在列車組合定位系統(tǒng)基于奇異值分解的粒子濾波算法研究

魯志剛+王更生

摘 要 粒子退化是粒子濾波算法存在的主要問(wèn)題之一，針對(duì)該問(wèn)題，提出了一種基于奇異值分解的粒子濾波算法。測(cè)試表明，所提算法能夠提供更高地定位精度。

關(guān)鍵詞 粒子濾波；奇異值分集；組合定位

中圖分類號(hào)：U284 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-7597（2014）10-0054-02

在列車定位系統(tǒng)中，提高定位精度的方法有兩種：一種是提升傳感器的精度，另一種是多種定位方式相融合的組合式定位。在第二種方法中，通過(guò)對(duì)現(xiàn)有的多個(gè)單一定位系統(tǒng)中的傳感器所提供的信息進(jìn)行融合，從而實(shí)現(xiàn)了定位精確地提升。組合定位系統(tǒng)一般采用擴(kuò)展卡爾曼（Extended KF，簡(jiǎn)稱EKF）濾波算法[1]，該算法雖然實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，但是難以適用于高維且非線性很大的復(fù)雜系統(tǒng)模型。因此，針對(duì)非線性系統(tǒng)的粒子（Partile Filter，簡(jiǎn)稱PF）濾波算法得到了越來(lái)越多的關(guān)注[2]。

PF濾波算法使用非參數(shù)化的隨機(jī)模擬辦法來(lái)遞推貝葉斯濾波，而PF算法的濾波器的精度取決于目標(biāo)概率函數(shù)與重要性函數(shù)是否相近。并且粒子退化問(wèn)題也影響了PF算法的性能。針對(duì)這一問(wèn)題，文獻(xiàn)[3]一種改進(jìn)的PF（Improved PF，簡(jiǎn)稱IPF）算法，該算法通過(guò)對(duì)重要性分布函數(shù)進(jìn)行調(diào)整來(lái)抑制退化現(xiàn)象，但是IPF算法還會(huì)遇到協(xié)方差矩陣病態(tài)條件的困擾。而奇異值分解（Singular Value Decomposition，簡(jiǎn)稱SVD）是能夠有效地解決上述問(wèn)題。因此，本文提出了一種基于奇異值分解的粒子濾波（SVD-based PF，簡(jiǎn)稱SVD-PF）算法。仿真表明同PF算法相比較，SVD-PF算法穩(wěn)定性更好，定位精度更高。

1 基于奇異值分解的粒子濾波算法

SVD-PF的算法步驟為：

1）從先驗(yàn)密度中采用粒子，假設(shè)粒子初始權(quán)值為，。

2）使用IPF算法計(jì)算粒子集的均值、方差。

①初始化（）

（1）

令，，，其中，為系統(tǒng)噪聲方差，為測(cè)量噪聲方差。

②當(dāng)

a.奇異值分解和特征點(diǎn)矩陣的計(jì)算

特征點(diǎn)矩陣

（） （2）

其中，是合成比例參數(shù)，，決定周圍特征點(diǎn)的擴(kuò)散，為狀態(tài)向量的維度，為二級(jí)尺度參數(shù)，為的第列，為的第個(gè)對(duì)角元素，。

奇異值分解：

（、正交，對(duì)角矩陣） （3）

b.更新時(shí)間

， （4）

其中，為系統(tǒng)輸入，，，。

（5）

其中，，為關(guān)于的先驗(yàn)知識(shí)，，。

， （6）

c.更新量測(cè)

（7）

其中，，，。

3）從重要性分布函數(shù)采樣粒子，。

4）利用公式求粒子權(quán)值。

5）對(duì)粒子權(quán)值進(jìn)行歸一化，。

6）對(duì)粒子樣本集采樣。

7）狀態(tài)更新，。

2 列車組合定位系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

組合定位系統(tǒng)由與北斗組成。該系統(tǒng)的狀態(tài)向量采用北斗與慣性導(dǎo)航所輸出的導(dǎo)航誤差，并使用間接法濾波來(lái)進(jìn)行處理。同時(shí)，北斗的偽距誤差只作為量測(cè)噪聲來(lái)對(duì)待。

