Shearlet變換與核各向異性擴散的圖像噪聲抑制

吳一全，葉志龍，萬 紅，剛 鐵

（1.南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，210016南京；2.先進焊接與連接國家重點實驗室（哈爾濱工業(yè)大學(xué)），150001哈爾濱；3.深圳市城市軌道交通重點實驗室（深圳大學(xué)），518060深圳）

Shearlet變換與核各向異性擴散的圖像噪聲抑制

吳一全1，2，3，葉志龍1，萬 紅1，剛 鐵2

（1.南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，210016南京；2.先進焊接與連接國家重點實驗室（哈爾濱工業(yè)大學(xué)），150001哈爾濱；3.深圳市城市軌道交通重點實驗室（深圳大學(xué)），518060深圳）

為了更有效地抑制圖像噪聲，改善圖像視覺效果，提出了一種基于非下采樣Shearlet變換（nonsubsampled shear?let transform，NSST）與核各向異性擴散的圖像噪聲抑制方法.首先對含噪圖像進行非下采樣Shearlet變換；然后對所得到的低頻和高頻分量分別進行改進的全變差（improved total variation，ITV）擴散與核各向異性擴散（kernel anisotropic diffu?sion，KAD）；最后對擴散后的低頻和高頻分量進行非下采樣Shearlet逆變換得到噪聲抑制后的圖像.給出了實驗結(jié)果，并且依據(jù)主觀視覺效果和峰值信噪比、結(jié)構(gòu)相似度兩種定量評價指標(biāo)，與近年來提出的基于小波閾值收縮結(jié)合全變差、基于復(fù)Contourlet域非線性擴散、自適應(yīng)Shearlet域約束的全變差等3種噪聲抑制方法進行了比較.實驗結(jié)果表明，該方法的噪聲抑制能力更強，且更為完整地保留了圖像的邊緣和細(xì)節(jié)信息.

