基于數(shù)學(xué)史的中位數(shù)和眾數(shù)的教學(xué)實(shí)踐

吳駿+杜珺+邱寧+殷從全

中位數(shù)和眾數(shù)是繼平均數(shù)之后，表示數(shù)據(jù)集中趨勢的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量.在對(duì)學(xué)生的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)需要表示一組數(shù)據(jù)的平均水平時(shí)，學(xué)生往往認(rèn)為平均數(shù)才是這組數(shù)據(jù)的代表，而忽視了對(duì)中位數(shù)和眾數(shù)的選擇使用.究其原因，主要是學(xué)生不了解為何要學(xué)習(xí)中位數(shù)和眾數(shù)，也不知道如何運(yùn)用這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，這需要從概念的歷史產(chǎn)生過程中尋求解決問題的方案.為此，我們對(duì)中位數(shù)和眾數(shù)的歷史起源進(jìn)行考察，設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的概念教學(xué)案例，并在八年級(jí)進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐.1 教學(xué)案例的設(shè)計(jì)與實(shí)踐

歷史現(xiàn)象學(xué)為學(xué)生理解中位數(shù)和眾數(shù)概念提供了豐富的素材.然而，歷史現(xiàn)象學(xué)和教學(xué)現(xiàn)象學(xué)卻是不同的，其差異主要體現(xiàn)在學(xué)生缺乏相關(guān)的歷史背景知識(shí)，而且他們也擁有了前人未知的一些知識(shí)，因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師需要遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，把歷史現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為教學(xué)現(xiàn)象，采用自然的方式呈現(xiàn)所教的知識(shí)[1].

1.1 從“數(shù)”的角度引入中位數(shù)，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)

歷史現(xiàn)象 在歷史上，中位數(shù)幾乎是作為平均數(shù)的代替品而出現(xiàn)的.1874年，費(fèi)歇爾（G. T. Fechner， 1801—1887）借助于天文學(xué)中行之有效的方法，使用中位數(shù)來描述社會(huì)和心理現(xiàn)象.埃其渥斯（F. Y. Edgeworth，1845-1926）發(fā)現(xiàn)平均數(shù)對(duì)極端值的敏感性，而中位數(shù)比平均數(shù)更穩(wěn)健（robustness）（穩(wěn)健性用于描述對(duì)極端值的不敏感性），因此選擇了中位數(shù)代替平均數(shù).這可能源于埃其渥斯對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)的興趣，因?yàn)榻?jīng)濟(jì)學(xué)中大多是一些不規(guī)則的數(shù)據(jù).現(xiàn)在，中位數(shù)的穩(wěn)健性是使用它的主要原因.

教學(xué)案例1 在汶川大地震的捐款活動(dòng)中，某校八年級(jí)（1）班第3小組11名同學(xué)的捐款數(shù)如下（單位：元）：1，1，2，2，3，4，1，5，8，10，80.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)能比較客觀地反映全班同學(xué)捐款的“平均水平”嗎？

設(shè)計(jì)說明 學(xué)生習(xí)慣于把平均數(shù)作為數(shù)據(jù)的平均水平，他們對(duì)平均數(shù)的選擇使用往往優(yōu)于中位數(shù)和眾數(shù).該案例的設(shè)計(jì)擬合了中位數(shù)的歷史發(fā)展規(guī)律，即采用一組帶有極端值的不規(guī)則數(shù)據(jù)，讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，激發(fā)論證中位數(shù)代替平均數(shù)的合理性.

教學(xué)實(shí)踐 任課教師認(rèn)為，如果先介紹中位數(shù)起源的歷史，則學(xué)生自然會(huì)想到用中位數(shù)作為平均水平的代表，這就失去了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的目的.因此，教學(xué)中需要先講案例，引入中位數(shù)概念，再介紹中位數(shù)的歷來起源.以下是關(guān)于該案例的一段師生對(duì)話：

教師：你能求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)嗎？

學(xué)生：能.（過了一會(huì)）平均數(shù)為106.

教師：平均數(shù)能反映全班同學(xué)捐款的“平均水平”嗎？

學(xué)生：捐款超過106的人數(shù)只有1個(gè)，因而不能代表全班同學(xué)捐款的平均水平.

教師：為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況？

學(xué)生：最大值和最小值差異過大，其中最大值80遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其余的數(shù)據(jù)，拉大了這組數(shù)據(jù)的平均水平.

教師：也就是說，當(dāng)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)極端值時(shí)，平均數(shù)不能作為這組數(shù)據(jù)的代表，這時(shí)我們需要學(xué)習(xí)另外一個(gè)表示集中趨勢的概念，即中位數(shù).

