擴(kuò)展的多約束最優(yōu)制導(dǎo)律及其特性研究

溫求遒,劉大衛(wèi),夏群利,李然

(1.北京理工大學(xué)宇航學(xué)院,北京 100081;2.中國(guó)兵器科學(xué)研究院,北京 100089）

擴(kuò)展的多約束最優(yōu)制導(dǎo)律及其特性研究

溫求遒1,劉大衛(wèi)2,夏群利1,李然1

(1.北京理工大學(xué)宇航學(xué)院,北京 100081;2.中國(guó)兵器科學(xué)研究院,北京 100089）

為滿足侵徹攻擊空地導(dǎo)彈末端制導(dǎo)要求,解決當(dāng)前多約束制導(dǎo)律終端攻角控制問(wèn)題,設(shè)計(jì)了包含受剩余飛行時(shí)間決定的控制量權(quán)函數(shù),并引入到最優(yōu)問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)中,基于線性二次最優(yōu)控制理論推導(dǎo)得到一種擴(kuò)展的多約束最優(yōu)制導(dǎo)律。利用指令隨時(shí)間變化解析表達(dá)式及伴隨系數(shù)法,對(duì)制導(dǎo)律加速度指令變化規(guī)律及無(wú)量綱脫靶量特性進(jìn)行了研究,證明了制導(dǎo)律指令的收斂性,從而為終端攻角控制創(chuàng)造了有利條件。同時(shí),討論了制導(dǎo)律增益n的設(shè)計(jì)原則。結(jié)合工程應(yīng)用的需要,分別提出了一種制導(dǎo)初始條件設(shè)計(jì)方法及最大需用加速度的估計(jì)方法,可有效減小導(dǎo)彈末端機(jī)動(dòng)。通過(guò)仿真驗(yàn)證了制導(dǎo)律及分析結(jié)論的有效性。

控制科學(xué)與技術(shù);落角約束;最優(yōu)制導(dǎo)律;加速度指令;終端加速度

0 引言

為了滿足對(duì)地下堅(jiān)固目標(biāo)打擊的需要,新一代空地制導(dǎo)武器廣泛采用侵徹戰(zhàn)斗部,要求制導(dǎo)控制系統(tǒng)不僅要達(dá)到一定的位置精度,且對(duì)終端入射角及攻角也提出了嚴(yán)格的約束[1]。傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引(PN)已無(wú)法滿足制導(dǎo)任務(wù)的要求,需要發(fā)展多約束制導(dǎo)律。

終端角度約束制導(dǎo)律最初發(fā)展的典型代表為基于最優(yōu)控制理論推導(dǎo)的最優(yōu)制導(dǎo)律,其基本思想是將具有終端角度約束的制導(dǎo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含終端約束條件的最優(yōu)控制問(wèn)題,后通過(guò)適當(dāng)?shù)募僭O(shè)和簡(jiǎn)化得到顯式的制導(dǎo)方程[2-3]。其中Zarchan采用Schwartz不等式推導(dǎo)了包含落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律,并基于小角度假設(shè),進(jìn)一步轉(zhuǎn)換成彈道成型制導(dǎo)律(OGL/IAC)[3];Song等利用極大值原理推導(dǎo)出了以時(shí)間最短為性能指標(biāo)的最優(yōu)導(dǎo)引律[4-5]。

在最優(yōu)制導(dǎo)律取得新進(jìn)展的同時(shí),一些學(xué)者還研究在經(jīng)典比例導(dǎo)引律基礎(chǔ)上增加偏置項(xiàng)的偏置比例導(dǎo)引律來(lái)實(shí)現(xiàn)角度控制。Kim等在導(dǎo)彈速度不變和目標(biāo)無(wú)機(jī)動(dòng)的假設(shè)下,研究了具有時(shí)變偏差項(xiàng)的偏置比例導(dǎo)引律[6]。根據(jù)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)規(guī)律,在線調(diào)整PN系數(shù),是實(shí)現(xiàn)終端角度約束的另一種思路。Lu等在2005年針對(duì)高超聲速飛行器發(fā)表了一種三維空間內(nèi)考慮落角和入射方位角約束的制導(dǎo)律[7]。