圖像處理；噪聲抑制；非下采樣Shearlet變換；改進的全變差擴散；核各向異性擴散

由于外部條件和系統(tǒng)設(shè)備因素的影響，圖像在形成和傳輸過程中常常會引入噪聲，嚴(yán)重影響了圖像的質(zhì)量.在焊接缺陷、織物疵點、紙病和鐵軌表面缺陷的自動檢測中［1-2］，噪聲抑制作為其圖像預(yù)處理的重要環(huán)節(jié)，對于提升后續(xù)圖像分析及識別的性能有著重要意義.目前，圖像噪聲抑制方法主要有濾波法和多尺度幾何分析法.傳統(tǒng)的濾波法包括中值濾波、鄰域濾波、低通濾波等，這類方法雖可在一定程度上抑制噪聲，但同時平滑了較多的圖像細(xì)節(jié)信息.而濾波法中較為新穎的非局部均值方法［3-4］則充分利用圖像的自相似性，通過衡量圖像塊的相似性來構(gòu)造權(quán)重，能較好地保留圖像邊緣、紋理特征，但該方法的計算復(fù)雜度巨大，難以直接應(yīng)用于實際場合.多尺度幾何分析法以小波變換為基礎(chǔ)［5］，可有效地表示圖像的方向信息，在抑制噪聲的同時保留圖像的細(xì)節(jié).近年來，各向異性擴散因其良好的細(xì)節(jié)保持特性在圖像噪聲抑制領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.以PM（perona malik）［6］、全變差（total variation，TV）［7］等為代表的各向異性擴散模型取得了較好的噪聲抑制效果，但是這類方法未考慮圖像噪聲的分布情況，直接對圖像進行全局化處理，易殘留噪聲，丟失細(xì)小邊緣.而多尺度幾何分析能夠稀疏地表示圖像［8-10］，可有效地分離圖像的高、低頻分量，并根據(jù)噪聲的分布情況做相應(yīng)的處理，改善噪聲抑制效果.因此，若能充分利用多尺度幾何分析和各向異性擴散的各自優(yōu)勢，可望達到更為優(yōu)良的噪聲抑制性能.文獻［11］提出了基于小波閾值收縮結(jié)合TV的噪聲抑制方法，較好地去除了噪聲，但該方法采用的小波變換不能最優(yōu)地表達圖像，方向選擇較為有限，且高頻分量采用的閾值收縮方法也平滑了部分細(xì)節(jié)信息.文獻［12］使用復(fù)Contourlet代替小波變換，并對高頻分量進行PM擴散，有效地改善了噪聲抑制效果.該方法采用的復(fù)Contourlet較小波雖能更稀疏地表示圖像，對方向信息的表達也更加豐富，但方向的選擇性仍受限于圖像的分解尺度，且高頻分量采用的PM擴散模型無法抵抗強噪聲的攻擊，應(yīng)用范圍受到了限制.近年來提出的Shearlet變換能夠自適應(yīng)跟蹤圖像奇異曲線方向，方向選擇性更加豐富［13］，但Shearlet變換具有下采樣操作，缺乏平移不變性.文獻［14］給出了一種自適應(yīng)Shearlet域約束的全變差圖像噪聲抑制方法，取得了較好的效果.然而該方法未對Shearlet變換后的低頻分量進行處理，殘留了部分噪聲，且用于重構(gòu)后圖像處理的TV擴散在圖像邊緣和圖像平滑區(qū)域均采用相同的方式進行擴散，易出現(xiàn)階梯效應(yīng).針對上述問題，可考慮先采用非下采樣Shearlet變換（NSST）將圖像分解成高、低頻分量，克服Shearlet產(chǎn)生的偽吉布斯（Gbbis）效應(yīng)；對圖像的低頻分量，可在TV擴散的基礎(chǔ)上，通過計算像素點的梯度值分辨圖像的邊緣區(qū)域和平滑區(qū)域，并采用不同的擴散策略，以改善圖像視覺效果，提高擴散的效率［15］；此外，通過核化PM模型中的梯度算子，利用非線性函數(shù)將高頻分量映射到高維特征空間，進行核各向異性擴散（KAD）處理，提升噪聲的抑制性能，增強擴散的魯棒性［16］.

基于上述分析，本文提出了一種基于NSST和核各向異性擴散的圖像噪聲抑制方法.首先對圖像進行NSST，對得到的低頻分量采用改進的TV擴散，改善視覺效果；然后高頻分量則進行KAD擴散，以增強擴散的魯棒性；最后利用非下采樣Shearlet逆變換進行重構(gòu)，得到噪聲抑制后的圖像.文中給出了實驗結(jié)果，與基于小波閾值收縮結(jié)合TV的噪聲抑制方法（WSTV）、基于復(fù)Contourlet域非線性擴散噪聲抑制方法（CCPMTV）、自適應(yīng)Shearlet域約束的全變差圖像噪聲抑制方法（SHTV）做了比較，并依據(jù)主觀視覺效果及峰值信噪比（PSNR）、結(jié)構(gòu)相似度（SSIM）等客觀定量指標(biāo)對上述方法進行了評價對比.

1 Shearlet變換

Shearlet變換克服了小波變換不能最優(yōu)表示圖像的缺點；且與Contourlet變換相比，剖分方向不受分解層數(shù)制約，可更為精確地表示圖像的方向信息.在維數(shù)為2時，Shearlet函數(shù)的仿射系統(tǒng)為［17-18］

由式（1）和式（2）可知，對?（ξ1，ξ2）∈D0，其中為水平錐，存在

小波函數(shù)ψj，l，k具有如下頻域支撐區(qū)間

由式（3）可知，ψj，l，k支撐區(qū)域為一梯形對，其大小約為22j×2j，方向與斜率為l2-j直線方向一致，如圖1（b）所示.從圖1中可以看出Shearlet變換具有豐富的分解層數(shù)和分解方向，可以更為精確地表示圖像信息.