1.2 從“形”的角度考察中位數(shù)，強(qiáng)化概念理解

歷史現(xiàn)象 1882年，高爾頓（F. Galton，1822—1911）第一次使用“中位數(shù)”這個(gè)術(shù)語.與數(shù)學(xué)歷史經(jīng)常發(fā)生的情況一樣，高爾頓在使用這個(gè)術(shù)語之前就已經(jīng)知道了這個(gè)概念，但他使用其他的術(shù)語，如“最中間的值”，“中等的”等.1874年，他在一次演講中給出了下列描述：“一個(gè)占據(jù)中間位置的物體具有這樣的性質(zhì)，比它多的物體的數(shù)目等于比它少的物體的數(shù)目.”[2]

教學(xué)案例2 如下圖，數(shù)軸的上方有一些質(zhì)點(diǎn)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的取值用數(shù)軸上的坐標(biāo)來表示，如何尋找這些質(zhì)點(diǎn)的中位數(shù)位置[3]？

設(shè)計(jì)說明 數(shù)據(jù)的分布是決定使用平均數(shù)和中位數(shù)的關(guān)鍵所在，而大多數(shù)學(xué)生還沒有形成數(shù)據(jù)呈現(xiàn)偏態(tài)分布的意識(shí)，因此，當(dāng)數(shù)據(jù)呈不規(guī)則分布時(shí)，他們?nèi)菀谆煜龑?duì)平均數(shù)和中位數(shù)的理解.該案例改編自歷史現(xiàn)象，要求在偏態(tài)分布中，學(xué)生能夠區(qū)分平均數(shù)和中位數(shù)所處的位置.

教學(xué)實(shí)踐 有學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為，中位數(shù)就是質(zhì)點(diǎn)最大坐標(biāo)與最小坐標(biāo)的中點(diǎn)值，或數(shù)軸的最大值與最小值的平均數(shù)，還有學(xué)生干脆把印發(fā)材料的那張紙對(duì)折，中間那條印痕就是中位數(shù)所在的位置.通過討論，大家澄清了各種錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，認(rèn)為中位數(shù)所處位置應(yīng)該使左右兩邊質(zhì)點(diǎn)的個(gè)數(shù)相等，即在數(shù)軸上坐標(biāo)34偏左一點(diǎn).

課后有一個(gè)學(xué)生說，可以把右邊比較分散的點(diǎn)移到坐標(biāo)34～36的上面，把左邊分散的點(diǎn)移到坐標(biāo)30～32的上面，這時(shí)質(zhì)點(diǎn)比較集中，就容易看出中位數(shù)的位置在坐標(biāo)34附近.這個(gè)想法可謂別出心裁，大大超出教師和研究者的想象.研究者對(duì)該生進(jìn)行了訪談：

研究者：你是如何想到移動(dòng)質(zhì)點(diǎn)這個(gè)方法的？

趙同學(xué)：這些質(zhì)點(diǎn)一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)就太多了，可以把它們移動(dòng)了放在一起，兩邊相互對(duì)稱就容易找到中位數(shù)的位置了.

可見，該同學(xué)尋找質(zhì)點(diǎn)中位數(shù)位置的方法與高爾頓描述的方法具有歷史相似性.

教學(xué)反思 在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生對(duì)中位數(shù)的理解比平均數(shù)更困難.（1）“獻(xiàn)愛心”捐款活動(dòng)，中位數(shù)的引入遵循歷史發(fā)展順序，學(xué)生感受到中位數(shù)存在的意義與必要.（2）設(shè)計(jì)質(zhì)點(diǎn)中位數(shù)問題，從“形”的視角加深對(duì)中位數(shù)意義的理解.同時(shí)也發(fā)現(xiàn)，學(xué)生思維的活躍性不可低估.

1.3講述古代戰(zhàn)爭故事，引入眾數(shù)概念

相對(duì)來說，眾數(shù)容易理解.第一個(gè)使用眾數(shù)的例子，可能出現(xiàn)在雅典和斯巴達(dá)戰(zhàn)爭中發(fā)生的故事.

教學(xué)案例3 在公元前428年冬天，普拉鐵阿人被伯羅奔尼撒人和皮奧夏人包圍.不久，他們開始出現(xiàn)糧食短缺，處于絕望之中.由于從雅典人那里獲得援助已經(jīng)沒有希望了，也看不到其他安全突圍的方法，普拉鐵阿人和被包圍的一些雅典人計(jì)劃棄城而去，他們打算做梯子翻過敵人的城墻.由于梯子的高度要與敵人城墻的高度一樣，為此，可以數(shù)敵人城墻上磚塊的層數(shù)來計(jì)算城墻的高度.在相同的時(shí)間，很多人數(shù)了磚塊的層數(shù).問：如何確定磚塊的層數(shù)[2]？endprint

設(shè)計(jì)說明 歷史故事情節(jié)可以直接用作教學(xué)案例，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在該案例的情境中，很多人去數(shù)城墻磚塊的層數(shù)，也就是對(duì)磚塊重復(fù)計(jì)數(shù)，出現(xiàn)頻率最高的值就是正確的，這時(shí)已經(jīng)使用了眾數(shù)概念.

