運(yùn)用主成分分析法的過程控制和診斷

肖枝洪，冉小華

(重慶理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400054)

運(yùn)用主成分分析法的過程控制和診斷

肖枝洪，冉小華

(重慶理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400054)

針對(duì)控制過程中多變量的共線性，提出一種主成分質(zhì)量控制方法，對(duì)化工中甲烷氣體生產(chǎn)過程進(jìn)行質(zhì)量監(jiān)控與診斷。首先運(yùn)用在正常狀態(tài)下所觀測(cè)的13組樣本數(shù)據(jù)建立過程控制模型，然后根據(jù)所建模型對(duì)在異常狀態(tài)下觀測(cè)的12組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行監(jiān)控與診斷。結(jié)果表明:該方法能夠及時(shí)地監(jiān)測(cè)出故障并能準(zhǔn)確查找出引起故障的過程變量。

主成分分析;故障監(jiān)控與診斷;T2控制圖

在工業(yè)生產(chǎn)過程中，經(jīng)常會(huì)發(fā)生各種故障，影響產(chǎn)品質(zhì)量，甚至?xí)鹬卮笕藛T傷亡和財(cái)產(chǎn)損失。因此在工業(yè)生產(chǎn)中進(jìn)行故障檢測(cè)與診斷已成為當(dāng)前控制理論研究的熱點(diǎn)之一。工業(yè)生產(chǎn)系統(tǒng)一般都具有過程精確、建模困難、過程變量眾多且相互間強(qiáng)耦合，并且在實(shí)際中存在各種隨機(jī)因素的影響等特點(diǎn)，這就使得基于機(jī)理模型的診斷方法的應(yīng)用極為不便［1］。因此，在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)過程中統(tǒng)計(jì)建模運(yùn)用的較多，多元統(tǒng)計(jì)過程控制是比較常用的多元質(zhì)量控制方法。該方法能夠檢測(cè)生產(chǎn)過程中的多個(gè)相關(guān)變量，通過診斷、尋找、消除異常因素，達(dá)到提高產(chǎn)品質(zhì)量的目的。然而當(dāng)前運(yùn)用的多元統(tǒng)計(jì)過程控制技術(shù)存在的主要問題是:隨著過程變量維數(shù)的增加，監(jiān)控的復(fù)雜性急劇增加，而變量間嚴(yán)重相關(guān)時(shí)會(huì)給過程的診斷帶來極大的困難，且監(jiān)控效率極低［2］。為了克服多元統(tǒng)計(jì)過程控制的不足，就需要將降維的主成分分析方法與質(zhì)量控制過程有機(jī)地結(jié)合起來，對(duì)此已有大量的研究。例如文獻(xiàn)［3－4］將此方法分別運(yùn)用于食品加工廠設(shè)備監(jiān)控系統(tǒng)和大壩安全多測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)監(jiān)控得到很好的效果。在文獻(xiàn)［5］中提出運(yùn)用主成分原理的多元質(zhì)量控制圖來監(jiān)測(cè)蔭罩生產(chǎn)過程，根據(jù)得分綜合值繪制出多元控制圖來檢測(cè)和控制生產(chǎn)過程，但不足的是:利用得分綜合做出的多元控制圖重疊了較多的原始數(shù)據(jù)信息，不能反映真實(shí)的生產(chǎn)過程情況。在此基礎(chǔ)上，本文將運(yùn)用主成分分析法進(jìn)行多變量質(zhì)量控制與診斷，但不同于文獻(xiàn)［5］的是:建立了故障檢測(cè)與診斷模型，通過對(duì)T2和Q(或SPE)統(tǒng)計(jì)量與其閾值的判斷，進(jìn)行系統(tǒng)的故障檢測(cè)與診斷。

1 主成分分析理論

1.1 基本思想

主成分分析是將原始變量進(jìn)行綜合，找出影響某一質(zhì)量問題的少數(shù)幾個(gè)綜合特性。這些綜合過程特性是將原來多個(gè)過程進(jìn)行線性組合，這樣不僅保留了原始數(shù)據(jù)中的主要變量，并且消除了變量間的相關(guān)性，與原來的過程特性相比更優(yōu)越，是將原來多個(gè)過程特性降維為少數(shù)幾個(gè)具有代表性的過程特性的質(zhì)量控制方法［2］。

1.2 主成分分析原理

設(shè)有n個(gè)樣品，設(shè)每個(gè)樣品的主成分模型［7］為:滿足以下條件:

從代數(shù)觀點(diǎn)看，主成分就是p個(gè)變量X1，…Xp的一些特殊的線性組合，在幾何上這些線性組合將X1，…，Xp構(gòu)成的坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生新坐標(biāo)系，新坐標(biāo)軸使之通過變差最大的方向(即說具有最大的樣品方差)。

