基于損傷演化的裂紋擴(kuò)展壽命簡(jiǎn)化計(jì)算方法

陳沙古，黃進(jìn)浩，萬正權(quán)，卞如岡

基于損傷演化的裂紋擴(kuò)展壽命簡(jiǎn)化計(jì)算方法

陳沙古，黃進(jìn)浩，萬正權(quán)，卞如岡

（中國(guó)船舶科學(xué)研究中心，江蘇無錫214082）

文章結(jié)合低周疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)，在能量損傷理論、損傷度彈性模量度量法，以及簡(jiǎn)化的橢圓形裂紋形狀擴(kuò)展模型的基礎(chǔ)上提出了一種基于損傷演化的疲勞裂紋擴(kuò)展壽命簡(jiǎn)化計(jì)算方法。目前疲勞裂紋擴(kuò)展壽命預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)是基于斷裂力學(xué)的Paris公式，鑒于基于應(yīng)變—壽命曲線的疲勞損傷演化與基于斷裂力學(xué)的裂紋擴(kuò)展本質(zhì)上的一致性，文章提出的簡(jiǎn)化計(jì)算方法不但具有明確的物理意義，也對(duì)評(píng)估裂紋擴(kuò)展壽命提出了一種基于損傷力學(xué)的新視角。同時(shí)，文中也對(duì)某船用高強(qiáng)度鋼進(jìn)行了算例計(jì)算和分析。結(jié)果表明，該方法計(jì)算過程便捷，在船舶工程結(jié)構(gòu)壽命評(píng)估方面存在一定的實(shí)用價(jià)值。

能量損傷理論；損傷度；損傷演化；裂紋擴(kuò)展壽命

1 引言

在斷裂力學(xué)中應(yīng)用最廣的裂紋擴(kuò)展速率公式是著名的Paris公式，即da/dN=C（ ΔK）m。這一經(jīng)驗(yàn)公式廣泛應(yīng)用于低周疲勞裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)的結(jié)果分析[1-4]，是目前疲勞裂紋擴(kuò)展壽命預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)，其中的關(guān)鍵是計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子。對(duì)于簡(jiǎn)單幾何結(jié)構(gòu)的應(yīng)力強(qiáng)度因子，可以通過應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)查詢，或是通過疊加法、影響函數(shù)法和實(shí)用混合法等求得。但對(duì)于大部分實(shí)際工程結(jié)構(gòu)，斷裂力學(xué)參數(shù)通常需要借助數(shù)值分析的方法解決，并且由于裂紋尖端附近應(yīng)力場(chǎng)存在奇異性，往往需要采用體現(xiàn)斷裂力學(xué)特點(diǎn)的半解析數(shù)值方法和新型單元法（如混合法、邊界配置法、超級(jí)單元法、奇異單元法，等等）[5-6]。

疲勞是在循環(huán)載荷下材料局部發(fā)生損傷的累積過程，疲勞破壞是疲勞損傷累積到一定程度的結(jié)果[7-8]。疲勞裂紋損傷累積過程不取決于個(gè)別裂紋行為，而是眾多群體裂紋所控制，其宏觀表現(xiàn)為等幅應(yīng)變疲勞（低周疲勞）下的應(yīng)力幅值不斷下降、等幅應(yīng)力疲勞下的應(yīng)變幅值不斷增加[9]。就本質(zhì)而言，基于載荷-壽命曲線的經(jīng)典疲勞損傷與基于斷裂力學(xué)的裂紋擴(kuò)展公式是統(tǒng)一的[10]，一次循環(huán)的疲勞損傷增量表征了該循環(huán)造成的裂紋擴(kuò)展量，因此從疲勞損傷演化的角度來表征裂紋擴(kuò)展壽命是具有明確的物理意義的。

本文的主要工作即是基于能量損傷理論，結(jié)合低周疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)，從損傷演化的角度定量表征裂紋擴(kuò)展壽命。目前損傷的度量方法很多，有彈性模量法[11]、循環(huán)塑性響應(yīng)法[12]、剩余強(qiáng)度法[13]、超聲波法[14]、電阻法等[15]，本文圍繞彈性模量法進(jìn)行簡(jiǎn)化展開。