教學(xué)實(shí)踐 教師神情激昂地講故事，讓學(xué)生仿佛置身于戰(zhàn)爭之中.學(xué)生討論的氛圍非常熱烈，他們認(rèn)為，士兵在數(shù)磚塊層數(shù)時(shí)，有些可能數(shù)錯(cuò)了，但大多數(shù)可能得到一個(gè)真實(shí)的數(shù)目，特別是那些距離城墻不太遠(yuǎn)，能看清城墻的人多次數(shù)的結(jié)果，然后再估計(jì)出一塊磚的厚度，從而計(jì)算出梯子的高度.隨著戰(zhàn)爭故事的結(jié)束和課堂氛圍的降溫，學(xué)生知道了，眾數(shù)就是一群人數(shù)一堵墻的磚塊，所得數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù).

1.4 聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活問題，拓展眾數(shù)應(yīng)用

歷史現(xiàn)象 還有一個(gè)眾數(shù)使用的例子，即關(guān)于選舉的問題.在古希臘和意大利，選舉機(jī)構(gòu)已經(jīng)作為一個(gè)基本形式存在很長的歷史時(shí)期了.在原始的君主統(tǒng)治時(shí)期，往往通過一些喧鬧的聚會(huì)來記錄他們的觀點(diǎn).隨著政治的發(fā)展，這些國家已經(jīng)牢固建立了政府行事采納大多數(shù)人意愿的原則.根據(jù)憲法規(guī)定，幾乎每一個(gè)重要的法案都要通過正式的投票來決定.

教學(xué)案例4 如何表示八年級(jí)一個(gè)教室里學(xué)生鞋子的顏色？在投票表決中，當(dāng)票數(shù)相對(duì)集中時(shí)，如何確定票數(shù)的代表性？眾數(shù)一定是一個(gè)數(shù)字嗎？

設(shè)計(jì)說明 當(dāng)一組數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的集中趨勢時(shí)，宜采用眾數(shù)作為其平均值的代表，而且眾數(shù)還是測量非數(shù)字類型的統(tǒng)計(jì)量.本案例與人教版教材中鞋子銷售問題是不同的，教材中的眾數(shù)指鞋子的尺碼，這里是鞋子的顏色.把眾數(shù)的概念拓展到非數(shù)字類型，雖然超出了教材的要求，但由于非數(shù)字類型數(shù)據(jù)在現(xiàn)實(shí)生活中的普遍存在性，因此，適當(dāng)拓展眾數(shù)的應(yīng)用范圍是必要的，學(xué)生也并不難理解.實(shí)際上，美國Pearson Prentice Hall出版社2008年出版的初中數(shù)學(xué)教材就已經(jīng)指出，sad，glad，glad，mad，sad的眾數(shù)是sad和glad.

教學(xué)實(shí)踐 學(xué)生熱烈討論鞋子顏色問題，有些同學(xué)彎腰去看，有些站起來看，還有些跑到其他組去看，整個(gè)教室熱鬧非凡，課堂氣氛非常活躍.討論結(jié)束后，教師和學(xué)生發(fā)生了一段對(duì)話：

教師：如何描述全班同學(xué)鞋子的顏色？

學(xué)生：鞋子有各種各樣的顏色，例如有紅色、白色、黑色、彩色等.

教師：用哪一個(gè)數(shù)作為鞋子顏色的代表？

學(xué)生：為了反映大多數(shù)同學(xué)鞋子的顏色，應(yīng)該采用眾數(shù)作為代表.

教師：今天我們選舉一個(gè)臨時(shí)的數(shù)學(xué)科代表，當(dāng)選的依據(jù)是什么？

學(xué)生：選票.

教師：如何確定選舉產(chǎn)生的科代表？

學(xué)生：票數(shù)最多的當(dāng)選.

教師：用哪一個(gè)數(shù)表示票數(shù)的多少？

學(xué)生：眾數(shù).

教師：在描述鞋子顏色的問題中，眾數(shù)是什么？

學(xué)生：白色鞋子.

教師：在剛才選舉的例子中，眾數(shù)是什么？

學(xué)生：（思考之后得出）得票最多的同學(xué).

教師：那么，現(xiàn)在我問大家，眾數(shù)一定是一個(gè)數(shù)字嗎？

學(xué)生：不一定.

教學(xué)反思 （1）以歷史故事作為背景引入眾數(shù)，能夠吸引學(xué)生注意力，讓學(xué)生參與到整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中.（2）設(shè)計(jì)學(xué)生最喜歡的電影或鞋子出現(xiàn)最多的顏色，是眾數(shù)的一個(gè)直觀應(yīng)用，這種拓展是有必要的.

2 學(xué)生反饋

2.1 問卷測試

為考察學(xué)生對(duì)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的理解，在本單元教學(xué)前后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了測試，結(jié)果見表1所示.

