一種基于多元探測器陣列的分塊圖像壓縮傳感算法

張智詮,丁晟,2,金偉其

(1.裝甲兵工程學(xué)院控制工程系,北京 100072;2.73021部隊(duì),浙江杭州 310023; 3.北京理工大學(xué)光電成像技術(shù)與系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100081）

一種基于多元探測器陣列的分塊圖像壓縮傳感算法

張智詮1,丁晟1,2,金偉其3

(1.裝甲兵工程學(xué)院控制工程系,北京 100072;2.73021部隊(duì),浙江杭州 310023; 3.北京理工大學(xué)光電成像技術(shù)與系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100081）

針對壓縮傳感理論應(yīng)用于單元探測成像時(shí)圖像重構(gòu)時(shí)間隨圖像尺寸增大而迅速增大的問題,提出了一種利用數(shù)字微鏡和多元探測器進(jìn)行編碼測量,利用最小全變分法進(jìn)行圖像重構(gòu)的分塊圖像壓縮傳感算法,并對重構(gòu)分塊圖像進(jìn)行灰度拉伸,提高了圖像的峰值信噪比和結(jié)構(gòu)相似度。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:算法具有計(jì)算時(shí)間短、重構(gòu)圖像質(zhì)量高的特點(diǎn),對于16圖像分塊,至少可縮短40%重構(gòu)時(shí)間;通過分塊圖像灰度拉伸,重構(gòu)圖像的峰值信噪比和平均結(jié)構(gòu)相似度較不拉伸時(shí)分別提高70%和11%.文中算法為高分辨壓縮成像的應(yīng)用研究提供了一種有效的技術(shù)參考。

信息處理技術(shù);壓縮傳感;圖像稀疏與重構(gòu);多元探測器;平方約束最小全變分法;等式約束最小全變分法

0 引言

由于壓縮傳感[1](CS)能在采樣過程中實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)壓縮,大大降低了數(shù)據(jù)存儲和傳輸?shù)拇鷥r(jià),因而受到人們的廣泛關(guān)注,并在單像素壓縮成像[2]、編碼孔徑成像[3]、光譜成像[4]中得到應(yīng)用。隨著探測器技術(shù)的發(fā)展,多元探測器陣列被廣泛應(yīng)用于可見光和紅外熱成像領(lǐng)域,對大陣列圖像壓縮傳感的需求會越來越多。但CS理論在對大尺寸圖像應(yīng)用時(shí),存在壓縮采樣和重構(gòu)時(shí)間過長、存儲量過大,甚至出現(xiàn)超出計(jì)算機(jī)內(nèi)存限制的問題。

本文利用CS理論探討一種基于數(shù)字微鏡(DMD)和多元探測器的分塊圖像CS成像方法,探討DMD的光調(diào)制分布形式、微鏡數(shù)量與光電探測器、信號采集A/D轉(zhuǎn)換精度的關(guān)系,旨在提高壓縮成像的性能,獲得更高分辨率的圖像,推進(jìn)CS理論對實(shí)際光學(xué)成像系統(tǒng)的應(yīng)用。

1 CS理論及算法

為了保持信號的完整性,傳統(tǒng)的信號采集頻率必須大于或等于奈奎斯特頻率,而CS理論利用信號在某些變換域下呈現(xiàn)的稀疏性(即大部分信號為0或接近于0),實(shí)現(xiàn)信號采樣的同時(shí)完成信號的壓縮。當(dāng)然,為了由壓縮測量值獲得原圖像,還需要經(jīng)過重構(gòu)計(jì)算。

設(shè)x為二維圖像信號,Φ為測量矩陣,Ψ為稀疏基,CS理論用矩陣可表示為[1]

式中:y為測量值,其維度小于圖像x;Θ=ΦΨ為傳感矩陣。圖1為(1)式的矩陣圖形表示。

圖1 CS過程示意圖Fig.1 Schematic diagram of CS progress

為了由(1)式精確重構(gòu)圖像信號,要求傳感矩陣Θ滿足約束等距性條件(RIP)[5],或等價(jià)為測量矩陣Φ和稀疏基Ψ不相關(guān)(即Φ的行和Ψ的列不相關(guān))。

由于線性方程組y=Θα是欠定的,需增加約束條件縮小解的范圍。例如,采用正則化方法[6],由罰函數(shù)J(x)對所有x進(jìn)行估計(jì),獲得使J(x)最小的解x,即將重構(gòu)過程轉(zhuǎn)化為求解最優(yōu)化問題