2 低周疲勞損傷壽命演化模型

基于能量損傷理論，Lemaitre和Chaboche[7，16]提出了低周疲勞損傷演變方程

式中：Rv=2（ 1+v）/3+3（ 1-2v）（σm/σeq）2，σm為平均應(yīng)力，σeq為等效應(yīng)力；χ、γ和α為材料常數(shù)。對(duì)（1）式進(jìn)行積分變換，且當(dāng)N=0時(shí)，D=0；N=Nf時(shí)，D=1，整理可以得到低周疲勞損傷壽命方程

以上的材料常數(shù)有χ、γ和α，下面以材料疲勞試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析。低周疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)常按指數(shù)關(guān)系式和Manson-Coffin方程式[17]進(jìn)行擬合：

通過整理分析可以得到材料常數(shù)的關(guān)系式有

因此，結(jié)合低周疲勞試驗(yàn)結(jié)果，可以以損傷演化的角度來分析疲勞裂紋擴(kuò)展壽命。

3疲勞裂紋擴(kuò)展壽命簡(jiǎn)化計(jì)算

為了計(jì)算裂紋擴(kuò)展壽命，首先需要求出含有裂紋信息的剖面損傷度，其中的關(guān)鍵是建立損傷度與裂紋尺寸的定量關(guān)系。我們知道，損傷度可以以彈性模量的損耗來表征，記為

D=1-E1/E0(6)式中：E0為材料彈性模量，E1為受損后的等效彈性模量。

對(duì)于圖1所示含裂紋缺陷的損傷殼板，我們不妨作以下的假設(shè)簡(jiǎn)化處理：殼板分成穿透裂紋損傷層和無損層。穿透裂紋損傷層由于承載面積的直接缺失導(dǎo)致截面剛性的下降，該層的等效彈性模量Edamage可表達(dá)為Edamage=1-Adamage/A0

（

）E0，A0為該層剖面全面積。

圖1 含裂紋缺陷的損傷殼板示意圖Fig.1 The sketch of damage plane shell

圖2 橢圓形裂紋剖面圖Fig.2 The section of elliptic crack

不考慮剖面剛性不同引起的彎矩，根據(jù)等效應(yīng)變假設(shè)，對(duì)于如圖2（a）所示的表面橢圓形裂紋，分成兩層進(jìn)行計(jì)算，有關(guān)系式

整理得到等效彈性模量E1的計(jì)算式

同理，對(duì)于圖2（b）所示的埋藏橢圓形裂紋，可以分成三層來計(jì)算處理，滿足關(guān)系式

其中：t=t1+t2=2a。整理得到等效彈性模量E2的計(jì)算式

圖3 損傷板等效彈性模量計(jì)算結(jié)果Fig.3 The elasticity modulus of damage plane shell

上述簡(jiǎn)化計(jì)算式是建立在不考慮面內(nèi)彎矩的條件下的，本文采用層合板單元shell181對(duì)損傷殼板進(jìn)行了系列有限元計(jì)算。計(jì)算結(jié)果如圖3所示，結(jié)果表明，對(duì)于表面橢圓形裂紋缺陷，裂紋短半軸長(zhǎng)小于0.25t時(shí)，本文的簡(jiǎn)化計(jì)算式與有限元結(jié)果誤差不超過3.2%；對(duì)于埋藏橢圓形裂紋缺陷，裂紋短半軸長(zhǎng)小于0.12t時(shí)，本文的簡(jiǎn)化計(jì)算式與有限元結(jié)果誤差不超過2.8%。

根據(jù)（7）～（10）式，偏安全估算，穿透層的橢圓形裂紋損傷面積按矩形計(jì)算，整理后剖面的損傷度可以表達(dá)為

于是，耐壓船體殼板裂紋擴(kuò)展壽命可以按以下方法計(jì)算

式中：D0、Di按（11）式計(jì)算。

由于橢圓形裂紋幾何上的“二維性”[18]，必須同時(shí)知道參數(shù)a、c才能確定裂紋的尺寸狀態(tài)，從而知道含裂紋缺陷剖面的損傷度狀態(tài)。裂紋擴(kuò)展過程中，兩個(gè)參數(shù)的變化是不同的，因此要計(jì)算從a0擴(kuò)展到ai的裂紋擴(kuò)展壽命，必需先確定c0對(duì)應(yīng)的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)，即ci。根據(jù)Newman和Raju提出的橢圓形裂紋長(zhǎng)、短半軸尖端擴(kuò)展速率比的試驗(yàn)關(guān)系式，以及他們通過三維有限元數(shù)值計(jì)算建立的應(yīng)力強(qiáng)度因子經(jīng)驗(yàn)方程解[19-20]，同時(shí)考慮到本文裂紋深度與殼板厚度的比值范圍，通過簡(jiǎn)化可以得到，對(duì)于表面橢圓形裂紋