前測試題：某人花費(fèi)在因特網(wǎng)上的時(shí)間分別為（單位：分）：50，276，57，50，62，53，72，71，63，60，22，用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中的哪一個(gè)數(shù)最能描述他花費(fèi)在因特網(wǎng)上的時(shí)間？說明理由.

后測試題：某人11天看電視的時(shí)間分別為：45，256，52，45，57，48，67，66，58，55，17（單位：分鐘），用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中的哪一個(gè)數(shù)最能描述他看電視的時(shí)間？說明理由.

從表1可以看出，教學(xué)之前，很多學(xué)生認(rèn)為平均數(shù)就是數(shù)據(jù)的典型代表，因此選擇平均數(shù)的人數(shù)最多.教學(xué)之后，選擇中位數(shù)的人數(shù)有了大幅度上升，達(dá)到班級(jí)人數(shù)的一半以上.學(xué)生對(duì)中位數(shù)的學(xué)習(xí)感到困難，主要是他們還沒有形成數(shù)據(jù)呈現(xiàn)偏態(tài)分布的意識(shí).為了解學(xué)生是否真正理解中位數(shù)，對(duì)學(xué)生前后測中選擇中位數(shù)的理由進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)前測中僅有6名學(xué)生給出正確理由，而在后測中卻有32名學(xué)生說理正確.究其原因，筆者推測，這可能與基于數(shù)學(xué)史設(shè)計(jì)的中位數(shù)的教學(xué)案例有關(guān).

2.2 個(gè)別訪談

梁同學(xué)是一個(gè)學(xué)困生，在這個(gè)階段的學(xué)習(xí)中，他積極參與小組討論，主動(dòng)回答問題，有了較大的進(jìn)步.葉同學(xué)是一個(gè)優(yōu)秀學(xué)生，近期表現(xiàn)更為突出，作業(yè)多次受到老師的表揚(yáng).為了解這兩位同學(xué)產(chǎn)生變化的原因，在該單元教學(xué)內(nèi)容結(jié)束之后，研究者對(duì)他們進(jìn)行了訪談.下面是研究者對(duì)梁同學(xué)的訪談片段：

研究者：老師上課的方式與以前有什么不同嗎？

梁同學(xué)：討論比以前多了，一個(gè)人在那里想，只有一種思路，4個(gè)人圍在那里討論，就可以有不同的想法.

研究者：在這些課中，你最喜歡哪一節(jié)課？

梁同學(xué)：眾數(shù)比較好學(xué)，我比較感興趣.這一節(jié)，既講了故事又學(xué)習(xí)了知識(shí).

由于數(shù)學(xué)歷史故事吸引了梁同學(xué)，按照他說的“有興趣就學(xué)會(huì)了”，從而提高了學(xué)習(xí)的積極性.下面是對(duì)葉同學(xué)訪談的一個(gè)片段：

研究者：你認(rèn)為這些歷史知識(shí)有用嗎？有什么用？

葉同學(xué)：有用.這些歷史知識(shí)能夠幫助我們更好地理解這些概念.

研究者：你最感興趣的是哪一個(gè)內(nèi)容？

葉同學(xué)：中位數(shù).

研究者：為什么最喜歡這個(gè)內(nèi)容？

葉同學(xué)：老師用數(shù)形結(jié)合的形式幫助我們判斷中位數(shù)的位置，小于和大于它的數(shù)各占一半（意指判斷質(zhì)點(diǎn)中位數(shù)位置的那個(gè)示意圖）.

從這個(gè)訪談中可以看出，利用數(shù)學(xué)史設(shè)計(jì)的教學(xué)案例加強(qiáng)了葉同學(xué)對(duì)統(tǒng)計(jì)概念的理解，特別是她能用數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)去理解中位數(shù)概念，這是一個(gè)優(yōu)秀學(xué)生難能可貴的思維品質(zhì).

綜上，基于數(shù)學(xué)史的中位數(shù)和眾數(shù)的教學(xué)案例，讓學(xué)生經(jīng)歷了概念的自然發(fā)生過程，加強(qiáng)了對(duì)概念的理解，在教學(xué)實(shí)踐中取得了很好的效果.

參考文獻(xiàn)

[1] 吳駿，黃青云.基于數(shù)學(xué)史的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的理解[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013，52（11）：16-21.〖ZK）〗

[2] Bakker， A. Design Research in Statistics Education—On Symbolizing and Computer Tools[D]. Ph.D. thesis， The Freudenthal Inistitute， Utrecht， 2004. 〖ZK）〗

[3] Bakker， A. & Koeno， P. E. An historical phenomenology of mean and median[J]. Educatioal Studies in Mathematics， 2006， 62（2）：149-168.〖ZK）〗endprint

設(shè)計(jì)說明 歷史故事情節(jié)可以直接用作教學(xué)案例，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在該案例的情境中，很多人去數(shù)城墻磚塊的層數(shù)，也就是對(duì)磚塊重復(fù)計(jì)數(shù)，出現(xiàn)頻率最高的值就是正確的，這時(shí)已經(jīng)使用了眾數(shù)概念.