變系數(shù)比例導(dǎo)引律、偏置比例導(dǎo)引律和其他類型制導(dǎo)律雖然在理論上能夠滿足角約束制導(dǎo)問(wèn)題,但存在制導(dǎo)律結(jié)構(gòu)復(fù)雜、制導(dǎo)信息種類和精度要求高等缺點(diǎn),使得其工程實(shí)現(xiàn)困難,與之相比,具有終端多約束的最優(yōu)制導(dǎo)律是目前研究最廣泛且工程應(yīng)用簡(jiǎn)便可靠的制導(dǎo)方法,但該類制導(dǎo)律在推導(dǎo)過(guò)程中并未考慮到侵徹攻擊對(duì)終端攻角的約束,同時(shí)在縱向制導(dǎo)平面也未考慮重力的影響,因此并不能完全滿足侵徹攻擊空地導(dǎo)彈末端制導(dǎo)的要求。

為解決當(dāng)前多約束制導(dǎo)律終端攻角控制問(wèn)題,本文首先以剩余飛行時(shí)間倒數(shù)的冪函數(shù)為控制量權(quán)系數(shù),建立新型目標(biāo)函數(shù),并在狀態(tài)方程建立時(shí)引入重力項(xiàng),得到了一種擴(kuò)展的多約束最優(yōu)制導(dǎo)律(EOGL/IAC)。該制導(dǎo)律在實(shí)現(xiàn)落點(diǎn)及落角控制的同時(shí),通過(guò)在末端加入指令積分權(quán)函數(shù)及調(diào)整重力補(bǔ)償系數(shù)方式實(shí)現(xiàn)終端零加速度指令,為攻角控制創(chuàng)造了有利條件。在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步推導(dǎo)了制導(dǎo)律指令隨時(shí)間無(wú)量綱表達(dá)形式,并證明了制導(dǎo)律指令的終端收斂性及最大需用加速度對(duì)應(yīng)制導(dǎo)時(shí)刻。通過(guò)建立簡(jiǎn)易制導(dǎo)模型及相應(yīng)伴隨分析系統(tǒng),分析了不同誤差源及制導(dǎo)律增益對(duì)脫靶量及終端加速度的影響,給出了制導(dǎo)律各項(xiàng)脫靶量收斂條件。結(jié)合工程應(yīng)用需求,給出了滿足最小機(jī)動(dòng)要求的制導(dǎo)初始條件與最大需用加速度估計(jì)算法。最后通過(guò)非線性仿真證明了分析結(jié)論的有效性。

1 最優(yōu)制導(dǎo)律的推導(dǎo)

導(dǎo)彈制導(dǎo)問(wèn)題的線性簡(jiǎn)化模型如圖1所示。圖中:am為導(dǎo)彈加速度,ac為導(dǎo)彈加速度指令,g為重力加速度,at為目標(biāo)加速度。

圖1 制導(dǎo)律推導(dǎo)用模型Fig.1 Model for derivation of guidance law

對(duì)于靜止目標(biāo)有at=0,則圖1給出的模型可表示為如下?tīng)顟B(tài)方程的形式:

為保證終端位置和角度均達(dá)到期望約束,可將終端角度約束轉(zhuǎn)化為法向速度約束,因此有期望的終端狀態(tài)式中:tgo為剩余飛行時(shí)間,tgo=tf-t,在實(shí)際工程中可以通過(guò)彈目相對(duì)距離與導(dǎo)彈速度計(jì)算得到。

(2)式為以導(dǎo)彈的位置相關(guān)狀態(tài)量、終端約束、重力加速度及剩余飛行時(shí)間表示的最優(yōu)制導(dǎo)律,但這些信息無(wú)法全部由導(dǎo)引頭等彈上硬件直接測(cè)量,從而限制了制導(dǎo)律的工程應(yīng)用性,因此需對(duì)制導(dǎo)律進(jìn)行進(jìn)一步的轉(zhuǎn)換。

