彈簧串并聯(lián)特點(diǎn)及應(yīng)用*

陳玉軍 董芳芳

(鹽城景山中學(xué) 江蘇 鹽城 224002)

在我們的日常生活中，彈簧的形態(tài)各異，處處都在為我們服務(wù)，而彈簧問(wèn)題又在高考物理中扮演著很重要的角色，小小的彈簧，涉及到對(duì)靜力學(xué)問(wèn)題、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題、動(dòng)量守恒和能量守恒問(wèn)題、振動(dòng)問(wèn)題、功能關(guān)系問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)的理解，可以考查學(xué)生對(duì)于一些重要思維方法和解題思想的運(yùn)用能力．

在實(shí)際生活中，彈簧是可以串聯(lián)或并聯(lián)使用的，譬如健身用的拉力器，多根彈簧就屬于彈簧的并聯(lián)．對(duì)于彈簧的串聯(lián)，從等效的角度來(lái)說(shuō)，任何一個(gè)大彈簧都可以看成是由多個(gè)小彈簧串聯(lián)而成的．新課程標(biāo)準(zhǔn)的三維目標(biāo)要求教師在傳授基本知識(shí)的同時(shí)，要培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、探索創(chuàng)新的能力．彈簧串并聯(lián)的連接方式和電阻串并聯(lián)的連接方式很相似，學(xué)生在初中物理中已經(jīng)熟知電路的串并聯(lián)原理，在此基礎(chǔ)上可以帶領(lǐng)學(xué)生研究：彈簧在進(jìn)行串聯(lián)和并聯(lián)以后，其特點(diǎn)會(huì)發(fā)生什么變化，再做適當(dāng)?shù)拇髮W(xué)知識(shí)拓展，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)和研究問(wèn)題的興趣，面對(duì)彈簧串并聯(lián)的具體情況進(jìn)行分析．

為了簡(jiǎn)單起見，下面以兩根彈簧為例，對(duì)實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用進(jìn)行分析．

1 彈簧的串聯(lián)問(wèn)題

如圖1所示將兩根勁度系數(shù)分別為κ1和κ2的輕彈簧串聯(lián)在一起，在外力F的作用下兩根彈簧都被拉伸.在不考慮彈簧本身重量的前提下，每根彈簧所受的彈力皆為F，設(shè)兩根彈簧的伸長(zhǎng)量分別為Δx1和Δx2，由胡克定律

F=κ1Δx1=κ2Δx2

圖1

兩彈簧串聯(lián)后看作一根彈簧，等效勁度系數(shù)設(shè)為κ，則對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，總的伸長(zhǎng)量為

則

如果串聯(lián)的彈簧組下面掛個(gè)質(zhì)量為m的小球，彈簧和小球就構(gòu)成一個(gè)彈簧振子系統(tǒng)，若不計(jì)彈簧質(zhì)量，系統(tǒng)的圓頻率為

其中κ為彈簧的勁度系數(shù)，m為彈簧振子的質(zhì)量．于是系統(tǒng)的圓頻率

所以彈簧剪斷后，勁度系數(shù)變大，彈簧變硬．

應(yīng)用2:如圖2所示，在光滑的水平面上，有一個(gè)質(zhì)量為m的物塊由勁度系數(shù)分別為κ1和κ2，原長(zhǎng)都為l輕彈簧連接著，現(xiàn)用一水平力F向左壓彈簧2，求彈簧2的右端點(diǎn)A移動(dòng)的距離是多少？

圖2

所以彈簧2的右端點(diǎn)A移動(dòng)的長(zhǎng)度是

拓展1:如果將圖2按圖3連接彈簧，彈簧2的右端點(diǎn)A移動(dòng)的距離是多少？

圖3

解析：拓展1和原題中兩彈簧上的力都相等，符合彈簧串聯(lián)的特點(diǎn)，所以都可以按串聯(lián)規(guī)律解題，結(jié)果一樣．如果將物體拉離平衡位置其振動(dòng)圓頻率為