教學(xué)實(shí)踐 教師神情激昂地講故事，讓學(xué)生仿佛置身于戰(zhàn)爭之中.學(xué)生討論的氛圍非常熱烈，他們認(rèn)為，士兵在數(shù)磚塊層數(shù)時(shí)，有些可能數(shù)錯(cuò)了，但大多數(shù)可能得到一個(gè)真實(shí)的數(shù)目，特別是那些距離城墻不太遠(yuǎn)，能看清城墻的人多次數(shù)的結(jié)果，然后再估計(jì)出一塊磚的厚度，從而計(jì)算出梯子的高度.隨著戰(zhàn)爭故事的結(jié)束和課堂氛圍的降溫，學(xué)生知道了，眾數(shù)就是一群人數(shù)一堵墻的磚塊，所得數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù).

1.4 聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活問題，拓展眾數(shù)應(yīng)用

歷史現(xiàn)象 還有一個(gè)眾數(shù)使用的例子，即關(guān)于選舉的問題.在古希臘和意大利，選舉機(jī)構(gòu)已經(jīng)作為一個(gè)基本形式存在很長的歷史時(shí)期了.在原始的君主統(tǒng)治時(shí)期，往往通過一些喧鬧的聚會(huì)來記錄他們的觀點(diǎn).隨著政治的發(fā)展，這些國家已經(jīng)牢固建立了政府行事采納大多數(shù)人意愿的原則.根據(jù)憲法規(guī)定，幾乎每一個(gè)重要的法案都要通過正式的投票來決定.

教學(xué)案例4 如何表示八年級(jí)一個(gè)教室里學(xué)生鞋子的顏色？在投票表決中，當(dāng)票數(shù)相對(duì)集中時(shí)，如何確定票數(shù)的代表性？眾數(shù)一定是一個(gè)數(shù)字嗎？

設(shè)計(jì)說明 當(dāng)一組數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的集中趨勢時(shí)，宜采用眾數(shù)作為其平均值的代表，而且眾數(shù)還是測量非數(shù)字類型的統(tǒng)計(jì)量.本案例與人教版教材中鞋子銷售問題是不同的，教材中的眾數(shù)指鞋子的尺碼，這里是鞋子的顏色.把眾數(shù)的概念拓展到非數(shù)字類型，雖然超出了教材的要求，但由于非數(shù)字類型數(shù)據(jù)在現(xiàn)實(shí)生活中的普遍存在性，因此，適當(dāng)拓展眾數(shù)的應(yīng)用范圍是必要的，學(xué)生也并不難理解.實(shí)際上，美國Pearson Prentice Hall出版社2008年出版的初中數(shù)學(xué)教材就已經(jīng)指出，sad，glad，glad，mad，sad的眾數(shù)是sad和glad.

教學(xué)實(shí)踐 學(xué)生熱烈討論鞋子顏色問題，有些同學(xué)彎腰去看，有些站起來看，還有些跑到其他組去看，整個(gè)教室熱鬧非凡，課堂氣氛非?；钴S.討論結(jié)束后，教師和學(xué)生發(fā)生了一段對(duì)話：

教師：如何描述全班同學(xué)鞋子的顏色？

學(xué)生：鞋子有各種各樣的顏色，例如有紅色、白色、黑色、彩色等.

教師：用哪一個(gè)數(shù)作為鞋子顏色的代表？

學(xué)生：為了反映大多數(shù)同學(xué)鞋子的顏色，應(yīng)該采用眾數(shù)作為代表.

教師：今天我們選舉一個(gè)臨時(shí)的數(shù)學(xué)科代表，當(dāng)選的依據(jù)是什么？

學(xué)生：選票.

教師：如何確定選舉產(chǎn)生的科代表？

學(xué)生：票數(shù)最多的當(dāng)選.

教師：用哪一個(gè)數(shù)表示票數(shù)的多少？

學(xué)生：眾數(shù).

教師：在描述鞋子顏色的問題中，眾數(shù)是什么？

學(xué)生：白色鞋子.

教師：在剛才選舉的例子中，眾數(shù)是什么？

學(xué)生：（思考之后得出）得票最多的同學(xué).

教師：那么，現(xiàn)在我問大家，眾數(shù)一定是一個(gè)數(shù)字嗎？

學(xué)生：不一定.

教學(xué)反思 （1）以歷史故事作為背景引入眾數(shù)，能夠吸引學(xué)生注意力，讓學(xué)生參與到整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中.（2）設(shè)計(jì)學(xué)生最喜歡的電影或鞋子出現(xiàn)最多的顏色，是眾數(shù)的一個(gè)直觀應(yīng)用，這種拓展是有必要的.

2 學(xué)生反饋

2.1 問卷測試

為考察學(xué)生對(duì)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的理解，在本單元教學(xué)前后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了測試，結(jié)果見表1所示.