假設(shè)視線角足夠小,則視線角及角速度存在如下近似關(guān)系:

n取不同值并帶入(4)式中,如表1所示給出的各項(xiàng)系數(shù)計(jì)算結(jié)果。

表1 不同n取值下對(duì)應(yīng)制導(dǎo)律系數(shù)Tab.1 The coefficients of guidance law for different values n

不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)n=0時(shí),制導(dǎo)律等同于OGL/IAC[3];由于Np與n成一次關(guān)系,而Nq與n成二次關(guān)系,因此隨著n的增加,落角項(xiàng)相對(duì)于PN項(xiàng)在制導(dǎo)指令中所占的比重不斷增大,如圖2所示。這將使導(dǎo)彈在制導(dǎo)初始段便以較大的加速度完成相對(duì)于期望落角方向的位置調(diào)整,同時(shí)也減小了終端需用加速度。

但是,較大的n值將使得制導(dǎo)權(quán)系數(shù)過(guò)大,降低了制導(dǎo)律對(duì)制導(dǎo)信號(hào)噪聲的魯棒性。由表1可見(jiàn),當(dāng)n＞1時(shí),Np＞6,已超過(guò)通常PN系數(shù)2～6的取值范圍[2]。

圖2 Np及Nq隨n變化曲線Fig.2 Npand Nqvs.n

2 多約束制導(dǎo)律特性分析

2.1 指令變化規(guī)律

通常,導(dǎo)彈在彈目視線坐標(biāo)系下有初始位置y(0)=0,且在小角度假設(shè)下y·(0)=vrε0,y·(tf)= vrqf,將以上初值帶入(2)式中,制導(dǎo)指令可表示為由初始速度方向偏差ε0、終端落角約束qf及重力g三部分產(chǎn)生的指令和

2.1.1 初始加速度指令

由(7)式不難發(fā)現(xiàn),初始加速度與相對(duì)速度vr、落角約束qf及制導(dǎo)律增益n呈正比,而與制導(dǎo)時(shí)間tf呈反比。

2.1.2 終端加速度指令

由(8)式可見(jiàn),當(dāng)n＞0時(shí),ac(tf)=0,制導(dǎo)律的末端指令總是收斂至 0;對(duì)OGL/IAC,對(duì)應(yīng)n=0,顯然僅當(dāng)kq=-2,終端指令才會(huì)為0,但對(duì)于侵徹制導(dǎo)武器,通常要求落角qf＜-50°,因此滿足kq=-2的制導(dǎo)條件是很難構(gòu)成的。

2.1.3 最大加速度指令

導(dǎo)彈的最大可用加速度是有限的,因此總是希望最大加速指令盡可能小。同時(shí)如果最大需用加速度出現(xiàn)在初始時(shí)刻,則在末端將允許導(dǎo)彈有更多的可用加速度用于消除各種外界干擾及制導(dǎo)信號(hào)誤差,從而保證獲得更好的精度。

表2 不同kq取值下ac(t)變化特性Tab.2 The change characteristics of ac(t)for different values kq

以上分析表明,只要取足夠大的制導(dǎo)律增益,則制導(dǎo)律在制導(dǎo)初始時(shí)刻會(huì)出現(xiàn)最大需用加速度,并在制導(dǎo)終端收斂至0.

2.2 脫靶量變化規(guī)律

由于EOGL/IAC是包含終端位置和角度約束的最優(yōu)制導(dǎo)律,因此必須分別對(duì)其位置脫靶量及角度脫靶量進(jìn)行分析。

為了研究方便,將控制系統(tǒng)等效為一階動(dòng)力學(xué)滯后環(huán)節(jié),如圖3所示給出了考慮動(dòng)力學(xué)滯后環(huán)節(jié)的EOGL/IAC制導(dǎo)回路工作原理框圖。其中:Tg為導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)時(shí)間常數(shù);Δy(tf)為位置脫靶量;Δq(tf)為角脫靶量。