考慮到實(shí)際場景輻射和光學(xué)系統(tǒng)成像的特點(diǎn),本文采用在時(shí)域中測量、在變換域中稀疏的最優(yōu)化模型[7]

時(shí)域中的圖像信號x經(jīng)過稀疏基Ψ變換,在變換域下可等價(jià)表示為α,

式中:Ψ?為Ψ的逆變換矩陣。(3)式的解Ψ^x是圖像x在變換域下的等價(jià)表示:

最后,經(jīng)逆變換Ψ?即可求得時(shí)域下的重構(gòu)圖像

由上可以看出,圖像重構(gòu)就是從低維測量數(shù)據(jù)y精確或近似精確地恢復(fù)出原始高維圖像^x.現(xiàn)有圖像重構(gòu)算法大致分為基于l1范數(shù)最小化的凸優(yōu)化算法和貪婪算法兩類[8-11]。研究表明,基于最小全變分(Min-TV)的圖像重構(gòu)方法可以獲得較好的圖像質(zhì)量[12]。Min-TV法依據(jù)約束條件不同分為平方約束最小全變分(TVQC)法、等式約束最小全變分(TVEQ)法及丹齊格Min-TV法等。

2 圖像分塊CS算法

單像素CS相機(jī)[13]利用DMD對場景調(diào)制,每改變一次微鏡0-1排列形式,光電二極管輸出一個測量值,經(jīng)多次測量后,利用Min-TV算法重構(gòu)原始圖像。其優(yōu)點(diǎn)是只需一個光電探測器,信號處理電路較為簡單,但測量次數(shù)較多,特別是當(dāng)DMD微鏡數(shù)量(即圖像像素?cái)?shù))較多時(shí),對探測器的靈敏度和響應(yīng)速度要求較高,且重構(gòu)計(jì)算時(shí)間較長。

2.1 多元探測器壓縮成像

如圖2所示,本文利用多元探測器陣列替代單像素探測器,將DMD反射后的場景輻射,由多元探測器陣列進(jìn)行壓縮采樣,然后通過適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法進(jìn)行圖像重構(gòu)。這樣不僅降低了對探測器靈敏度和響應(yīng)速度的要求,而且縮短了圖像重構(gòu)時(shí)間。

圖2 采用DMD的多元探測器高分辨成像系統(tǒng)示意圖Fig.2 Schematic diagram of high-resolution imaging systembased on multi-element detector with DMD

2.2 編碼測量

圖3是用DMD形成的某一編碼掩膜形式,其只包含1和0兩種元素,分別對應(yīng)微鏡不同的反射狀態(tài),當(dāng)反射的場景輻射被探測器接收時(shí),掩膜值為1,反之為0.一個掩膜基本編碼單位包含多個微鏡。

圖3 用DMD形成的某一編碼掩膜形式Fig.3 Coded mask pattern formed by DMD

設(shè)多元探測器陣列的光敏元數(shù)為N×N,fi,j為投射到第i個基本編碼單位中第j個微鏡上的光強(qiáng), yi為第i個探測器輸出的測量值,則掩膜編碼測量過程可表示為

式中:φi,j為Φ的矩陣單元;w為基本編碼單位內(nèi)的微鏡數(shù);乘積φi,jfi,j在第i個基本編碼單位內(nèi)進(jìn)行。

由(7)式知,若重構(gòu)圖像為8位灰度,即投射到掩膜每一微鏡上的光強(qiáng)fi,j最大值也為8位二進(jìn)制,則測量值yi的最大值為log2(w×fi,j)位二進(jìn)制。例如,w=8×8,則yi的最大值為14位二進(jìn)制,即當(dāng)基本編碼單位內(nèi)的微鏡數(shù)為64時(shí),若重構(gòu)圖像為8位灰度,則要求A/D的轉(zhuǎn)換精度為14位二進(jìn)制。

由于基本編碼單位的一種形式(如圖3所示)只能獲得一次測量值yi,要重構(gòu)圖像x,就需要不斷改變基本編碼的形式,進(jìn)行多次壓縮采樣。考慮到DMD實(shí)現(xiàn)的可能性,本文采用0-1高斯隨機(jī)矩陣[14]作為掩膜基本形式。

上述多元探測器陣列壓縮成像過程可理解為是N×N個單元探測器成像的組合,且每個探測單元只接收一個基本編碼單位反射的輻射能量。

由圖2可知,重構(gòu)圖像的分辨率由DMD的微鏡數(shù)量決定,而不是由探測器光敏元的數(shù)量決定。若增加DMD的微鏡數(shù)量,就能有效提高多元探測器成像的分辨率。

