多變量邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)方法

高青　趙文藝

摘要：數(shù)字電路中的邏輯函數(shù)卡諾圖化簡(jiǎn)是一種簡(jiǎn)單、直觀的方法，常用于四變量化簡(jiǎn)。該文分析了多變量邏輯函數(shù)的卡諾圖法化簡(jiǎn)，使卡諾圖化簡(jiǎn)法得到了更廣泛的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：多變量邏輯函數(shù)；卡諾圖；降維；化簡(jiǎn)；對(duì)折；分幅

中圖分類號(hào)：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2014）11-2622-05

在數(shù)字邏輯電路中，邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)是進(jìn)行數(shù)字電路分析與設(shè)計(jì)的重要環(huán)節(jié)。邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)一般有兩種方法：一種是代數(shù)法，此方法有其局限性，它不僅要求熟記公式，還要有一定的化簡(jiǎn)技巧，其最大弊端在于不易判斷化簡(jiǎn)結(jié)果是否為最簡(jiǎn)。另一種是卡諾圖法。用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)是一種既簡(jiǎn)單，又直觀的方法。它可以直接寫出最簡(jiǎn)邏輯函數(shù)，避免了繁瑣的邏輯代數(shù)運(yùn)算。

常見教材卡諾圖化簡(jiǎn)只介紹到四個(gè)變量，當(dāng)變量增加到五個(gè)及五個(gè)以上時(shí)，卡諾圖的方格數(shù)目增多、輸入變量取值之間的相鄰關(guān)系變得復(fù)雜，使得作圖和填寫都十分繁瑣，這在一定程度上削弱了卡諾圖的優(yōu)勢(shì)。因此，采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ幂^少變量的卡諾圖表示多變量邏輯函數(shù)，使多變量邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)變得簡(jiǎn)單，有助于數(shù)字邏輯電路的分析與設(shè)計(jì)。

1 卡諾圖的特點(diǎn)

卡諾圖是將函數(shù)的最小項(xiàng)用方格來表示的一種邏輯函數(shù)表示方法。一個(gè)方格對(duì)應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)，為保證幾何位置相鄰的兩個(gè)小方塊的變量取值有一個(gè)是相反的，行列變量的取值必須按格雷碼規(guī)律排列。由于格雷碼任意相鄰的兩項(xiàng)之間，其變量取值只有一個(gè)是互補(bǔ)的，其余變量的取值完全相同。按此規(guī)律畫出的卡諾圖中，任意兩個(gè)相鄰方格的變量取值中只有一個(gè)變量取值是互補(bǔ)的，根據(jù)[AB+AB=A]，可消去互補(bǔ)變量，使兩個(gè)相鄰的方格合并為一項(xiàng)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。

2 卡諾圖化簡(jiǎn)多變量邏輯函數(shù)

對(duì)含有五個(gè)及五個(gè)以上變量的卡諾圖化簡(jiǎn)可有以下方法。

2.1 降維卡諾圖法化簡(jiǎn)多變量邏輯函數(shù)

卡諾圖中的每個(gè)方格是邏輯函數(shù)的一個(gè)最小項(xiàng)，這種全變量卡諾圖，用于四個(gè)及四個(gè)以下變量的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)較方便。由于函數(shù)中的變量數(shù)量決定卡諾圖的方格數(shù)，對(duì)于多變量函數(shù)而言，若卡諾圖的變量數(shù)少于其函數(shù)的變量數(shù)，卡諾圖的方格數(shù)就會(huì)減少，有利于進(jìn)行卡諾圖化簡(jiǎn)，這種減少了變量數(shù)的降維卡諾圖，其圖中的每個(gè)方格是一個(gè)部分化簡(jiǎn)的積項(xiàng)。

1）降維卡諾圖的填法

降維卡諾圖的填法是以四變量卡諾圖為基礎(chǔ)，當(dāng)給定邏輯函數(shù)為五個(gè)及五個(gè)以上變量時(shí)，可以轉(zhuǎn)換填成四變量以下的降維卡諾圖（維數(shù)即變量數(shù)）。