前測試題：某人花費(fèi)在因特網(wǎng)上的時(shí)間分別為（單位：分）：50，276，57，50，62，53，72，71，63，60，22，用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中的哪一個(gè)數(shù)最能描述他花費(fèi)在因特網(wǎng)上的時(shí)間？說明理由.

后測試題：某人11天看電視的時(shí)間分別為：45，256，52，45，57，48，67，66，58，55，17（單位：分鐘），用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中的哪一個(gè)數(shù)最能描述他看電視的時(shí)間？說明理由.

從表1可以看出，教學(xué)之前，很多學(xué)生認(rèn)為平均數(shù)就是數(shù)據(jù)的典型代表，因此選擇平均數(shù)的人數(shù)最多.教學(xué)之后，選擇中位數(shù)的人數(shù)有了大幅度上升，達(dá)到班級(jí)人數(shù)的一半以上.學(xué)生對(duì)中位數(shù)的學(xué)習(xí)感到困難，主要是他們還沒有形成數(shù)據(jù)呈現(xiàn)偏態(tài)分布的意識(shí).為了解學(xué)生是否真正理解中位數(shù)，對(duì)學(xué)生前后測中選擇中位數(shù)的理由進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)前測中僅有6名學(xué)生給出正確理由，而在后測中卻有32名學(xué)生說理正確.究其原因，筆者推測，這可能與基于數(shù)學(xué)史設(shè)計(jì)的中位數(shù)的教學(xué)案例有關(guān).

2.2 個(gè)別訪談

梁同學(xué)是一個(gè)學(xué)困生，在這個(gè)階段的學(xué)習(xí)中，他積極參與小組討論，主動(dòng)回答問題，有了較大的進(jìn)步.葉同學(xué)是一個(gè)優(yōu)秀學(xué)生，近期表現(xiàn)更為突出，作業(yè)多次受到老師的表揚(yáng).為了解這兩位同學(xué)產(chǎn)生變化的原因，在該單元教學(xué)內(nèi)容結(jié)束之后，研究者對(duì)他們進(jìn)行了訪談.下面是研究者對(duì)梁同學(xué)的訪談片段：

研究者：老師上課的方式與以前有什么不同嗎？

梁同學(xué)：討論比以前多了，一個(gè)人在那里想，只有一種思路，4個(gè)人圍在那里討論，就可以有不同的想法.

研究者：在這些課中，你最喜歡哪一節(jié)課？

梁同學(xué)：眾數(shù)比較好學(xué)，我比較感興趣.這一節(jié)，既講了故事又學(xué)習(xí)了知識(shí).

由于數(shù)學(xué)歷史故事吸引了梁同學(xué)，按照他說的“有興趣就學(xué)會(huì)了”，從而提高了學(xué)習(xí)的積極性.下面是對(duì)葉同學(xué)訪談的一個(gè)片段：

研究者：你認(rèn)為這些歷史知識(shí)有用嗎？有什么用？

葉同學(xué)：有用.這些歷史知識(shí)能夠幫助我們更好地理解這些概念.

研究者：你最感興趣的是哪一個(gè)內(nèi)容？

葉同學(xué)：中位數(shù).

研究者：為什么最喜歡這個(gè)內(nèi)容？

葉同學(xué)：老師用數(shù)形結(jié)合的形式幫助我們判斷中位數(shù)的位置，小于和大于它的數(shù)各占一半（意指判斷質(zhì)點(diǎn)中位數(shù)位置的那個(gè)示意圖）.

從這個(gè)訪談中可以看出，利用數(shù)學(xué)史設(shè)計(jì)的教學(xué)案例加強(qiáng)了葉同學(xué)對(duì)統(tǒng)計(jì)概念的理解，特別是她能用數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)去理解中位數(shù)概念，這是一個(gè)優(yōu)秀學(xué)生難能可貴的思維品質(zhì).

綜上，基于數(shù)學(xué)史的中位數(shù)和眾數(shù)的教學(xué)案例，讓學(xué)生經(jīng)歷了概念的自然發(fā)生過程，加強(qiáng)了對(duì)概念的理解，在教學(xué)實(shí)踐中取得了很好的效果.

參考文獻(xiàn)

[1] 吳駿，黃青云.基于數(shù)學(xué)史的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的理解[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013，52（11）：16-21.〖ZK）〗

[2] Bakker， A. Design Research in Statistics Education—On Symbolizing and Computer Tools[D]. Ph.D. thesis， The Freudenthal Inistitute， Utrecht， 2004. 〖ZK）〗

[3] Bakker， A. & Koeno， P. E. An historical phenomenology of mean and median[J]. Educatioal Studies in Mathematics， 2006， 62（2）：149-168.〖ZK）〗endprint

設(shè)計(jì)說明 歷史故事情節(jié)可以直接用作教學(xué)案例，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在該案例的情境中，很多人去數(shù)城墻磚塊的層數(shù)，也就是對(duì)磚塊重復(fù)計(jì)數(shù)，出現(xiàn)頻率最高的值就是正確的，這時(shí)已經(jīng)使用了眾數(shù)概念.