2.3 稀疏與重構(gòu)

由調(diào)和分析理論知,圖像x可表示為某組基函數(shù){ψk}的線性組合:

(8)式中的非零系數(shù)項(xiàng)αk越少,圖像就越稀疏,即在變換Ψ下,可用較少的數(shù)據(jù)近似表示原圖像x.本文選用一維離散傅里葉變換(DFT)作為圖像x的稀疏變換。

綜合考慮TV法重構(gòu)圖像,特別是對實(shí)際景物圖像重構(gòu)的性能,本文分別采用TVQC和TVEQ進(jìn)行圖像重構(gòu)。

由于(9)式、(10)式是典型的二階圓錐規(guī)劃(SOCPs)問題,本文采用對數(shù)障礙法(LBA)[12]求解。

2.4 圖像分塊CS算法

(7)式～(10)式即為對整幅圖像進(jìn)行CS成像的數(shù)學(xué)描述,為了考查上述算法重構(gòu)圖像的質(zhì)量,本文以圖4(a)(256×256像素的8位灰度圖像baboon)為例進(jìn)行仿真計(jì)算。圖4(b)和圖4(c)分別為采用(7)式～(10)式對圖4(a)進(jìn)行編碼測量(測量次數(shù)為總像素?cái)?shù)的50%,即采樣率)和重構(gòu)(LBA法)的圖像,其計(jì)算時(shí)間、峰值信噪比PSNR和平均結(jié)構(gòu)相似度MSSIM列于表1、表2中的第2列。

圖4 baboon整體圖像數(shù)值重構(gòu)結(jié)果Fig.4 The reconstructed results of baboon image

針對CS算法對大尺寸圖像整體重構(gòu)耗時(shí)較長的問題,本文提出一種對實(shí)際成像范圍進(jìn)行分塊的CS算法,即通過分塊,減小單次圖像重構(gòu)的規(guī)模,也減少了計(jì)算時(shí)間,其主要步驟如下:

1)按多元探測器的光敏元數(shù)N×N對成像范圍進(jìn)行分塊,并將第k個成像子塊(其像素?cái)?shù)為n)展為列向量形式xk(xk∈Rn×1,k=1,2,…,N×N).

2)對每一子塊進(jìn)行步驟3～步驟6的測量與重構(gòu)操作,并遍及整個圖像。

3)用與第k個子塊對應(yīng)的掩膜基本編碼單位形成的測量矩陣Φk∈Rm×n(m?n)對子圖像列向量xk進(jìn)行壓縮采樣,得到測量值yk(yk∈Rm×1).

4)選擇DFT為稀疏基Ψ,由(4)式有

式中:傳感矩陣~Θk是由測量矩陣Φk和稀疏基Ψ的逆變換矩陣Ψ?組成的復(fù)合矩陣。

對第k個子塊,(9)式和(10)式可寫為

式中:αk(αk∈Rn×1)是子圖像列向量xk在Ψ下的稀疏表示。

5)對第k個子塊,(12)式和(13)式中的全變分TV(xk)定義為灰度梯度幅值之和:

式中:Dh;ijxk和Dv;ijxk分別為第k個子圖像灰度的水平差分和垂直差分。引入TV(x)的上界t= (tij)并使其最小化,則(12)式、(13)式轉(zhuǎn)化為SOCPs問題

6)利用牛頓迭代法求解(18)式或(19)式。其主要思想是[12]:當(dāng)障礙參數(shù)τ→［時(shí),(18)式或(19)式的極小解t(τ)趨向于最優(yōu)解^t,對應(yīng)的^αk即為該式的最優(yōu)解。迭代過程中,若第p次迭代(對應(yīng)的障礙參數(shù)為τp)的對偶間隙m/τp滿足精度要求: m/τp＜η,則停止迭代,且^αk即為所求的最優(yōu)解;若不滿足要求,則繼續(xù)新的迭代計(jì)算,直至滿足要求或達(dá)到最大迭代次數(shù),停止迭代。

3 仿真計(jì)算

為了檢驗(yàn)本文提出的分塊CS算法的有效性,分析圖像分塊數(shù)與圖像重構(gòu)質(zhì)量和計(jì)算效率的關(guān)系,對圖4(a)進(jìn)行4、16、64和256分塊,然后對每一子塊進(jìn)行編碼測量(采樣率為50%)和LBA法重構(gòu),并用PSNR及MSSIM評價(jià)重構(gòu)圖像質(zhì)量[15]。