圖3 制導(dǎo)律閉環(huán)原理框圖Fig.3 The functional block diagram of closed loop of guidance law

取Tg=0.3 s,tf=15 s,ε0=5°,qf=-50°,對(duì)于不同制導(dǎo)律增益n,如圖4所示給出了對(duì)應(yīng)彈體加速度曲線。隨著n值的增大,加速度在初始時(shí)刻值越大,而在終端的收斂速度越快。受到控制系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)滯后的影響,如圖5所示,僅當(dāng)n＞0.5時(shí)才能保證終端加速度小于1個(gè)g.

圖4 不同n取值對(duì)應(yīng)過(guò)載變化曲線Fig.4 The acceleration curves of missile for different values n

為比較在不同干擾下制導(dǎo)律脫靶量變化情況,分別取初始速度指向誤差、終端落角約束、重力加速度干擾為系統(tǒng)主要誤差源,基于伴隨法的思想[3],圖6和圖7分別給出了無(wú)量綱位置脫靶量和角度脫靶量伴隨系統(tǒng)工作原理框圖,其中設(shè)無(wú)量綱參數(shù)t= t/Tg,=sTg.對(duì)應(yīng)不同誤差源,如圖8和圖9所示,分別給出了與之對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱位置脫靶量、

圖5 不同n取值對(duì)應(yīng)終端過(guò)載值Fig.5 The terminal accelerations for different values n

圖6 位置脫靶量伴隨系統(tǒng)Fig.6 Position miss distance adjoint system

圖7 角度脫靶量伴隨系統(tǒng)Fig.7 Angle miss distance adjoint system

由圖8和圖9可見(jiàn):

1)制導(dǎo)律無(wú)量綱位置脫靶量及角度脫靶量均隨著無(wú)量綱末導(dǎo)時(shí)間增大而收斂,保證位置及角度脫靶量為0的條件分別是末制導(dǎo)時(shí)間至少為控制系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)時(shí)間常數(shù)的14倍和16倍。

2)相比于PN(收斂條件為10倍動(dòng)力學(xué)時(shí)間[3]),EOGL/IAC在使用上對(duì)制導(dǎo)時(shí)間有更為嚴(yán)格的要求。

圖8 不同T/Tg對(duì)應(yīng)無(wú)量綱位置脫靶量曲線Fig.8 Dimensionless position miss distance curvesfor T/Tg

3)n取值越大,2項(xiàng)脫靶量的相對(duì)收斂越慢,且收斂過(guò)程中脫靶量值越大,這表明提高制導(dǎo)律增益后,制導(dǎo)律在制導(dǎo)時(shí)間不足時(shí)魯棒性下降。

3 制導(dǎo)律工程應(yīng)用

3.1 最優(yōu)制導(dǎo)初始條件計(jì)算

對(duì)于導(dǎo)彈制導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)者來(lái)說(shuō),總是希望控制導(dǎo)彈以最小的機(jī)動(dòng)命中目標(biāo)并滿足各種約束。因此,設(shè)計(jì)一個(gè)合理的初始條件、盡量降低導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)加速度需求具有十分重要的意義。

首先引入函數(shù)E,并有

圖9 不同T/Tg對(duì)應(yīng)無(wú)量綱角度脫靶量曲線Fig.9 Dimensionless angle miss distance curves forT/Tg

由(10)式可知,E表征了導(dǎo)彈在整個(gè)制導(dǎo)過(guò)程中消耗的能量。將(6)式帶入(10)式中,有

對(duì)于實(shí)際制導(dǎo)過(guò)程,如圖10給出的彈目相對(duì)幾何關(guān)系,有

式中:θ0為初始速度傾角;q*f為相對(duì)視線坐標(biāo)系的落角約束值;qLOS_0為初始彈目視線角。

圖10 彈目相對(duì)幾何關(guān)系Fig.10 Intercept geometry

將(14)式帶入(12)式中,并根據(jù)kq定義,可得

由(14)式,對(duì)于確定的末制導(dǎo)距離R0、導(dǎo)彈初始速度傾角θ0,即可確定轉(zhuǎn)入制導(dǎo)的最優(yōu)高度Hopt.