圖1 Shearlet變換頻域剖分及支撐區(qū)間示意

綜上可知L2（D0）∨＝｛f∈L2（R2）：supp＾f?的一個Parseval框架為

2 核各向異性擴散和改進的TV擴散

2.1 核各向異性擴散（KAD）

當(dāng)圖像遭受強噪聲污染時，梯度算子無法分辨噪聲引起的灰度變化與圖像邊緣引起的灰度變化.此時，若仍用梯度算子控制擴散過程，不僅不能有效抑制噪聲，甚至?xí)鰪娨徊糠衷肼暎?4，19］.針對這一問題，可考慮進行核各向異性擴散（KAD）.根據(jù)模式可分性的Cover原理，核各向異性擴散算法通過非線性核函數(shù)將圖像信息從原始圖像空間映射到高維特征空間，利用特征空間中的梯度算子控制擴散過程，能夠?qū)⒃肼暫蛨D像邊緣間的線性不可分問題轉(zhuǎn)化為特征空間中的線性可分問題，從而更有效地抑制噪聲.KAD的模型為

式中：div為散度算子；?為梯度算子；‖·‖為幅度；I為含噪圖像；I0為原始圖像；t為時間算子，表示噪聲抑制過程與擴散時間相關(guān)；‖?［Φ（I）］‖為經(jīng)函數(shù)Φ映射后特征空間中的梯度模，也稱為核梯度模；c（‖?［Φ（I）］‖）表示擴散方程，其形式為

式中：k為擴散門限，且k＝1.482 6·［fmed·［｜‖?［Φ（I）］‖-fmed（‖?［Φ（I）］‖）｜］］，其中fmed為取中值函數(shù)［20］．

圖像中某一像素點的梯度?？呻x散為某一特定方向上的灰度差分絕對值，因此，在圖像空間像素點p處的梯度?！?Ip‖可以離散化為

式中：εp為像素點p的8鄰域空間；｜εp｜為εp的勢．經(jīng)過核替換后，特征空間中某一特定方向上的灰度差分平方為

式中：K（·，·）為核函數(shù)，通常選取在特征空間能有效劃分噪聲和圖像邊緣的高斯函數(shù)，核梯度模為

2.2 改進的TV（ITV）擴散

TV擴散可以歸結(jié)為尋找圖像能量泛函的平衡態(tài)，即求解方程最小化問題為

式中R?是R的共軛伴隨算子，式（7）的解I即為噪聲抑制后的圖像．

由式（7）可看出，由于TV擴散未根據(jù)圖像特征的明顯程度采用合適的擴散速度，其擴散效率較低；另外，TV擴散沿著邊緣方向進行擴散，而在圖像中較為平坦的區(qū)域，邊緣事實上并不存在，此時仍然沿著邊緣擴散，就會出現(xiàn)假邊緣，產(chǎn)生“階梯”效應(yīng)、噪聲抑制不完全等現(xiàn)象.因此，可對TV擴散進行如下改進［15］：

式中：g（｜G?｜）用以加速迭代的速度，其中為圖像中的點（χ，y）梯度向量的模．若在點（χ，y）的鄰域內(nèi)加權(quán)均值較小，則（χ，y）鄰域內(nèi)的像素變化平緩，擴散速度也就較快；反之，擴散速度就較慢．ITV擴散針對TV擴散模型的缺點進行相應(yīng)的改進，因此較好地保留了圖像邊緣，使得圖像平坦區(qū)域更為光滑，并提高了擴散效率．

3 圖像噪聲抑制方法的步驟與流程

本文提出一種有機結(jié)合NSST和核各向異性擴散的圖像噪聲抑制方法，其流程如圖2所示.