以下采用Matlab 2008,在Intel Core I3,CPU 3.30 GHz,內(nèi)存4 GB的臺式機(jī)上進(jìn)行仿真計(jì)算。

3.1 TVQC重構(gòu)分塊圖像計(jì)算

表1和圖5為TVQC重構(gòu)分塊圖像的計(jì)算結(jié)果和重構(gòu)圖像。

表1 圖5的TVQC重構(gòu)計(jì)算結(jié)果Tab.1 The results in Fig.5 reconstructed via TVQC

圖5 TVQC模型對圖4(a)進(jìn)行不同分塊的重構(gòu)圖像Fig.5 Baboon images in different blocking modes in Fig.4(a)reconstructed via TVQC

由于TVQC重構(gòu)圖像時(shí),需對分塊圖像進(jìn)行歸一化和均值平移,故重構(gòu)后拼接圖像時(shí)無參考灰度,本文采用對每一子塊進(jìn)行0～255拉伸顯示。

3.2 TVEQ重構(gòu)分塊圖像計(jì)算

表2和圖6為TVEQ重構(gòu)分塊圖像的計(jì)算結(jié)果和重構(gòu)圖像。

由圖5和圖6可看出:1)圖像分塊相同時(shí),兩種方法計(jì)算的PSNR和MSSIM值較為接近,但TVEQ的計(jì)算時(shí)間比TVQC分別多28.2%、34.4%、40.7%、50.5%和63.0%.2)圖像16分塊時(shí),計(jì)算時(shí)間最短。3)隨著分塊數(shù)增加,分塊間的灰度差異增大,“馬賽克”現(xiàn)象越來越明顯,圖像可視性變差。

3.3 圖像灰度拉伸方法

圖6 TVEQ模型對圖4(a)進(jìn)行不同分塊的重構(gòu)圖像Fig.6 Baboon images in different blocking modesin Fig.4(a)reconstructed via TVEQ

表2 圖6的TVEQ重構(gòu)計(jì)算結(jié)果Tab.2 The results of baboon images in Fig.6 reconstructed via TVEQ

針對重構(gòu)子圖像間的“馬賽克”現(xiàn)象,本文進(jìn)一步提出一種參考相鄰子圖像進(jìn)行灰度拉伸的方法。如圖7所示,首先選定基準(zhǔn)塊,并由基準(zhǔn)塊與相鄰塊鄰域的平均灰度差對相鄰塊進(jìn)行灰度拉伸,然后將拉伸后的塊作為新的基準(zhǔn)塊,對次鄰分塊進(jìn)行拉伸,直至整個圖像。

基準(zhǔn)塊與相鄰塊鄰域的平均灰度差定義為相鄰邊界兩列(或兩行)灰度差的平均值

圖7 參考分塊圖像鄰域進(jìn)行灰度拉伸示意圖Fig.7 Schematic diagram of gray stretching

圖8和圖9分別為按TVEQ和TVQC重構(gòu),然后按(21)式灰度拉伸后的圖像,表3和表4為相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果,其重構(gòu)時(shí)間包含圖像灰度拉伸時(shí)間。

圖8 經(jīng)灰度拉伸后的重構(gòu)圖像(TVQC)Fig.8 The results of gray stretched baboon images reconstructed via TVQC

表3 圖8經(jīng)灰度拉伸的重構(gòu)計(jì)算結(jié)果Tab.3 The results of gray stretched images in Fig.8 reconstructed via TVQC

由圖8和圖9可看出,經(jīng)灰度拉伸后,“馬賽克”現(xiàn)象基本消除,PSNR、MSSIM值相應(yīng)增加,重構(gòu)圖像質(zhì)量得到進(jìn)一步提升。

圖9 經(jīng)灰度拉伸后的重構(gòu)圖像(TVEQ)Fig.9 The results of gray stretched baboon imagesreconstructed via TVEQ

表4 圖9經(jīng)灰度拉伸的重構(gòu)計(jì)算結(jié)果Tab.4 The results of gray stretched images in Fig.9reconstructed via TVEQ

3.4 其他參考圖像的仿真計(jì)算

為了進(jìn)一步驗(yàn)證上述算法的穩(wěn)定性,本文還對256×256像素的8位灰度圖像lena(見圖10(a))和barbara(見圖10(b))進(jìn)行仿真計(jì)算。