2 故障監(jiān)控與診斷模型

基于主成分模型的多變量質(zhì)量控制圖［2］常有主成分SPE控制圖、主成分T2控制圖以及主成分貢獻(xiàn)控制圖。

假設(shè)多變量過程X=(X1，X2，…，Xp)'～N(μ，∑)的目標(biāo)值為μ0，從中選取n個(gè)樣本，記第i個(gè)樣品的觀測(cè)向量為X(i)=(Xi1，Xi2，…，Xip)'，n個(gè)樣品組成的矩陣為Xn×p=(X(1)，X(2)，…，X(n))'。在進(jìn)行主成分分析過程之前，應(yīng)該先將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，即作如下標(biāo)準(zhǔn)化變換:

其中:ˉX=(ˉX1，ˉX2，…，ˉXp)'為過程X的樣本均值; si為Xi的樣本標(biāo)準(zhǔn)差。

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)Xs進(jìn)行主成分分析，可以得到Xs=t1u'1+t2u'2+…+tpu'p。假如用前m個(gè)(m＜p)主成分來代表原始數(shù)據(jù)中的主要變化，即可以得到如下主成分模型:

2.1 SPE控制圖

這里的ei是誤差陣E的第i行，且Um=(u1，u2，…，um)。

其實(shí)統(tǒng)計(jì)量SPE在第i時(shí)刻的值只是一個(gè)標(biāo)量，主要刻畫的是第i時(shí)刻的過程觀測(cè)值Xi與模型的偏離程度。因通過多個(gè)變量綜合形成ei，所以SPE控制圖可以對(duì)多變量過程X中的多個(gè)相關(guān)特性進(jìn)行監(jiān)控，這有別于其他一般的多變量質(zhì)量控制。如取置信水平α，可以得到SPE控制圖的控制線為:

2.2 T2控制圖

對(duì)于T2控制圖，首先建立多變量過程X的主成分模型，然后通過計(jì)算T2統(tǒng)計(jì)量來對(duì)多個(gè)主成分進(jìn)行監(jiān)控。對(duì)于第i個(gè)子組樣本X(i)，有統(tǒng)計(jì)量，其中:ti由主成分模型的第i個(gè)主成分的得分向量組成，Λm是由與前m個(gè)主成分所對(duì)應(yīng)的特征值而組成的對(duì)角矩陣。主成分T2控制圖主要通過模型內(nèi)部的主成分向量模的波動(dòng)來反映多變量過程X的變化情況。對(duì)于主成分模型的T2控制圖的控制線可以表示為:

2.3 貢獻(xiàn)控制圖

當(dāng)前面所計(jì)算的SPE統(tǒng)計(jì)量和T2統(tǒng)計(jì)量超出其控制線時(shí)，可以判定多變量X出現(xiàn)了不正常情況，但從上述的2種控制圖中無法得知到底哪里出了問題。對(duì)此，貢獻(xiàn)控制圖的研究和發(fā)展可以解決這個(gè)問題。主成分貢獻(xiàn)控制圖可以分析每個(gè)過程分量對(duì)SPE統(tǒng)計(jì)量的貢獻(xiàn)大小，并確定哪些過程分量引起了多維過程變量X的不正常變化情況。

通常，過程X的第i個(gè)子組樣本的第j個(gè)分量對(duì)SPE統(tǒng)計(jì)量的貢獻(xiàn)可以表示為Qij==(Xij－j)2，而第i個(gè)子組樣本的第j個(gè)分量對(duì)第m個(gè)主成分的貢獻(xiàn)為Xijumj，其中，umj是um的第j個(gè)元素。最后通過對(duì)X過程的各分量的主成分貢獻(xiàn)控制進(jìn)行分析，得知過程X的哪些分量的變化引起SPE統(tǒng)計(jì)量超出了控制線。

3 實(shí)例研究

本文針對(duì)中石化中甲烷液化氣體的局部蒸餾過程X的輸出建立多變量過程監(jiān)控與診斷。蒸餾過程的好壞直接影響到甲烷氣體的質(zhì)量，然而對(duì)蒸餾過程效果不好評(píng)定，一般使用儀表板上的數(shù)據(jù)來檢測(cè)整個(gè)過程的效果。本文選取塔頂?shù)臏囟取⑷肟诘牧魉?、塔頂回流的速度、再蒸餾的溫度這4個(gè)過程變量作為主要檢測(cè)數(shù)據(jù)指標(biāo)。蒸餾過程X由下述變量構(gòu)成:X1為塔頂?shù)臏囟?℃);X2為入口的流速(L/h);X3為塔頂回流的流速(L/h);X4為再蒸餾的溫度(℃)。