圖2 圖像噪聲抑制算法

Step 3（獲取Shearlet系數(shù)） 將得到的錐形方向頻率分量映射到笛卡爾坐標(biāo)系，并對其做傅里葉逆變換，獲得高頻分量的Shearlet系數(shù).本文采用單層NSST，得到了圖像低頻分量系數(shù)Il和6個高頻分量系數(shù)（Ih1，Ih2，Ih3，Ih4，Ih5，Ih6）．其中，拉普拉斯濾波器選擇“maxflat”，進行方向剖分的窗函數(shù)為“Meyer”.

Step 4（低頻分量噪聲抑制） 圖像經(jīng)Shearlet分解后的低頻分量包含圖像信號的主要能量，同時包含少量的噪聲.若不進行處理，會降低圖像質(zhì)量，影響視覺效果；若采用傳統(tǒng)的濾波方法，可能會損失圖像部分信息，甚至產(chǎn)生階梯效應(yīng).因此，本文采用對圖像細(xì)節(jié)特征保持較好的ITV擴散模型處理低頻分量，得到噪聲抑制后的低頻分量I′l，擴散方程為式（8），時間步長為0.1，當(dāng)?shù)昂髢煞鶊D像的均方誤差小于0.05時，停止迭代.

Step 5（高頻分量噪聲抑制） 圖像的高頻分量包含了較為豐富的細(xì)節(jié)信息和大量的噪聲，對6個高頻分量系數(shù)分別采用KAD模型進行擴散處理，得到噪聲抑制后的高頻分量（I′h1，I′h2，I′h3，I′h4，I′h5，I′h6），擴散模型采用式（4），擴散方程為式（5），最大迭代次數(shù)為15，當(dāng)?shù)昂髢煞鶊D像均方誤差小于0.15時，停止迭代，式（6）中采用的核函數(shù)其中σ＝3 000．

Step 6 綜合處理后的低頻分量I′l和高頻分量（I′h1，I′h2，I′h3，I′h4，I′h5，I′h6），利用逆NSST（inverse NSST，INSST）得到噪聲抑制后的圖像.

4 結(jié)果與分析

針對本文提出的方法，對大量圖像進行了噪聲抑制實驗，給出了本文方法及近年來提出的基于小波閾值收縮結(jié)合全變差的噪聲抑制方法（WSTV）、基于復(fù)Contourlet域非線性擴散的噪聲抑制方法（CCPMTV）、自適應(yīng)Shearlet域約束的全變差圖像噪聲抑制方法（SHTV）的噪聲抑制結(jié)果對比，并依據(jù)主觀視覺效果及峰值信噪比、結(jié)構(gòu)相似度等客觀定量指標(biāo)對上述4種方法進行了評價與比較.實驗參數(shù)設(shè)置如下：WSTV采用單層Haar小波分解，低頻采用時間步長為0.2的TV擴散，高頻采用自適應(yīng)閾值收縮；CCPMTV采用單層復(fù)Contourlet分解，濾波器選擇“antonini”和“qshift-a”，低頻處理采用TV擴散，其時間步長為0.2，迭代終止條件為迭代前后的圖像均方誤差小于0.01，高頻采用PM擴散模型進行處理，迭代次數(shù)為30；SHTV采用單層頻域離散Shearlet分解，高頻分量進行自適應(yīng)閾值收縮處理，使用的自適應(yīng)收縮函數(shù)為Sτ（χ）＝sign（χ）0），其中：sign（χ）為符號函數(shù)；σn、σχ分別為噪聲、信號的標(biāo)準(zhǔn)差；TV擴散的最小迭代次數(shù)為20次；迭代步長為1／20.本文的噪聲抑制實驗均是在Intel（R）Core（TM）2，主頻2.0 GH，內(nèi)存2 GB，處理程序為Matlab R2009a的環(huán)境下進行的.