表5～表8為按3.1～3.3節(jié)的圖像分塊方法進(jìn)行編碼測量、TVQC和TVEQ重構(gòu),以及圖像灰度拉伸的重構(gòu)計(jì)算結(jié)果。

圖10 Lena和Barbara原始圖像Fig.10 Lena and Barbara's original images

由表5～表8可以看出,圖像Lena和Barbara的計(jì)算結(jié)果與Baboon的計(jì)算結(jié)果相仿,分塊特性規(guī)律也一致,說明本文算法具有較好的有效性、穩(wěn)定性和一致性。另外,由表1～表8還可看出,當(dāng)分塊數(shù)為16時(shí),重構(gòu)時(shí)間最短,且與圖像內(nèi)容無關(guān)。究其原因是因?yàn)橹貥?gòu)中一部分計(jì)算與矩陣大小有關(guān),而另一部分則與圖像分塊數(shù)有關(guān),二者綜合結(jié)果導(dǎo)致重構(gòu)總時(shí)間的非線性,并在16分塊時(shí)出現(xiàn)極小。

表5 Lena圖像重構(gòu)計(jì)算結(jié)果Tab.5 The reconstructed results of Lena's image

表6 Lena圖像經(jīng)灰度拉伸的重構(gòu)計(jì)算結(jié)果Tab.6 The reconstructed results of gray stretchedLena's image

表7 Barbara圖像重構(gòu)計(jì)算結(jié)果Tab.7 The reconstructed results of Barbara's image

表8 Barbara圖像經(jīng)灰度拉伸的重構(gòu)計(jì)算結(jié)果Tab.8 The reconstructed results of gray stretchedBarbara's image

4 結(jié)論

綜上所述,本文提出的基于DMD和多元探測器陣列的分塊CS成像算法,從實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)出發(fā),采用0-1高斯隨機(jī)分布構(gòu)成測量矩陣,通過DMD與多元探測器陣列組合實(shí)現(xiàn)光學(xué)系統(tǒng)在圖像采集的同時(shí)完成圖像的壓縮,通過圖像分塊解決大陣列圖像重構(gòu)占用內(nèi)存過大、重構(gòu)時(shí)間過長的問題,為CS成像理論的實(shí)際應(yīng)用提供了有益的技術(shù)參考。

仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文算法對不同分塊大小、不同場景圖像進(jìn)行編碼測量和圖像重構(gòu)的穩(wěn)定性和有效性,所提出的分塊圖像灰度拉伸方法,有效提高了重構(gòu)圖像的PSNR、MSSIM值和可視性。

另外,由仿真實(shí)驗(yàn)可看出,雖然TV法能高概率、高質(zhì)量地恢復(fù)實(shí)際景物圖像,但限于TV法的復(fù)雜性,其圖像重構(gòu)時(shí)間比其他方法長,因此,該算法適用于準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)際景物的壓縮成像、對后續(xù)圖像重構(gòu)時(shí)間要求不高的場合。

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A Block Compressed Sensing Method Based on Multi-element Detector Array

ZHANG Zhi-quan1,DING Sheng1,2,JIN Wei-qi3
(1.Department of Control Engineering,Academy of Armored Force Engineering,Beijing 100072,China;
2.No.73021 Unit of PLA,Hangzhou 310023,Zhejiang,China;
3.Ministry of Education Key Laboratory of Photo Electronic Imaging Technology and System, Beijing Institute of Technology,Beijing 100081,China)

A block compressed sensing method is proposed considering that the calculation time of image reconstruction increases rapidly with the image size when compressive sensing(CS)theory is applied in single-pixel imaging.In the method,a digital micro-mirror device(DMD)and a multi-element detector array are used for encoding and measuring,and a total variation minimization method is used for image reconstruction,where the peak signal-to-noise ratio(PSNR)and the structural similarity(SSIM)of recovered images are improved by using gray stretch technique.Simulation results show that the method has the characteristics of shorter calculation time and higher recovered image quality.For 16 image blocks, the calculation time can be shorten by 40%at least.The PSNR and mean SSIM values of recovered images can be improved by 70%and 11%,respectively,through gray stretching of image blocks.

information processing;compressive sensing;sparse representation and reconstruction; multi-element detector array;total variation minimization with quadratic constraints;total variation mini-mization with equality constraints

TN214

:A

1000-1093(2014)05-0654-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2014.05.012

2013-08-21

張智詮(1959—),男,教授,博士生導(dǎo)師。E-mail:zhangzhq123@sina.com