首先根據(jù)給定函數(shù)確定降維卡諾圖的變量，或者說要確定哪個(gè)是要去掉的變量（降維變量）。一般來講，選擇給定函數(shù)式中各“與”項(xiàng)里出現(xiàn)次數(shù)較多的變量作為降維卡諾圖的變量，出現(xiàn)次數(shù)較少的變量作為要去掉的變量即降維變量，由于降維變量出現(xiàn)次數(shù)少，降維卡諾圖方格中的降維變量或降維變量的“與”項(xiàng)組合少，降維卡諾圖就比較簡(jiǎn)單。若給定函數(shù)式中各“與”項(xiàng)中變量出現(xiàn)次數(shù)相同均較少，可畫出幾組不同降維變量的降維卡諾圖進(jìn)行比較后確定。

因此，降維卡諾圖的化簡(jiǎn)除與卡諾圖化簡(jiǎn)相同步驟外

1）根據(jù)原始邏輯函數(shù)進(jìn)行分幅，填寫分幅后的卡諾圖。

2）化簡(jiǎn)分幅卡諾圖，按分幅的互補(bǔ)變量將卡諾圖重疊，完全重合的消去互補(bǔ)變量，不重合的保留。

3）將多次重疊后的結(jié)果寫出最簡(jiǎn)邏輯表達(dá)式。

3 結(jié)束語

綜上所述，多變量邏輯函數(shù)卡諾圖化簡(jiǎn)的方法很多，其本質(zhì)都是利用卡諾圖中邏輯變量取值具有相鄰性的特點(diǎn)，使卡諾圖的面積減小，消去互補(bǔ)變量，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。比較上述幾種多變量邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)方法，對(duì)折法和分幅法雖然簡(jiǎn)單，但畫圖量較大。降維法選擇降維變量后，只需畫降維卡諾圖即可，卡諾圖簡(jiǎn)單，且降維變量選擇靈活。無論哪種方法，都有其規(guī)律，只要對(duì)各種方法理解透徹，在數(shù)字邏輯電路的分析與設(shè)計(jì)中，不管多變量邏輯函數(shù)以何種形式出現(xiàn)，都可以比較方便地對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，最終達(dá)到簡(jiǎn)化電路的目的。

參考文獻(xiàn)：

[1] 安德寧.數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)[M].北京：人民郵電出版社，2004.

[2] 閻石.數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3] 萬學(xué)斌.淺析卡諾圖的降維[J].湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2003.endprint

摘要：數(shù)字電路中的邏輯函數(shù)卡諾圖化簡(jiǎn)是一種簡(jiǎn)單、直觀的方法，常用于四變量化簡(jiǎn)。該文分析了多變量邏輯函數(shù)的卡諾圖法化簡(jiǎn)，使卡諾圖化簡(jiǎn)法得到了更廣泛的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：多變量邏輯函數(shù)；卡諾圖；降維；化簡(jiǎn)；對(duì)折；分幅

中圖分類號(hào)：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2014）11-2622-05

在數(shù)字邏輯電路中，邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)是進(jìn)行數(shù)字電路分析與設(shè)計(jì)的重要環(huán)節(jié)。邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)一般有兩種方法：一種是代數(shù)法，此方法有其局限性，它不僅要求熟記公式，還要有一定的化簡(jiǎn)技巧，其最大弊端在于不易判斷化簡(jiǎn)結(jié)果是否為最簡(jiǎn)。另一種是卡諾圖法。用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)是一種既簡(jiǎn)單，又直觀的方法。它可以直接寫出最簡(jiǎn)邏輯函數(shù)，避免了繁瑣的邏輯代數(shù)運(yùn)算。

