeling and analysis due to the advantages of simple structure and uniform directionality.This paper presents a new diamond discrete grid subdivision method for spherical surface with icosahedron.Firstly,the location of the icosahedron’s vertexes on the spherical surface are determined according to the earth’s major geographical features.Secondly,to solve the problem of grid convergence in poles, transformation relation between the latitude and longitude coordinates and 3D Cartesian coordinates are created.Then,a recursive subdivision approach of spherical diamond discrete grids is provided,and the geometric deformation of subdivision result is analyzed in terms of cell area and cell axial ratio.Finally, the feasibility of the method proposed is verified.The experiment results show that our subdivision method can construct spherical diamond discrete grids with icosahedron effectively,of which the general geometric characteristics are much better than that of the diamond discrete grids with octahedron.

discrete global gird;diamond;icosahedron;hierarchy recursively subdivision;geometric

ZHOU Liangchen(1979—),male,PhD, majors in discrete global grid systems.

SHEN Yehua

P208

A

1001-1595(2014)12-1293-07

國(guó)家自然科學(xué)基金(41301415;41001224;41271383);江蘇高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目

2014-01-03

周良辰(1979—),男,博士,主要研究方向?yàn)槿螂x散格網(wǎng)系統(tǒng)。

E-mail:zhoulch＠gmail.com

盛業(yè)華

E-mail:shengyehua＠njnu.edu.cn

ZHOU Liangchen,SHENG Yehua,LIN Bingxian,et al.Diamond Discrete Grid Subdivision Method for Spherical Surface with Icosahedron[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2014,43(12):1293-1299.(周良辰,盛業(yè)華,林冰仙,等.球面菱形離散格網(wǎng)正二十面體剖分法[J].測(cè)繪學(xué)報(bào),2014,43(12):1293-1299.)

10.13485/j.cnki.11-2089.2014.0192

distortion

修回日期:2014-09-03