3.2 最大需用加速度估計(jì)

根據(jù)(12)式,對(duì)于不同的n值,基于最小機(jī)動(dòng)條件,不難得到期望的kq值,通過(guò)對(duì)比由(9)式給出最大加速度判定區(qū)間,可知制導(dǎo)律的最大需用加速度必然出現(xiàn)在初始時(shí)刻。

考慮重力補(bǔ)償項(xiàng),則最大需用加速度可表示為

在給定氣動(dòng)特性和飛行狀態(tài)下,在最大攻角限制條件下,導(dǎo)彈的最大可用加速度值不難得到。對(duì)比需用加速度與可用加速度值,即可快速判定當(dāng)前制導(dǎo)律增益、制導(dǎo)條件選擇是否合理,并進(jìn)行調(diào)整。

4 仿真與驗(yàn)證

以某遠(yuǎn)程電視制導(dǎo)空地導(dǎo)彈為例[8],相關(guān)的制導(dǎo)初始條件及終端約束要求為:導(dǎo)彈飛行速度vm= 220 m/s,初始彈道傾角θ0=0°,初始彈道偏角ψv0= -2.5°,控制系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)Tg=0.3 s,導(dǎo)引頭作用距離Rs=4 km,終端落角約束qf=-70°.

由于導(dǎo)彈在中制導(dǎo)段采用定高巡航飛行,因此可以根據(jù)要求爬升至一定的高度轉(zhuǎn)入末制導(dǎo),待導(dǎo)引頭捕獲目標(biāo)才轉(zhuǎn)入末制導(dǎo),從而為構(gòu)造最優(yōu)的初始條件創(chuàng)造了基礎(chǔ)。因此仿真中,制導(dǎo)的初始彈目距離可確定為R0=Rs.

側(cè)向制導(dǎo)采用標(biāo)準(zhǔn)的比例導(dǎo)引制導(dǎo)律。

由于導(dǎo)彈在進(jìn)入末制導(dǎo)階段采用定高平飛,對(duì)應(yīng)θ0=0°,則不難預(yù)估制導(dǎo)時(shí)間tf≈R0/vm,結(jié)合其他制導(dǎo)輸入?yún)?shù),帶入(14)式和(15)式中,可得制導(dǎo)初始高度及估計(jì)最大需用過(guò)載Hopt=1 902 m, acmax=1.45g.

為了便于對(duì)比,在初始彈目距離不變的前提下,將進(jìn)入高度分別取為2 500 m、1 500 m.如圖11和圖12所示,給出了彈道仿真結(jié)果?？梢?jiàn),制導(dǎo)律可保證導(dǎo)彈命中目標(biāo)并達(dá)到期望落角。且導(dǎo)彈加速度在末端能快速收斂并接近于0,為實(shí)現(xiàn)攻角約束創(chuàng)造了很好的條件。對(duì)比不同初始條件對(duì)應(yīng)仿真結(jié)果可見(jiàn),采用最優(yōu)高度轉(zhuǎn)入末制導(dǎo)的彈道變化最平滑,且制導(dǎo)過(guò)程消耗能量明顯小于其他條件。對(duì)制導(dǎo)最大需用加速度的估計(jì)與對(duì)應(yīng)實(shí)際仿真結(jié)果符合,從而證明了估計(jì)算法的準(zhǔn)確性。

圖11 縱向彈道曲線Fig.11 Vertical trajectory curves of missile

圖12 導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)過(guò)載曲線Fig.12 Acceleration curves of missile

為進(jìn)一步驗(yàn)證制導(dǎo)律的魯棒性,采用白噪聲的形式,引入兩通道制導(dǎo)指令噪聲及剩余飛行時(shí)間解算誤差,并取方差σΔayc=σΔazc=0.15g,σΔtgo=0.5 s.