現(xiàn)以3幅圖像為例加以說明.圖3～5分別給出了Lena圖像、焊接缺陷圖像及織物疵點圖像，屬于紋理較為復(fù)雜的一類圖像.圖3（c）～圖5（c）為使用WSTV所得到的噪聲抑制后圖像；圖3（d）～圖5（d）為使CCPMTV所得到的噪聲抑制后圖像；圖3（e）～圖5（e）為使用SHTV所得到的噪聲抑制后圖像；圖3（f）～圖5（f）為使用本文方法所得到的噪聲抑制后圖像.噪聲是均值為0、方差＝20的高斯白噪聲.

圖3 Lena圖像的噪聲抑制

在WSTV方法中，由于對高頻分量采用的閾值收縮方法，易發(fā)生噪聲“過扼殺”或抑制不完全等情況，圖4（c）～圖6（c）的背景圖像中依然殘留大量的噪聲，圖5（c）和圖6（c）中的咬邊缺陷和缺經(jīng)疵點上仍覆蓋了部分噪聲，且缺陷和疵點的細(xì)節(jié)部分模糊不清；經(jīng)復(fù)Contourlet變換分解后，圖像的方向信息被捕捉得更為準(zhǔn)確，且高、低頻均采用了擴散處理，與圖4（c）～圖6（c）相比，圖4（d）～圖6（d）的背景部分更為平滑，但由于圖像分解后高頻方向數(shù)仍受限于分解尺度，且采用TV擴散易丟失細(xì)小邊緣，PM擴散抵抗強噪聲的能力較弱，因此，圖4（d）～圖6（d）存在一定的“階梯效應(yīng)”，如Lena圖像的肩部曲線不夠平滑，焊接缺陷和織物疵點圖像中背景被過度平滑，損失了部分紋理信息.由于采用了Shearlet變換，圖像分解時方向性有了更多的選擇，相比于CCPMTV方法，圖4（e）～圖6（e）在背景處的紋理更為清晰，但仍有偽Gibbs效應(yīng)存在，由于高頻分量采用了閾值收縮方法，殘留了少量噪聲.本文方法采用了具有平移不變性的NSST，彌補了Shearlet變換的不足，低頻分量采用的ITV有效地消除了階梯效應(yīng)，高頻分量采用的KAD抑制噪聲的能力更強，得到的圖4（f）～圖6（f）中噪聲去除得最為徹底，細(xì)節(jié)紋理等保留得更為完整，視覺效果最佳.

圖4 焊接缺陷圖像的噪聲抑制

圖5 織物疵點圖像的噪聲抑制

圖6 紙張缺陷圖像的噪聲抑制

表1給出了Lean圖像在不同噪聲強度下使用4種方法得到的峰值信噪比和圖像結(jié)構(gòu)相似度.其中峰值信噪比越高，說明噪聲抑制性能越好；結(jié)構(gòu)相似度更為接近人眼主觀感受，其值越接近于1，表示去噪效果越好，噪聲抑制后圖像的亮度、對比度和紋理結(jié)構(gòu)越接近于原始圖像.峰值信噪比和結(jié)構(gòu)相似度的計算公式為

式中：Io、I?分別為原始圖像、噪聲抑制后的圖像；l（·）、c（·）、s（·）分別為亮度、對比度和結(jié)構(gòu)比較函數(shù)，其中α＝β＝γ＝1．

表1 4種噪聲抑制方法的性能比較

從表1可以看出，在3種噪聲強度下使用本文方法所得圖像的峰值信噪比均是最高的，其中在噪聲方差σ2n＝20時，峰值信噪比較WSTV、CCPMTV和SHTV分別有3.78、2.33和0.61 dB的增長.由于本文方法高、低頻分量均采用了擴散處理，且低頻分量采用的ITV擴散有效地避免了TV擴散可能出現(xiàn)的假邊緣，高頻分量采用的KAD模型的噪聲抑制能力更強，即使在強噪聲污染時（σ2n＝25），依然能有效地抑制噪聲.另外，本文方法的結(jié)構(gòu)相似度也是4種方法中最高的，有效保留了圖像的細(xì)節(jié)和紋理信息.