常見教材卡諾圖化簡(jiǎn)只介紹到四個(gè)變量，當(dāng)變量增加到五個(gè)及五個(gè)以上時(shí)，卡諾圖的方格數(shù)目增多、輸入變量取值之間的相鄰關(guān)系變得復(fù)雜，使得作圖和填寫都十分繁瑣，這在一定程度上削弱了卡諾圖的優(yōu)勢(shì)。因此，采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ幂^少變量的卡諾圖表示多變量邏輯函數(shù)，使多變量邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)變得簡(jiǎn)單，有助于數(shù)字邏輯電路的分析與設(shè)計(jì)。

1 卡諾圖的特點(diǎn)

卡諾圖是將函數(shù)的最小項(xiàng)用方格來表示的一種邏輯函數(shù)表示方法。一個(gè)方格對(duì)應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)，為保證幾何位置相鄰的兩個(gè)小方塊的變量取值有一個(gè)是相反的，行列變量的取值必須按格雷碼規(guī)律排列。由于格雷碼任意相鄰的兩項(xiàng)之間，其變量取值只有一個(gè)是互補(bǔ)的，其余變量的取值完全相同。按此規(guī)律畫出的卡諾圖中，任意兩個(gè)相鄰方格的變量取值中只有一個(gè)變量取值是互補(bǔ)的，根據(jù)[AB+AB=A]，可消去互補(bǔ)變量，使兩個(gè)相鄰的方格合并為一項(xiàng)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。

2 卡諾圖化簡(jiǎn)多變量邏輯函數(shù)

對(duì)含有五個(gè)及五個(gè)以上變量的卡諾圖化簡(jiǎn)可有以下方法。

2.1 降維卡諾圖法化簡(jiǎn)多變量邏輯函數(shù)

卡諾圖中的每個(gè)方格是邏輯函數(shù)的一個(gè)最小項(xiàng)，這種全變量卡諾圖，用于四個(gè)及四個(gè)以下變量的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)較方便。由于函數(shù)中的變量數(shù)量決定卡諾圖的方格數(shù)，對(duì)于多變量函數(shù)而言，若卡諾圖的變量數(shù)少于其函數(shù)的變量數(shù)，卡諾圖的方格數(shù)就會(huì)減少，有利于進(jìn)行卡諾圖化簡(jiǎn)，這種減少了變量數(shù)的降維卡諾圖，其圖中的每個(gè)方格是一個(gè)部分化簡(jiǎn)的積項(xiàng)。

1）降維卡諾圖的填法

降維卡諾圖的填法是以四變量卡諾圖為基礎(chǔ)，當(dāng)給定邏輯函數(shù)為五個(gè)及五個(gè)以上變量時(shí)，可以轉(zhuǎn)換填成四變量以下的降維卡諾圖（維數(shù)即變量數(shù)）。

首先根據(jù)給定函數(shù)確定降維卡諾圖的變量，或者說要確定哪個(gè)是要去掉的變量（降維變量）。一般來講，選擇給定函數(shù)式中各“與”項(xiàng)里出現(xiàn)次數(shù)較多的變量作為降維卡諾圖的變量，出現(xiàn)次數(shù)較少的變量作為要去掉的變量即降維變量，由于降維變量出現(xiàn)次數(shù)少，降維卡諾圖方格中的降維變量或降維變量的“與”項(xiàng)組合少，降維卡諾圖就比較簡(jiǎn)單。若給定函數(shù)式中各“與”項(xiàng)中變量出現(xiàn)次數(shù)相同均較少，可畫出幾組不同降維變量的降維卡諾圖進(jìn)行比較后確定。