采用蒙特卡洛仿真,取仿真次數(shù)為500.如圖13～圖15所示,給出了對(duì)應(yīng)落點(diǎn)、終端落角及彈體加速度散布情況。不難看出,制導(dǎo)律在存在制導(dǎo)信息噪聲情況下依然很好地滿足各項(xiàng)終端約束要求。

圖13 落點(diǎn)散布曲線Fig.13 Dispersion of terminal impact points

圖14 終端落角散布曲線Fig.14 Dispersion of terminal impact angles

圖15 終端彈體加速度散布曲線Fig.15 Terminal acceleration of missile dispersion

5 結(jié)論

針對(duì)導(dǎo)彈終端位置與落角約束制導(dǎo)問(wèn)題,推導(dǎo)得到一種擴(kuò)展的多約束最優(yōu)制導(dǎo)律,研究了制導(dǎo)律指令變化規(guī)律及無(wú)量綱脫靶量特性,給出了制導(dǎo)律增益n的設(shè)計(jì)原則。通過(guò)理論分析與數(shù)學(xué)仿真,得出如下結(jié)論:

1)擴(kuò)展的大落角制導(dǎo)律能同時(shí)滿足終端位置及角度約束條件,當(dāng)n＞0時(shí),制導(dǎo)律終端加速度指令能收斂至0,有利于末端小攻角約束的實(shí)現(xiàn)。同時(shí)對(duì)多數(shù)制導(dǎo)條件,制導(dǎo)律的最大需用加速度出現(xiàn)在初始時(shí)刻,有利于提高命中精度。

2)制導(dǎo)律位置及角度脫靶量均收斂至0的條件是末制導(dǎo)時(shí)間至少應(yīng)大于16倍控制回路動(dòng)力學(xué)時(shí)間常數(shù),因此大落角制導(dǎo)律使用的條件需保證足夠的末制導(dǎo)距離。

3)系數(shù)n的取值對(duì)制導(dǎo)律性能影響較大,當(dāng)n取值偏小時(shí),加速度指令末端收斂速度變慢;而n取值偏大時(shí),制導(dǎo)律對(duì)各種干擾的魯棒性下降,位置及角度脫靶量增大,因此建議n取值在0.5～1.0之間。

4)在已知末制導(dǎo)距離、期望落角及初始速度傾角條件下,給出了使導(dǎo)彈制導(dǎo)過(guò)程中機(jī)動(dòng)最小制導(dǎo)初始條件計(jì)算方法及最大需用加速度估計(jì)策略,對(duì)制導(dǎo)律的工程化應(yīng)用具有重要的意義。

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WEN Qiu-qiu1,LIU Da-wei2,XIA Qun-li1,LI Ran1
(1.School of Aerospace Engineering,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081,China;
2.Ordnance Science and Research Academy of China,Beijing 100089,China)

An extended optimal guidance law with terminal miss distance and impact angle constrains is derived.The guidance law is obtained as the solution of a linear quadratic optimal control problem with the goal function weighted by a power of the time-to-go.Based on the analytical expression for the change of guidance command with time and the adjoint system analysis method,the command characteristics and dimensionless miss distance of guidance law are analyzed.The result shows that the acceleration command of guidance law can be converged into zero in the final time of guidance,which may create a good situation for terminal angle of attack control.A design principle for selection of guidance law gain is discussed.Finally,according to the requirements of engineering application,the methods on calculating the guidance initial condition and maximal required acceleration are given.The effectiveness and practicality of the guidance law are demonstrated through simulation.

control science and technology;impact angle constraint;optimal guidance law;acceleration command;terminal acceleration

V488.133

:A

1000-1093(2014)05-0662-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2014.05.013

2013-08-06

中國(guó)博士后科學(xué)基金一等項(xiàng)目(2008M00006);中國(guó)博士后科學(xué)基金特別項(xiàng)目(2012T50048)

溫求遒(1982—),男,講師,博士后。E-mail:wenqiuqiu82@gmail.com;

夏群利(1971—),男,副教授。E-mail:1010@bit.edu.cn