2.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程

狀態(tài)向量：

（8）

其中，是速度誤差，是位置誤差，是四元數(shù)誤差，為陀螺常值漂移，為加速度計(jì)零偏。

（9）

其中，是狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型，是噪聲系數(shù)陣，是系統(tǒng)噪聲陣。

2.2 量測(cè)方程

北斗接收機(jī)的偽距可寫成：

（10）

其中，為接收機(jī)到衛(wèi)星的距離，是鐘差等效距離，是非鐘差測(cè)距誤差，為接收機(jī)所收到的白噪聲。

（11）

利用公式（11）來(lái)消除鐘以及，從而得到公式（12）：

（12）

其中，為輸出的坐標(biāo)， 為第顆北斗衛(wèi)星的坐標(biāo)。根據(jù)公式（12）可以得到/北斗組合定位系統(tǒng)的量測(cè)方程：

（13）

其中，為非線性函數(shù)，是量測(cè)噪聲。

3 仿真分析

為了驗(yàn)證SVD-PF算法的性能，本文進(jìn)行了如下仿真，仿真參數(shù)設(shè)置參照文獻(xiàn)[3]。

圖1 PE與SVD-PE定位誤差比較

圖1給出了PE算法與SVD-PF算法在東向位置的誤差。從圖1中可以看出，SVD-PF算法的定位誤差要明顯小于PF算法的。并且表1給出了兩種算法定位誤差的定量分析。從表1中可以看出，SVD-PF算法的誤差最大值、均值與方差都小于PF算法的。

表1 東向位置誤差（單位：米）

名稱 誤差最大值 均值 方差

PF 19.73 3.25 41.12

SVD-PF 16.812 2.67 36.65

4 結(jié)論

本文提出了一種基于奇異值分解的粒子濾波算法SVD-PF，并將其應(yīng)用于列車組合定位系統(tǒng)中，仿真表明，SVD-PF算法能夠顯著地提高定位精度。

參考文獻(xiàn)

[1]秦永元，汪叔華.卡爾曼濾波與組合導(dǎo)航原理[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，1998.

[2]Meropolis N， Rosenbluth A W. Equation of state calculations by fast computing machines. Journal of Chemical Physics， 1953，21（6）：1087-1092.

[3]趙梅，張三通，朱剛.改進(jìn)粒子濾波算法在組合導(dǎo)航中的應(yīng)用[N].中國(guó)公路學(xué)報(bào)，2007，20（2）：108-112.

作者簡(jiǎn)介

魯志剛（1988-），男，漢族，江西撫州人，碩士生，華東交通大學(xué)信息工程學(xué)院，研究方向計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)。

王更生（導(dǎo)師）（1964-），男，漢族，湖南邵東人，教授，碩士，華東交通大學(xué)信息工程學(xué)院，主要研究領(lǐng)域?yàn)橛?jì)算機(jī)應(yīng)用，全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)，數(shù)據(jù)挖掘。endprint

摘 要 粒子退化是粒子濾波算法存在的主要問(wèn)題之一，針對(duì)該問(wèn)題，提出了一種基于奇異值分解的粒子濾波算法。測(cè)試表明，所提算法能夠提供更高地定位精度。

關(guān)鍵詞 粒子濾波；奇異值分集；組合定位

中圖分類號(hào)：U284 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-7597（2014）10-0054-02

在列車定位系統(tǒng)中，提高定位精度的方法有兩種：一種是提升傳感器的精度，另一種是多種定位方式相融合的組合式定位。在第二種方法中，通過(guò)對(duì)現(xiàn)有的多個(gè)單一定位系統(tǒng)中的傳感器所提供的信息進(jìn)行融合，從而實(shí)現(xiàn)了定位精確地提升。組合定位系統(tǒng)一般采用擴(kuò)展卡爾曼（Extended KF，簡(jiǎn)稱EKF）濾波算法[1]，該算法雖然實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，但是難以適用于高維且非線性很大的復(fù)雜系統(tǒng)模型。因此，針對(duì)非線性系統(tǒng)的粒子（Partile Filter，簡(jiǎn)稱PF）濾波算法得到了越來(lái)越多的關(guān)注[2]。

