一元三次、四次方程根的行列式解法

吳佐慧，廖軍，徐行忠，劉合國

（1.湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢430062；2.柳州高級(jí)中學(xué)，廣西 柳州545006）

本文中采用的術(shù)語和符號(hào)是標(biāo)準(zhǔn)的，按照文獻(xiàn)［1－2］.

早期人們認(rèn)為一切自然問題都可最后歸于數(shù)學(xué)問題，而數(shù)學(xué)問題又都可以歸于代數(shù)方程.盡管現(xiàn)在代數(shù)學(xué)研究的課題是研究各種代數(shù)的結(jié)構(gòu)，但求一元高次方程的根在許多實(shí)際問題中還是經(jīng)常碰到的.然而現(xiàn)在中學(xué)教學(xué)大綱里對(duì)這部分的內(nèi)容可以說基本上沒有，而在大學(xué)里也不講，這是令人費(fèi)解的.

四次和四次以下的一元整式方程都有一般的解法，有各自的求根公式，可見參考文獻(xiàn)［1－3］.在文獻(xiàn)［1］中，作者給出了三次方程的代數(shù)解法，即卡當(dāng)公式.文獻(xiàn)［2－3］中給出了三次方程的三角解法.本文中應(yīng)用行列式給出三次、四次方程的兩種解法.其過程是非常自然的，也是容易理解接受的.

令三次方程的一般形狀是f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d＝0（其中b，c，d是常數(shù)）.

設(shè)x＝y(tǒng)＋h（其中h是待定的常數(shù)）代入f（x）中得到

接下來我們將給出三次方程x3＋3ux＋v＝0（其中u，v是常數(shù)）的根的求法.

其中ω是三次單位根ω3＝1，兩邊都取行列式可得

則方程x3－3bcx＋b3＋c3＝0的三根為

所以要求三次方程的根只用確定b，c的值即可.

對(duì)于三次方程x3＋3ux＋v＝0（其中u，v是常數(shù)）而言，通過比較系數(shù)可知?jiǎng)t，則原方程的3個(gè)根分別為

方法一是通過三階循環(huán)行列式與三次方程根之間的關(guān)系來求解的，接下來我們將構(gòu)造一個(gè)特殊的二次方程，進(jìn)而求出原三次方程的根.

情形1 當(dāng)u＝0時(shí)，則原方程x3＋3ux＋v＝0即為x3＝－v，所以方程的根為

其中ω是三次單位根ω3＝1.

情形2 當(dāng)u≠0時(shí)，令（2）式的Δ＝v2＋4u3.

若Δ＝v2＋4u3＝0，則原方程x3＋3ux＋v＝0可分解為，所以原方程x3＋3ux＋v＝0的根為

若Δ＝v2＋4u3≠0，設(shè)（2）式的兩不等實(shí)根為y1與y2，且滿足y2，v＝－y1·y2（y1＋y2），所以原三次方程x3＋3ux＋v＝0為

變形可得

所以原三次方程x3＋3ux＋v＝0的根為

下面將應(yīng)用行列式的方法繼續(xù)給出四次方程的求根公式.

令四次方程的一般形狀是f（x）＝x4＋bx3＋cx2＋dx＋f＝0（其中b，c，d，f是常數(shù)）.

設(shè)x＝y(tǒng)＋h（其中h是待定的常數(shù)）代入f（x）中得到

φ（y）＝f（y＋h）＝y(tǒng)4＋（4h＋b）y3＋（6h2＋3bh＋c）y2＋（4h3＋3bh2＋2ch＋d）y＋f（h）＝0 （3）選取，則（3）式可化簡(jiǎn)為φ（y）＝y(tǒng)4＋uy2＋vy＋t的形式，故不失一般性，可令四次方程的一般形狀是 x4＋ux2＋vx＋t＝0（其中u，v，t是常數(shù)）.

接下來將給出四次方程x4＋ux2＋vx＋t＝0（其中u，v是常數(shù)）的根的求法.

解

其中ω是四次單位根ω4＝1，即：ω＝－i.兩邊都取行列式可得

則方程x4－（2c2＋4bd）x2＋4c（b2＋d2）x＋（c4－b4－d4－4bdc2＋2b2d2）＝0的4個(gè)根為

所以要求四次方程的根只用確定b，c，d的值即可（此時(shí)假設(shè)c≠0，若c＝0則可轉(zhuǎn)化成二次方程求解）.

對(duì)于四次方程x4＋ux2＋vx＋t＝0（其中u，v是常數(shù)）而言，通過比較系數(shù)可得

（4）式是關(guān)于c2的三次方程，用本文中前半部分的方法，進(jìn)而可得其解c0，于是

低階行列式有著令人嘆為觀止的應(yīng)用，譬如：線性方程組、多元一次方程組的解、數(shù)列問題、因式分解、解析幾何、立體幾何等.與數(shù)學(xué)中那些精妙的思路相比，筆者更偏愛那些能由基礎(chǔ)知識(shí)與技能構(gòu)造出來的解法：自然、簡(jiǎn)潔.

1900年Hilbert D在巴黎國際數(shù)學(xué)家代表大會(huì)上作了題為《數(shù)學(xué)問題》的著名演講，他在結(jié)尾處指出：“數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)展都與更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著，這些工具和方法同時(shí)會(huì)有助于理解已有的理論并把陳舊的、復(fù)雜的東西拋在一邊.數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的這種特點(diǎn)是根深蒂固的.”這種真知灼見警醒著每個(gè)數(shù)學(xué)教育工作者.

［1］張遠(yuǎn)達(dá).淺談高次方程［M］.武漢：湖北教育出版社，1983.

［2］迪克森.初級(jí)方程式論［M］.黃新鐸，譯.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011.

［3］世界著名三角學(xué)經(jīng)典著作鉤沉編寫組.世界著名三角學(xué)經(jīng)典著作鉤沉：平面三角卷（Ⅱ）［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2010.

［4］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)［M］.3版.北京：高等教育出版社，2003.