教學(xué)實(shí)踐 教師神情激昂地講故事，讓學(xué)生仿佛置身于戰(zhàn)爭之中.學(xué)生討論的氛圍非常熱烈，他們認(rèn)為，士兵在數(shù)磚塊層數(shù)時(shí)，有些可能數(shù)錯(cuò)了，但大多數(shù)可能得到一個(gè)真實(shí)的數(shù)目，特別是那些距離城墻不太遠(yuǎn)，能看清城墻的人多次數(shù)的結(jié)果，然后再估計(jì)出一塊磚的厚度，從而計(jì)算出梯子的高度.隨著戰(zhàn)爭故事的結(jié)束和課堂氛圍的降溫，學(xué)生知道了，眾數(shù)就是一群人數(shù)一堵墻的磚塊，所得數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù).

1.4 聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活問題，拓展眾數(shù)應(yīng)用

歷史現(xiàn)象 還有一個(gè)眾數(shù)使用的例子，即關(guān)于選舉的問題.在古希臘和意大利，選舉機(jī)構(gòu)已經(jīng)作為一個(gè)基本形式存在很長的歷史時(shí)期了.在原始的君主統(tǒng)治時(shí)期，往往通過一些喧鬧的聚會(huì)來記錄他們的觀點(diǎn).隨著政治的發(fā)展，這些國家已經(jīng)牢固建立了政府行事采納大多數(shù)人意愿的原則.根據(jù)憲法規(guī)定，幾乎每一個(gè)重要的法案都要通過正式的投票來決定.

教學(xué)案例4 如何表示八年級(jí)一個(gè)教室里學(xué)生鞋子的顏色？在投票表決中，當(dāng)票數(shù)相對(duì)集中時(shí)，如何確定票數(shù)的代表性？眾數(shù)一定是一個(gè)數(shù)字嗎？

設(shè)計(jì)說明 當(dāng)一組數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的集中趨勢時(shí)，宜采用眾數(shù)作為其平均值的代表，而且眾數(shù)還是測量非數(shù)字類型的統(tǒng)計(jì)量.本案例與人教版教材中鞋子銷售問題是不同的，教材中的眾數(shù)指鞋子的尺碼，這里是鞋子的顏色.把眾數(shù)的概念拓展到非數(shù)字類型，雖然超出了教材的要求，但由于非數(shù)字類型數(shù)據(jù)在現(xiàn)實(shí)生活中的普遍存在性，因此，適當(dāng)拓展眾數(shù)的應(yīng)用范圍是必要的，學(xué)生也并不難理解.實(shí)際上，美國Pearson Prentice Hall出版社2008年出版的初中數(shù)學(xué)教材就已經(jīng)指出，sad，glad，glad，mad，sad的眾數(shù)是sad和glad.

教學(xué)實(shí)踐 學(xué)生熱烈討論鞋子顏色問題，有些同學(xué)彎腰去看，有些站起來看，還有些跑到其他組去看，整個(gè)教室熱鬧非凡，課堂氣氛非常活躍.討論結(jié)束后，教師和學(xué)生發(fā)生了一段對(duì)話：

教師：如何描述全班同學(xué)鞋子的顏色？

學(xué)生：鞋子有各種各樣的顏色，例如有紅色、白色、黑色、彩色等.

教師：用哪一個(gè)數(shù)作為鞋子顏色的代表？

學(xué)生：為了反映大多數(shù)同學(xué)鞋子的顏色，應(yīng)該采用眾數(shù)作為代表.

教師：今天我們選舉一個(gè)臨時(shí)的數(shù)學(xué)科代表，當(dāng)選的依據(jù)是什么？

學(xué)生：選票.

教師：如何確定選舉產(chǎn)生的科代表？

學(xué)生：票數(shù)最多的當(dāng)選.

教師：用哪一個(gè)數(shù)表示票數(shù)的多少？

學(xué)生：眾數(shù).

教師：在描述鞋子顏色的問題中，眾數(shù)是什么？

學(xué)生：白色鞋子.

教師：在剛才選舉的例子中，眾數(shù)是什么？

學(xué)生：（思考之后得出）得票最多的同學(xué).

教師：那么，現(xiàn)在我問大家，眾數(shù)一定是一個(gè)數(shù)字嗎？

學(xué)生：不一定.

教學(xué)反思 （1）以歷史故事作為背景引入眾數(shù)，能夠吸引學(xué)生注意力，讓學(xué)生參與到整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中.（2）設(shè)計(jì)學(xué)生最喜歡的電影或鞋子出現(xiàn)最多的顏色，是眾數(shù)的一個(gè)直觀應(yīng)用，這種拓展是有必要的.