PF濾波算法使用非參數(shù)化的隨機(jī)模擬辦法來(lái)遞推貝葉斯濾波，而PF算法的濾波器的精度取決于目標(biāo)概率函數(shù)與重要性函數(shù)是否相近。并且粒子退化問(wèn)題也影響了PF算法的性能。針對(duì)這一問(wèn)題，文獻(xiàn)[3]一種改進(jìn)的PF（Improved PF，簡(jiǎn)稱IPF）算法，該算法通過(guò)對(duì)重要性分布函數(shù)進(jìn)行調(diào)整來(lái)抑制退化現(xiàn)象，但是IPF算法還會(huì)遇到協(xié)方差矩陣病態(tài)條件的困擾。而奇異值分解（Singular Value Decomposition，簡(jiǎn)稱SVD）是能夠有效地解決上述問(wèn)題。因此，本文提出了一種基于奇異值分解的粒子濾波（SVD-based PF，簡(jiǎn)稱SVD-PF）算法。仿真表明同PF算法相比較，SVD-PF算法穩(wěn)定性更好，定位精度更高。

1 基于奇異值分解的粒子濾波算法

SVD-PF的算法步驟為：

1）從先驗(yàn)密度中采用粒子，假設(shè)粒子初始權(quán)值為，。

2）使用IPF算法計(jì)算粒子集的均值、方差。

①初始化（）

（1）

令，，，其中，為系統(tǒng)噪聲方差，為測(cè)量噪聲方差。

②當(dāng)

a.奇異值分解和特征點(diǎn)矩陣的計(jì)算

特征點(diǎn)矩陣

（） （2）

其中，是合成比例參數(shù)，，決定周圍特征點(diǎn)的擴(kuò)散，為狀態(tài)向量的維度，為二級(jí)尺度參數(shù)，為的第列，為的第個(gè)對(duì)角元素，。

奇異值分解：

（、正交，對(duì)角矩陣） （3）

b.更新時(shí)間

， （4）

其中，為系統(tǒng)輸入，，，。

（5）

其中，，為關(guān)于的先驗(yàn)知識(shí)，，。

， （6）

c.更新量測(cè)

（7）

其中，，，。

3）從重要性分布函數(shù)采樣粒子，。

4）利用公式求粒子權(quán)值。

5）對(duì)粒子權(quán)值進(jìn)行歸一化，。

6）對(duì)粒子樣本集采樣。

7）狀態(tài)更新，。

2 列車組合定位系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

組合定位系統(tǒng)由與北斗組成。該系統(tǒng)的狀態(tài)向量采用北斗與慣性導(dǎo)航所輸出的導(dǎo)航誤差，并使用間接法濾波來(lái)進(jìn)行處理。同時(shí)，北斗的偽距誤差只作為量測(cè)噪聲來(lái)對(duì)待。

2.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程

狀態(tài)向量：

（8）

其中，是速度誤差，是位置誤差，是四元數(shù)誤差，為陀螺常值漂移，為加速度計(jì)零偏。

（9）

其中，是狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型，是噪聲系數(shù)陣，是系統(tǒng)噪聲陣。

2.2 量測(cè)方程

北斗接收機(jī)的偽距可寫成：

（10）

其中，為接收機(jī)到衛(wèi)星的距離，是鐘差等效距離，是非鐘差測(cè)距誤差，為接收機(jī)所收到的白噪聲。

（11）

利用公式（11）來(lái)消除鐘以及，從而得到公式（12）：

（12）

其中，為輸出的坐標(biāo)， 為第顆北斗衛(wèi)星的坐標(biāo)。根據(jù)公式（12）可以得到/北斗組合定位系統(tǒng)的量測(cè)方程：

（13）

其中，為非線性函數(shù)，是量測(cè)噪聲。

3 仿真分析

為了驗(yàn)證SVD-PF算法的性能，本文進(jìn)行了如下仿真，仿真參數(shù)設(shè)置參照文獻(xiàn)[3]。

圖1 PE與SVD-PE定位誤差比較

圖1給出了PE算法與SVD-PF算法在東向位置的誤差。從圖1中可以看出，SVD-PF算法的定位誤差要明顯小于PF算法的。并且表1給出了兩種算法定位誤差的定量分析。從表1中可以看出，SVD-PF算法的誤差最大值、均值與方差都小于PF算法的。

表1 東向位置誤差（單位：米）

名稱 誤差最大值 均值 方差

PF 19.73 3.25 41.12

SVD-PF 16.812 2.67 36.65

4 結(jié)論

本文提出了一種基于奇異值分解的粒子濾波算法SVD-PF，并將其應(yīng)用于列車組合定位系統(tǒng)中，仿真表明，SVD-PF算法能夠顯著地提高定位精度。

參考文獻(xiàn)

[1]秦永元，汪叔華.卡爾曼濾波與組合導(dǎo)航原理[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，1998.