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，塔頂?shù)臏囟?、入口的流速、塔頂回流的流速以及再蒸餾的溫度的變動(dòng)最能反映蒸餾過程的效果，從而影響氣體質(zhì)量;另外，設(shè)備或傳感器的失效或故障所引起的偶然事件也需要及時(shí)報(bào)警和排除。因此，需要應(yīng)用主成分質(zhì)量控制方法對(duì)蒸餾過程實(shí)施統(tǒng)計(jì)監(jiān)控，以便及時(shí)發(fā)現(xiàn)過程中的各種異常變化，并診斷出引起異常失控的原因。

對(duì)上述的4個(gè)變量過程進(jìn)行監(jiān)控，讓生產(chǎn)過程正常運(yùn)行一段時(shí)間。取正常運(yùn)行階段及故障階段25個(gè)時(shí)刻(總100個(gè)數(shù)據(jù))建立PCA模型，其中前13個(gè)時(shí)刻的樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)為正常運(yùn)行階段觀測(cè)采集的，而后面12個(gè)時(shí)刻的樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)為故障階段觀測(cè)采集的。

3.1 主成分模型的建立

本文利用前13個(gè)時(shí)刻的樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析［8］，首先對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，即可得到表1。

針對(duì)表1中的數(shù)據(jù)建立主成分模型，在此利用SAS軟件進(jìn)行主成分分析。經(jīng)過運(yùn)行程序［9］得到表2。

表1 實(shí)例中標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)

表2 相關(guān)陣的特征和特征向量

從表2可以看出:前2個(gè)主分量的累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)95.29%，遠(yuǎn)高于85%。因此，這里只需用前2個(gè)主分量就能更好地概括大部分信息。

根據(jù)表2可以得到負(fù)荷向量矩陣為:

在此，根據(jù)式(4)利用Matlab軟件計(jì)算出主成分SPE控制圖的Qi打點(diǎn)值見表3。

表3 主成分SPE控制圖的打點(diǎn)值

從表2中可得4個(gè)特征值分別為λ1=2.235 7，λ2=1.576 1，λ3=0.186 6，λ4=0.001 6。

由此得出

然后根據(jù)式(5)，給定置信水平α=0.01，有μ0.01= 2.325，由此可得

相應(yīng)地，運(yùn)用主成分控制研究的方法利用R軟件繪制圖1～3。從圖1中可明顯看出:第9、第7個(gè)樣本點(diǎn)離第一主成分較近;第2、4、6、11樣本點(diǎn)離第二主成分較近;第10個(gè)樣本點(diǎn)偏離第一、第二主成分較遠(yuǎn)。

表4 主成分T2控制圖的打點(diǎn)值

圖1 原始數(shù)據(jù)分別在第一、第二主成分下的散點(diǎn)圖

圖2 原始數(shù)據(jù)主成分橢圓質(zhì)量控制圖

圖3 原始數(shù)據(jù)的SPE控制圖

在此繪制出主成分橢圓控制圖和SPE控制圖來檢測(cè)原始數(shù)據(jù)的觀測(cè)值是否都處于受控狀態(tài)。從圖2可明顯看出:原始數(shù)據(jù)值都在控制限內(nèi)。由圖3可知:13組Qi點(diǎn)都落在控制線內(nèi)，所以可認(rèn)為多變量蒸餾過程X處于統(tǒng)計(jì)受控狀態(tài)，所建立的主成分模型有效，于是可以用Qα作為控制用控制圖的控制線，用于故障監(jiān)控與診斷。

3.2 故障監(jiān)控與診斷

現(xiàn)在不僅已知13組原始數(shù)據(jù)都處于受控狀態(tài)，還可認(rèn)為所建立的主成分模型成立可用于監(jiān)控。為了找出12組失控的新觀測(cè)值，可通過本文建立的主成分模型來檢測(cè)，從而確定引起的失控的變量。