但注意物體移動(dòng)的距離不同．

拓展2:如果將圖2按圖4連接彈簧，在光滑的水平面上，質(zhì)量為m的物塊由勁度系數(shù)分別為κ1和κ2，原長(zhǎng)都為l輕彈簧連接著，彈簧另外一端和墻壁相連，靜止時(shí)彈簧都處于原長(zhǎng)，此彈簧振子系統(tǒng)的圓頻率是多少？

圖4

解析：圖4中兩彈簧的連接看似串聯(lián)，但在物體振動(dòng)過(guò)程中兩彈簧的形變量大小相同，而彈力不等，不符合彈簧串聯(lián)的特點(diǎn)，因此此系統(tǒng)的圓頻率不能按串聯(lián)規(guī)律求解．(本題在后面解答)

應(yīng)用3:如圖5(a)所示，已知物塊A和B的質(zhì)量均為m，兩輕質(zhì)彈簧勁度系數(shù)分別為κ1和κ2，已知兩彈簧原長(zhǎng)分別為l1和l2，若不計(jì)兩物體的厚度，求現(xiàn)在圖中兩彈簧的總長(zhǎng)度．

圖5

顯然這種解題方法是按照?qǐng)D5(b)連接方式理解的．然而仔細(xì)分析題目，會(huì)發(fā)現(xiàn)上面輕質(zhì)彈簧受力為mg，下面輕質(zhì)彈簧的受力為2mg，所以不符合彈簧串聯(lián)的條件，因此不能按串聯(lián)特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算．設(shè)上面彈簧壓縮量為Δx1，下面彈簧的壓縮量為Δx2，由胡克定律易得

因此現(xiàn)在彈簧的總長(zhǎng)度為

我們反思出解答錯(cuò)誤的原因是：這道題彈簧只是形式上的串聯(lián)形式，有些學(xué)生不經(jīng)分析就亂套彈簧的串聯(lián)公式．綜合應(yīng)用1、應(yīng)用2和應(yīng)用3，我們可以總結(jié)出：彈簧串聯(lián)的特點(diǎn)是每根彈簧的彈力相等．

2 彈簧的并聯(lián)問(wèn)題

如圖6所示，將兩根原長(zhǎng)相等、勁度系數(shù)分別為κ1和κ2的輕彈簧并聯(lián)接在一起，在外力F的作用下，兩根彈簧的伸長(zhǎng)量相同，設(shè)兩個(gè)彈簧的伸長(zhǎng)量均為Δx，利用胡克定律，則

F1=κ1ΔxF2=κ2Δx

圖6

將兩彈簧并聯(lián)后看作一根彈簧，等效勁度系數(shù)設(shè)為κ，則彈簧系統(tǒng)受到的彈力大小應(yīng)等于并聯(lián)的兩個(gè)彈簧的彈力之和，所以

F=κ1Δx+κ2Δx=(κ1+κ2)Δx

則對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)κ=κ1+κ2

同理，彈簧振子的圓頻率為

可見，彈簧并聯(lián)構(gòu)成的新彈簧的等效勁度系數(shù)等于并聯(lián)的每一個(gè)彈簧的勁度系數(shù)之和，如果n個(gè)相同的彈簧并聯(lián)，彈簧組的勁度系數(shù)是每個(gè)彈簧勁度系數(shù)的n倍．這個(gè)結(jié)論類似于串聯(lián)電路總電阻與各個(gè)電阻之間的關(guān)系．彈簧經(jīng)并聯(lián)后勁度系數(shù)變大，彈簧系統(tǒng)變硬，圓頻率升高．火車車廂下的多個(gè)減震彈簧屬于并聯(lián)，如何并聯(lián)也關(guān)系到減震彈簧壽命以及它的一些性質(zhì)．

在前面拓展2圖4連接的彈簧組中，在物體振動(dòng)過(guò)程中兩彈簧形變量大小相同，物體所受的合力為兩彈簧彈力之和，符合兩彈簧并聯(lián)的特點(diǎn)，所以其振動(dòng)的圓頻率應(yīng)該為

應(yīng)用4:一根輕質(zhì)彈簧，其勁度系數(shù)為κ，下面掛重物為G的伸長(zhǎng)量為l1，現(xiàn)在把該彈簧剪為相等的兩段再相并使用，下面仍掛重物為G，問(wèn)這時(shí)新彈簧的伸長(zhǎng)量l2為多少．

應(yīng)用5:如圖7所示，a和b兩根輕質(zhì)彈簧，它們的勁度系數(shù)分別為κa=1×103N/m，κb=2×103N/m，原長(zhǎng)分別為la=6 cm，lb=4 cm， 在下端掛一重物G，物體受到的重力為10 N，求平衡時(shí)物體下降了多少[2]？

圖7

參考文獻(xiàn)[2]中給出的解答如下.