[2]Meropolis N， Rosenbluth A W. Equation of state calculations by fast computing machines. Journal of Chemical Physics， 1953，21（6）：1087-1092.

[3]趙梅，張三通，朱剛.改進(jìn)粒子濾波算法在組合導(dǎo)航中的應(yīng)用[N].中國(guó)公路學(xué)報(bào)，2007，20（2）：108-112.

作者簡(jiǎn)介

魯志剛（1988-），男，漢族，江西撫州人，碩士生，華東交通大學(xué)信息工程學(xué)院，研究方向計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)。

王更生（導(dǎo)師）（1964-），男，漢族，湖南邵東人，教授，碩士，華東交通大學(xué)信息工程學(xué)院，主要研究領(lǐng)域?yàn)橛?jì)算機(jī)應(yīng)用，全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)，數(shù)據(jù)挖掘。endprint

摘 要 粒子退化是粒子濾波算法存在的主要問(wèn)題之一，針對(duì)該問(wèn)題，提出了一種基于奇異值分解的粒子濾波算法。測(cè)試表明，所提算法能夠提供更高地定位精度。

關(guān)鍵詞 粒子濾波；奇異值分集；組合定位

中圖分類號(hào)：U284 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-7597（2014）10-0054-02

在列車定位系統(tǒng)中，提高定位精度的方法有兩種：一種是提升傳感器的精度，另一種是多種定位方式相融合的組合式定位。在第二種方法中，通過(guò)對(duì)現(xiàn)有的多個(gè)單一定位系統(tǒng)中的傳感器所提供的信息進(jìn)行融合，從而實(shí)現(xiàn)了定位精確地提升。組合定位系統(tǒng)一般采用擴(kuò)展卡爾曼（Extended KF，簡(jiǎn)稱EKF）濾波算法[1]，該算法雖然實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，但是難以適用于高維且非線性很大的復(fù)雜系統(tǒng)模型。因此，針對(duì)非線性系統(tǒng)的粒子（Partile Filter，簡(jiǎn)稱PF）濾波算法得到了越來(lái)越多的關(guān)注[2]。

PF濾波算法使用非參數(shù)化的隨機(jī)模擬辦法來(lái)遞推貝葉斯濾波，而PF算法的濾波器的精度取決于目標(biāo)概率函數(shù)與重要性函數(shù)是否相近。并且粒子退化問(wèn)題也影響了PF算法的性能。針對(duì)這一問(wèn)題，文獻(xiàn)[3]一種改進(jìn)的PF（Improved PF，簡(jiǎn)稱IPF）算法，該算法通過(guò)對(duì)重要性分布函數(shù)進(jìn)行調(diào)整來(lái)抑制退化現(xiàn)象，但是IPF算法還會(huì)遇到協(xié)方差矩陣病態(tài)條件的困擾。而奇異值分解（Singular Value Decomposition，簡(jiǎn)稱SVD）是能夠有效地解決上述問(wèn)題。因此，本文提出了一種基于奇異值分解的粒子濾波（SVD-based PF，簡(jiǎn)稱SVD-PF）算法。仿真表明同PF算法相比較，SVD-PF算法穩(wěn)定性更好，定位精度更高。

1 基于奇異值分解的粒子濾波算法

SVD-PF的算法步驟為：

1）從先驗(yàn)密度中采用粒子，假設(shè)粒子初始權(quán)值為，。

2）使用IPF算法計(jì)算粒子集的均值、方差。

①初始化（）

（1）

令，，，其中，為系統(tǒng)噪聲方差，為測(cè)量噪聲方差。

②當(dāng)

a.奇異值分解和特征點(diǎn)矩陣的計(jì)算

特征點(diǎn)矩陣

（） （2）

其中，是合成比例參數(shù)，，決定周圍特征點(diǎn)的擴(kuò)散，為狀態(tài)向量的維度，為二級(jí)尺度參數(shù)，為的第列，為的第個(gè)對(duì)角元素，。