通過Matlab軟件繪制出控制圖，見圖4、5。

圖4 對(duì)應(yīng)于監(jiān)測(cè)的SPE控制圖

圖5 對(duì)應(yīng)于監(jiān)測(cè)的T2控制圖

圖4(粗線代表控制線，細(xì)線代表新觀測(cè)值的SPE)和圖5(粗線代表控制線，細(xì)線代表新觀測(cè)值的T2)分別是新采集的12組觀測(cè)數(shù)據(jù)的SPE控制圖和T2控制圖。對(duì)于圖4、5的控制線分別為UCL=Q0.01=5.99和UCL=T2=0.130。很容易看出:在后面提供的12組樣本點(diǎn)中，從第14個(gè)采樣時(shí)刻點(diǎn)開始，Q統(tǒng)計(jì)量以及T2統(tǒng)計(jì)量都嚴(yán)重超出了其控制線。在圖4、5中，因圖形尺度的關(guān)系，Q統(tǒng)計(jì)量以及T2統(tǒng)計(jì)量的控制限均與橫坐標(biāo)重合，所以可判定過程出現(xiàn)異常，表現(xiàn)在第20個(gè)采樣時(shí)刻點(diǎn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離了由前面數(shù)據(jù)所建立的主成分模型，因此，在該點(diǎn)上繪制變量的主成分貢獻(xiàn)圖見圖6。

圖6 第20時(shí)刻樣本點(diǎn)的主成分貢獻(xiàn)圖

圖6表示了各個(gè)過程變量在第20個(gè)采樣時(shí)刻對(duì)前2個(gè)主元的貢獻(xiàn)圖。由于變量的變化程度與相對(duì)應(yīng)的主元負(fù)荷一起決定每個(gè)變量對(duì)主元的貢獻(xiàn)圖，則從圖6可以看出:第1個(gè)變量即塔頂?shù)臏囟群偷?個(gè)變量即再蒸餾的溫度對(duì)前2個(gè)主元的貢獻(xiàn)最大。所以有理由判定在蒸餾過程中出現(xiàn)異常與塔頂?shù)臏囟扔泻艽箨P(guān)系。結(jié)合實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)過程知:在蒸餾過程中塔頂溫度異常是由塔頂回流引起的，所以要降低回流溫度，以防引起塔頂溫度失控，影響整個(gè)生產(chǎn)過程。

表5 主元和變量間的相關(guān)系數(shù)

表5為輸出主元與各個(gè)變量間的相關(guān)系數(shù)。以主元Prin1為例，由表5可以看出:該主元與第1和第4個(gè)變量(即塔頂?shù)臏囟群驮僬麴s的溫度)密切正相關(guān)，因此可以用溫度來解釋該主元。

4 結(jié)束語

本文將主成分質(zhì)量控制方法用于實(shí)際甲烷氣體生產(chǎn)過程中的監(jiān)控診斷，能夠及時(shí)判斷生產(chǎn)過程中的異常情況，并精確查找出引起異常情況的過程變量［10］。本文利用主成分質(zhì)量控制對(duì)工業(yè)生產(chǎn)過程進(jìn)行質(zhì)量監(jiān)控，取得了較好的效果。一方面為該方法基于統(tǒng)計(jì)降維思維的過程控制和診斷提供了新的思路［11］;另一方面也為解決工業(yè)生產(chǎn)質(zhì)量監(jiān)控提供了一種新的方法和方向。

與常用多變質(zhì)量控制方法相比，主成分分析法在質(zhì)量控制監(jiān)測(cè)過程中更加有效、精確。其不足之處在于:當(dāng)多個(gè)過程變量出現(xiàn)異常時(shí)，該方法則不理想，甚至出現(xiàn)錯(cuò)誤結(jié)論，對(duì)此還需進(jìn)一步研究。

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(責(zé)任編輯 劉舸)

XIAO Zhi－h(huán)ong，RAN Xiao－h(huán)ua

(School of Mathematics and Statistics，
Chongqing University of Technology，Chongqing 400054，China)

To the deficiencies of commonly usedmultivariate statistical process control，the principal component quality controlmethod is put forward to proceed quality monitoring and diagnostics on the production process of practical industrial methane gas.First，the process control model was established using the first13 groups of sample datawe observed in the normal state.Then，we used the establishedmodel to proceed qualitymonitoring and diagnostics on the known 12 groups of sample data we observed in the abnormal state.The results show that themethod can monitor the fault timelier and find out the process variables that causemalfunction accurately.

principal component analysis(PCA);fault detection and diagnosis;controlling figure of T2

TP273

A

1674－8425(2014)01－0096－06

10.3969/j.issn.1674－8425(z).2014.01.019

2013－09－07

重慶市科委資助項(xiàng)目(cstc2012jjA00018);重慶市教委項(xiàng)目(KJ130810)

肖枝洪(1965—)，男，博士，教授，主要從事工程概率、可靠性理論等方面研究。

肖枝洪，冉小華.運(yùn)用主成分分析法的過程控制和診斷［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014(1):96－101.

format:XIAO Zhi－h(huán)ong，RAN Xiao－h(huán)ua.Monitoring and Fault Diagnosis Based on PCA Method［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014(1):96－101.

Monitoring and Fault Diagnosis Based on PCA M ethod