解析：由上面的推導(dǎo)知，a和b并聯(lián)后彈簧的勁度系數(shù)為

κ=(κa+κb)=3×103N/m

已知F=G，由胡克定律可得F=κΔx，把κ代入得Δx=3.3×10-3m．

然而仔細(xì)審題，會(huì)發(fā)現(xiàn)由于這兩根彈簧的原長(zhǎng)和勁度系數(shù)不同，彈簧的形變量也不相同，所以根本不可以使用彈簧的并聯(lián)公式，再深究下去，由于平衡時(shí)兩根彈簧的的彈力不同，所以下面的重物必然會(huì)發(fā)生傾斜．出題者可能沒(méi)有真正領(lǐng)會(huì)到彈簧并聯(lián)的特點(diǎn)．如果把題目改成a和b兩根原長(zhǎng)相等的輕質(zhì)彈簧下掛一個(gè)可以看成質(zhì)點(diǎn)的物體，那么以上分析過(guò)程就是合適的．

應(yīng)用6:如圖8所示，兩個(gè)勁度系數(shù)分別為κ1和κ2的輕彈簧豎直懸掛，下端用光滑細(xì)繩連接，并有一光滑的輕滑輪放在細(xì)線上，滑輪下端掛一重為G的物體后滑輪下降，求滑輪靜止后重物下降的距離．

圖8

解析：兩個(gè)彈簧從形式上看似乎是并聯(lián)，故學(xué)生會(huì)由上面推導(dǎo)得到并聯(lián)后彈簧的勁度系數(shù)κ=κ1+κ2．設(shè)滑輪下降的距離為Δx,由胡克定律得κΔx=F，得滑輪下降的距離為

(1)

(2)

兩彈簧伸長(zhǎng)量之和Δx=Δx1+Δx2，故重物下降的距離為

綜合應(yīng)用4，應(yīng)用5和應(yīng)用6，我們可以總結(jié)出彈簧并聯(lián)的特點(diǎn)是每根彈簧的形變量相同．所以彈簧的串并聯(lián)有時(shí)只是形式上的串并聯(lián)，在具體分析題目的時(shí)候一定要注意，切忌亂套公式．

3 總結(jié)

總之，彈簧串并聯(lián)后，系統(tǒng)的性質(zhì)會(huì)發(fā)生變化．彈簧的串聯(lián)效果類似于電阻的并聯(lián)效果，而彈簧的并聯(lián)效果類似于電阻的串聯(lián)效果．高中物理雖然不要求用公式定量地對(duì)彈簧組合的等效勁度系數(shù)進(jìn)行分析，但是彈簧的串并聯(lián)的特點(diǎn)要掌握：彈簧串聯(lián)時(shí)，每根彈簧的彈力相等；原長(zhǎng)相同的彈簧并聯(lián)時(shí)，每根彈簧的形變量相同，這才是解題的根本．對(duì)彈簧串并聯(lián)問(wèn)題的分析能夠較好地培養(yǎng)學(xué)生的分析、解決問(wèn)題的能力，我們?cè)诮虒W(xué)的過(guò)程中，要注意學(xué)生思辨能力和思考習(xí)慣的培養(yǎng)．

參考文獻(xiàn)

1 漆安慎，杜嬋英.普通物理學(xué)·力學(xué).北京：高等教育出版社，2005

2 莊盛文. 彈簧串、并聯(lián)略談.物理實(shí)驗(yàn)(中學(xué)部分)，2004，24(4)

3 陳學(xué)志，羅瑩.探究彈簧勁度系數(shù)的影響因素.中國(guó)現(xiàn)代教育裝備，2011(8)