圖6、7還給出了紙張缺陷和鐵軌表面缺陷圖像的噪聲抑制效果圖，從圖6、7可以看出，本文方法的噪聲抑制效果最好，有效地保留了圖像中缺陷的細(xì)節(jié)和紋理信息，為工程中后期缺陷的準(zhǔn)確識別及分類奠定了良好的基礎(chǔ).

圖7 鐵軌表面缺陷圖像的噪聲抑制

5 結(jié) 論

1）本文提出了一種基于NSST和核各向異性擴散的圖像噪聲抑制方法.利用NSST對含噪圖像進行了多尺度分解，克服了Shearlet易產(chǎn)生的偽吉布斯效應(yīng)，更為豐富地提取了圖像的方向信息，更精確地捕獲了圖像的邊緣細(xì)節(jié).

2）低頻分量采用了ITV擴散進行處理，克服了TV擴散易產(chǎn)生的階梯效應(yīng)，改善了圖像視覺效果，提高了擴散的效率.

3）對高頻分量進行了KAD處理，利用核理論將圖像噪聲和邊緣非線性可分問題轉(zhuǎn)化為特征空間的線性可分問題，有效地提升了噪聲抑制能力，增強了擴散的魯棒性.

4）與近年來提出的WSTV、CCPMTV和SHTV相比，本文方法噪聲去除得更為徹底，而且能夠更為有效地保留圖像的邊緣、紋理等細(xì)節(jié)信息，噪聲抑制后的圖像主觀視覺效果最佳，且在峰值信噪比和結(jié)構(gòu)相似度等客觀定量指標(biāo)上均優(yōu)于其他3種方法.

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（編輯 張 紅）

Noise suppression of image based on nonsubsampled shearlet transform and kernel anisotropic diffusion

WU Yiquan1，2，3，YE Zhilong1，WAN Hong1，GANG Tie2

（1.College of Electronic and Information Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，210016 Nanjing，China；2.State Key Laboratory of Advanced Welding and Joining（Harbin Institute of Technology），150001 Harbin，China；3.Shenzhen Key Laboratory of Urban Rail Traffic（Shenzhen University），518060 Shenzhen，China）

To suppress noise of image more efficiently and further improve image visual effects，a noise suppression method of image based on shearlet transform and kernel anisotropic diffusion is proposed.Firstly，a noisy image is decomposed by nonsubsampled shearlet transform（NSST）.Then the obtained low?frequency component and high?frequency components are processed by improved total variation（ITV）diffusion and kernel anisotropic diffusion（KAD），respectively.Finally，the noise suppressed image is obtained by synthesizing diffused low?frequency component and high?frequency components through inverse nonsubsampled shearlet transform（INSST）.Experimental results are given，in terms of subjective visual effect and two quantitative evaluation indicators such as peak signal to noise ratio（PSNR），structural similarity（SSIM），a comparison is made with three recent proposed noise suppression methods based on wavelet threshold shrinkage and TV，based on nonlinear diffusion in complex contourlet domain，and using TV with adaptive shearlet domain restraint.A large number of experimental results show that the proposed method has stronger noise suppression ability and preserves edge and detail information more completely.

image processing；noise suppression；nonsubsampled shearlet transform；improved total variation diffusion；kernel anisotropic diffusion

TN911.73

：A

：0367-6234（2014）11-0076-08

2013-07-30.

國家自然科學(xué)基金（60872065）；先進焊接與連接國家重點實驗室開放基金（AWPT-M04）；深圳市城市軌道交通重點實驗室開放基金（SZCSGD201306）；江蘇省制漿造紙科學(xué)與技術(shù)重點實驗室開放課題（201313）；紡織面料技術(shù)教育部重點實驗室開放基金（P1111）.

吳一全（1963—），男，教授，博士生導(dǎo)師；剛 鐵（1952—），男，教授，博士生導(dǎo)師.

吳一全，nuaaimage＠163.com.