因此，降維卡諾圖的化簡(jiǎn)除與卡諾圖化簡(jiǎn)相同步驟外

1）根據(jù)原始邏輯函數(shù)進(jìn)行分幅，填寫分幅后的卡諾圖。

2）化簡(jiǎn)分幅卡諾圖，按分幅的互補(bǔ)變量將卡諾圖重疊，完全重合的消去互補(bǔ)變量，不重合的保留。

3）將多次重疊后的結(jié)果寫出最簡(jiǎn)邏輯表達(dá)式。

3 結(jié)束語

綜上所述，多變量邏輯函數(shù)卡諾圖化簡(jiǎn)的方法很多，其本質(zhì)都是利用卡諾圖中邏輯變量取值具有相鄰性的特點(diǎn)，使卡諾圖的面積減小，消去互補(bǔ)變量，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。比較上述幾種多變量邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)方法，對(duì)折法和分幅法雖然簡(jiǎn)單，但畫圖量較大。降維法選擇降維變量后，只需畫降維卡諾圖即可，卡諾圖簡(jiǎn)單，且降維變量選擇靈活。無論哪種方法，都有其規(guī)律，只要對(duì)各種方法理解透徹，在數(shù)字邏輯電路的分析與設(shè)計(jì)中，不管多變量邏輯函數(shù)以何種形式出現(xiàn)，都可以比較方便地對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，最終達(dá)到簡(jiǎn)化電路的目的。

參考文獻(xiàn)：

[1] 安德寧.數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)[M].北京：人民郵電出版社，2004.

[2] 閻石.數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3] 萬學(xué)斌.淺析卡諾圖的降維[J].湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2003.endprint

摘要：數(shù)字電路中的邏輯函數(shù)卡諾圖化簡(jiǎn)是一種簡(jiǎn)單、直觀的方法，常用于四變量化簡(jiǎn)。該文分析了多變量邏輯函數(shù)的卡諾圖法化簡(jiǎn)，使卡諾圖化簡(jiǎn)法得到了更廣泛的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：多變量邏輯函數(shù)；卡諾圖；降維；化簡(jiǎn)；對(duì)折；分幅

中圖分類號(hào)：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2014）11-2622-05

在數(shù)字邏輯電路中，邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)是進(jìn)行數(shù)字電路分析與設(shè)計(jì)的重要環(huán)節(jié)。邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)一般有兩種方法：一種是代數(shù)法，此方法有其局限性，它不僅要求熟記公式，還要有一定的化簡(jiǎn)技巧，其最大弊端在于不易判斷化簡(jiǎn)結(jié)果是否為最簡(jiǎn)。另一種是卡諾圖法。用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)是一種既簡(jiǎn)單，又直觀的方法。它可以直接寫出最簡(jiǎn)邏輯函數(shù)，避免了繁瑣的邏輯代數(shù)運(yùn)算。

常見教材卡諾圖化簡(jiǎn)只介紹到四個(gè)變量，當(dāng)變量增加到五個(gè)及五個(gè)以上時(shí)，卡諾圖的方格數(shù)目增多、輸入變量取值之間的相鄰關(guān)系變得復(fù)雜，使得作圖和填寫都十分繁瑣，這在一定程度上削弱了卡諾圖的優(yōu)勢(shì)。因此，采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ幂^少變量的卡諾圖表示多變量邏輯函數(shù)，使多變量邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)變得簡(jiǎn)單，有助于數(shù)字邏輯電路的分析與設(shè)計(jì)。

1 卡諾圖的特點(diǎn)

卡諾圖是將函數(shù)的最小項(xiàng)用方格來表示的一種邏輯函數(shù)表示方法。一個(gè)方格對(duì)應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)，為保證幾何位置相鄰的兩個(gè)小方塊的變量取值有一個(gè)是相反的，行列變量的取值必須按格雷碼規(guī)律排列。由于格雷碼任意相鄰的兩項(xiàng)之間，其變量取值只有一個(gè)是互補(bǔ)的，其余變量的取值完全相同。按此規(guī)律畫出的卡諾圖中，任意兩個(gè)相鄰方格的變量取值中只有一個(gè)變量取值是互補(bǔ)的，根據(jù)[AB+AB=A]，可消去互補(bǔ)變量，使兩個(gè)相鄰的方格合并為一項(xiàng)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。