2 學(xué)生反饋

2.1 問卷測試

為考察學(xué)生對(duì)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的理解，在本單元教學(xué)前后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了測試，結(jié)果見表1所示.

前測試題：某人花費(fèi)在因特網(wǎng)上的時(shí)間分別為（單位：分）：50，276，57，50，62，53，72，71，63，60，22，用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中的哪一個(gè)數(shù)最能描述他花費(fèi)在因特網(wǎng)上的時(shí)間？說明理由.

后測試題：某人11天看電視的時(shí)間分別為：45，256，52，45，57，48，67，66，58，55，17（單位：分鐘），用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中的哪一個(gè)數(shù)最能描述他看電視的時(shí)間？說明理由.

從表1可以看出，教學(xué)之前，很多學(xué)生認(rèn)為平均數(shù)就是數(shù)據(jù)的典型代表，因此選擇平均數(shù)的人數(shù)最多.教學(xué)之后，選擇中位數(shù)的人數(shù)有了大幅度上升，達(dá)到班級(jí)人數(shù)的一半以上.學(xué)生對(duì)中位數(shù)的學(xué)習(xí)感到困難，主要是他們還沒有形成數(shù)據(jù)呈現(xiàn)偏態(tài)分布的意識(shí).為了解學(xué)生是否真正理解中位數(shù)，對(duì)學(xué)生前后測中選擇中位數(shù)的理由進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)前測中僅有6名學(xué)生給出正確理由，而在后測中卻有32名學(xué)生說理正確.究其原因，筆者推測，這可能與基于數(shù)學(xué)史設(shè)計(jì)的中位數(shù)的教學(xué)案例有關(guān).

2.2 個(gè)別訪談

梁同學(xué)是一個(gè)學(xué)困生，在這個(gè)階段的學(xué)習(xí)中，他積極參與小組討論，主動(dòng)回答問題，有了較大的進(jìn)步.葉同學(xué)是一個(gè)優(yōu)秀學(xué)生，近期表現(xiàn)更為突出，作業(yè)多次受到老師的表揚(yáng).為了解這兩位同學(xué)產(chǎn)生變化的原因，在該單元教學(xué)內(nèi)容結(jié)束之后，研究者對(duì)他們進(jìn)行了訪談.下面是研究者對(duì)梁同學(xué)的訪談片段：

研究者：老師上課的方式與以前有什么不同嗎？

梁同學(xué)：討論比以前多了，一個(gè)人在那里想，只有一種思路，4個(gè)人圍在那里討論，就可以有不同的想法.

研究者：在這些課中，你最喜歡哪一節(jié)課？

梁同學(xué)：眾數(shù)比較好學(xué)，我比較感興趣.這一節(jié)，既講了故事又學(xué)習(xí)了知識(shí).

由于數(shù)學(xué)歷史故事吸引了梁同學(xué)，按照他說的“有興趣就學(xué)會(huì)了”，從而提高了學(xué)習(xí)的積極性.下面是對(duì)葉同學(xué)訪談的一個(gè)片段：

研究者：你認(rèn)為這些歷史知識(shí)有用嗎？有什么用？

葉同學(xué)：有用.這些歷史知識(shí)能夠幫助我們更好地理解這些概念.

研究者：你最感興趣的是哪一個(gè)內(nèi)容？

葉同學(xué)：中位數(shù).

研究者：為什么最喜歡這個(gè)內(nèi)容？

葉同學(xué)：老師用數(shù)形結(jié)合的形式幫助我們判斷中位數(shù)的位置，小于和大于它的數(shù)各占一半（意指判斷質(zhì)點(diǎn)中位數(shù)位置的那個(gè)示意圖）.

從這個(gè)訪談中可以看出，利用數(shù)學(xué)史設(shè)計(jì)的教學(xué)案例加強(qiáng)了葉同學(xué)對(duì)統(tǒng)計(jì)概念的理解，特別是她能用數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)去理解中位數(shù)概念，這是一個(gè)優(yōu)秀學(xué)生難能可貴的思維品質(zhì).

綜上，基于數(shù)學(xué)史的中位數(shù)和眾數(shù)的教學(xué)案例，讓學(xué)生經(jīng)歷了概念的自然發(fā)生過程，加強(qiáng)了對(duì)概念的理解，在教學(xué)實(shí)踐中取得了很好的效果.

參考文獻(xiàn)

[1] 吳駿，黃青云.基于數(shù)學(xué)史的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的理解[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013，52（11）：16-21.〖ZK）〗

[2] Bakker， A. Design Research in Statistics Education—On Symbolizing and Computer Tools[D]. Ph.D. thesis， The Freudenthal Inistitute， Utrecht， 2004. 〖ZK）〗

[3] Bakker， A. & Koeno， P. E. An historical phenomenology of mean and median[J]. Educatioal Studies in Mathematics， 2006， 62（2）：149-168.〖ZK）〗endprint