奇異值分解：

（、正交，對(duì)角矩陣） （3）

b.更新時(shí)間

， （4）

其中，為系統(tǒng)輸入，，，。

（5）

其中，，為關(guān)于的先驗(yàn)知識(shí)，，。

， （6）

c.更新量測(cè)

（7）

其中，，，。

3）從重要性分布函數(shù)采樣粒子，。

4）利用公式求粒子權(quán)值。

5）對(duì)粒子權(quán)值進(jìn)行歸一化，。

6）對(duì)粒子樣本集采樣。

7）狀態(tài)更新，。

2 列車組合定位系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

組合定位系統(tǒng)由與北斗組成。該系統(tǒng)的狀態(tài)向量采用北斗與慣性導(dǎo)航所輸出的導(dǎo)航誤差，并使用間接法濾波來(lái)進(jìn)行處理。同時(shí)，北斗的偽距誤差只作為量測(cè)噪聲來(lái)對(duì)待。

2.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程

狀態(tài)向量：

（8）

其中，是速度誤差，是位置誤差，是四元數(shù)誤差，為陀螺常值漂移，為加速度計(jì)零偏。

（9）

其中，是狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型，是噪聲系數(shù)陣，是系統(tǒng)噪聲陣。

2.2 量測(cè)方程

北斗接收機(jī)的偽距可寫成：

（10）

其中，為接收機(jī)到衛(wèi)星的距離，是鐘差等效距離，是非鐘差測(cè)距誤差，為接收機(jī)所收到的白噪聲。

（11）

利用公式（11）來(lái)消除鐘以及，從而得到公式（12）：

（12）

其中，為輸出的坐標(biāo)， 為第顆北斗衛(wèi)星的坐標(biāo)。根據(jù)公式（12）可以得到/北斗組合定位系統(tǒng)的量測(cè)方程：

（13）

其中，為非線性函數(shù)，是量測(cè)噪聲。

3 仿真分析

為了驗(yàn)證SVD-PF算法的性能，本文進(jìn)行了如下仿真，仿真參數(shù)設(shè)置參照文獻(xiàn)[3]。

圖1 PE與SVD-PE定位誤差比較

圖1給出了PE算法與SVD-PF算法在東向位置的誤差。從圖1中可以看出，SVD-PF算法的定位誤差要明顯小于PF算法的。并且表1給出了兩種算法定位誤差的定量分析。從表1中可以看出，SVD-PF算法的誤差最大值、均值與方差都小于PF算法的。

表1 東向位置誤差（單位：米）

名稱 誤差最大值 均值 方差

PF 19.73 3.25 41.12

SVD-PF 16.812 2.67 36.65

4 結(jié)論

本文提出了一種基于奇異值分解的粒子濾波算法SVD-PF，并將其應(yīng)用于列車組合定位系統(tǒng)中，仿真表明，SVD-PF算法能夠顯著地提高定位精度。

參考文獻(xiàn)

[1]秦永元，汪叔華.卡爾曼濾波與組合導(dǎo)航原理[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，1998.

[2]Meropolis N， Rosenbluth A W. Equation of state calculations by fast computing machines. Journal of Chemical Physics， 1953，21（6）：1087-1092.

[3]趙梅，張三通，朱剛.改進(jìn)粒子濾波算法在組合導(dǎo)航中的應(yīng)用[N].中國(guó)公路學(xué)報(bào)，2007，20（2）：108-112.

作者簡(jiǎn)介

魯志剛（1988-），男，漢族，江西撫州人，碩士生，華東交通大學(xué)信息工程學(xué)院，研究方向計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)。

王更生（導(dǎo)師）（1964-），男，漢族，湖南邵東人，教授，碩士，華東交通大學(xué)信息工程學(xué)院，主要研究領(lǐng)域?yàn)橛?jì)算機(jī)應(yīng)用，全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)，數(shù)據(jù)挖掘。endprint