2 卡諾圖化簡(jiǎn)多變量邏輯函數(shù)

對(duì)含有五個(gè)及五個(gè)以上變量的卡諾圖化簡(jiǎn)可有以下方法。

2.1 降維卡諾圖法化簡(jiǎn)多變量邏輯函數(shù)

卡諾圖中的每個(gè)方格是邏輯函數(shù)的一個(gè)最小項(xiàng)，這種全變量卡諾圖，用于四個(gè)及四個(gè)以下變量的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)較方便。由于函數(shù)中的變量數(shù)量決定卡諾圖的方格數(shù)，對(duì)于多變量函數(shù)而言，若卡諾圖的變量數(shù)少于其函數(shù)的變量數(shù)，卡諾圖的方格數(shù)就會(huì)減少，有利于進(jìn)行卡諾圖化簡(jiǎn)，這種減少了變量數(shù)的降維卡諾圖，其圖中的每個(gè)方格是一個(gè)部分化簡(jiǎn)的積項(xiàng)。

1）降維卡諾圖的填法

降維卡諾圖的填法是以四變量卡諾圖為基礎(chǔ)，當(dāng)給定邏輯函數(shù)為五個(gè)及五個(gè)以上變量時(shí)，可以轉(zhuǎn)換填成四變量以下的降維卡諾圖（維數(shù)即變量數(shù)）。

首先根據(jù)給定函數(shù)確定降維卡諾圖的變量，或者說要確定哪個(gè)是要去掉的變量（降維變量）。一般來講，選擇給定函數(shù)式中各“與”項(xiàng)里出現(xiàn)次數(shù)較多的變量作為降維卡諾圖的變量，出現(xiàn)次數(shù)較少的變量作為要去掉的變量即降維變量，由于降維變量出現(xiàn)次數(shù)少，降維卡諾圖方格中的降維變量或降維變量的“與”項(xiàng)組合少，降維卡諾圖就比較簡(jiǎn)單。若給定函數(shù)式中各“與”項(xiàng)中變量出現(xiàn)次數(shù)相同均較少，可畫出幾組不同降維變量的降維卡諾圖進(jìn)行比較后確定。

因此，降維卡諾圖的化簡(jiǎn)除與卡諾圖化簡(jiǎn)相同步驟外

1）根據(jù)原始邏輯函數(shù)進(jìn)行分幅，填寫分幅后的卡諾圖。

2）化簡(jiǎn)分幅卡諾圖，按分幅的互補(bǔ)變量將卡諾圖重疊，完全重合的消去互補(bǔ)變量，不重合的保留。

3）將多次重疊后的結(jié)果寫出最簡(jiǎn)邏輯表達(dá)式。

3 結(jié)束語

綜上所述，多變量邏輯函數(shù)卡諾圖化簡(jiǎn)的方法很多，其本質(zhì)都是利用卡諾圖中邏輯變量取值具有相鄰性的特點(diǎn)，使卡諾圖的面積減小，消去互補(bǔ)變量，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。比較上述幾種多變量邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)方法，對(duì)折法和分幅法雖然簡(jiǎn)單，但畫圖量較大。降維法選擇降維變量后，只需畫降維卡諾圖即可，卡諾圖簡(jiǎn)單，且降維變量選擇靈活。無論哪種方法，都有其規(guī)律，只要對(duì)各種方法理解透徹，在數(shù)字邏輯電路的分析與設(shè)計(jì)中，不管多變量邏輯函數(shù)以何種形式出現(xiàn)，都可以比較方便地對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，最終達(dá)到簡(jiǎn)化電路的目的。

參考文獻(xiàn)：

[1] 安德寧.數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)[M].北京：人民郵電出版社，2004.

[2] 閻石.數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3] 萬學(xué)斌.淺析卡諾圖的降維[J].湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2003.endprint