對(duì)于埋藏橢圓形裂紋

那么，在指定a0、c0、ai的情況下再結(jié)合關(guān)系式

即可求得對(duì)應(yīng)的裂紋擴(kuò)展尺寸ci。

4 算例及分析

某高強(qiáng)度鋼應(yīng)變疲勞試驗(yàn)有[21]：，同時(shí)根據(jù)最小二乘法又可以表達(dá)為Δε2.824Nf=0.016 4；裂紋擴(kuò)展速率[22]da/dN=1.158×10-11（ΔK）3。因此，該高強(qiáng)度鋼的材料常數(shù)有b=-0.145、c=-0.618、m=3、M=2.824、α=1.824、γ=0.618和C=0.016 4。于是，該種鋼材的疲勞損傷擴(kuò)展速率為

我們把疲勞損傷擴(kuò)展速率隨損傷的變化情況描繪成曲線，如圖4所示。結(jié)果表明，隨著損傷的不斷累積，疲勞損傷擴(kuò)展越來越快。

當(dāng)殼板厚度t=20 mm時(shí)，若所分析的損傷剖面的寬度為W=50 mm，且該損傷剖面上的等效載荷相當(dāng)應(yīng)變幅取Δε=8 000 με（即Nf=16 000周次），表面橢圓形裂紋尺寸取a0=1.5 mm，c0=2.5 mm。那么，我們可以得到如表1所示的計(jì)算結(jié)果。

圖4 疲勞損傷擴(kuò)展速率曲線圖Fig.4 The curve of fatigue damage propagation

表1 算例計(jì)算結(jié)果Tab.1 The results of the example

結(jié)果表明，對(duì)于該受載狀態(tài)下的損傷剖面，殼板表面橢圓形裂紋沿深度方向從1.5 mm擴(kuò)展到3.8 mm的擴(kuò)展壽命為1 271次，且表面橢圓形裂紋的擴(kuò)展趨向于半圓形。

5 結(jié)語

本文結(jié)合低周疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)，在能量損傷理論、損傷度彈性模量度量法，以及簡(jiǎn)化的橢圓形裂紋形狀擴(kuò)展模型的基礎(chǔ)上提出了一種基于損傷演化的疲勞裂紋擴(kuò)展壽命簡(jiǎn)化計(jì)算方法。目前疲勞裂紋擴(kuò)展壽命預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)是基于斷裂力學(xué)的Paris公式，鑒于基于載荷—壽命曲線的疲勞損傷演化與基于斷裂力學(xué)的裂紋擴(kuò)展本質(zhì)上是一致的，因此，本文提出的簡(jiǎn)化計(jì)算方法不但具有明確的物理意義，也對(duì)我們?cè)u(píng)估裂紋擴(kuò)展壽命提出了一種基于損傷力學(xué)的新視角。

同時(shí)，本文也對(duì)某船用高強(qiáng)度鋼進(jìn)行了算例計(jì)算和分析，對(duì)于該受載狀態(tài)下的船用鋼損傷剖面，殼板表面橢圓形裂紋沿深度方向從1.5 mm擴(kuò)展到3.8 mm的擴(kuò)展壽命為1 271次，且表面橢圓形裂紋的擴(kuò)展趨向于半圓形。計(jì)算結(jié)果表明，該方法過程簡(jiǎn)便，在船舶工程結(jié)構(gòu)壽命評(píng)估方面存在一定的實(shí)用價(jià)值。

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Research on calculation method of crack propagation life based on damage evolution

CHEN Sha-gu,HUANG Jin-hao,WAN Zheng-quan,BIAN Ru-gang
(China Ship Scientific Research Center,Wuxi 214082,China)

A simplified calculation method of crack propagation life(CPL)based on damage evolution was presented by studying on the theory of energy damage and fatigue damage in elasticity modulus and the simplified expanding model of the elliptic crack.The calculation of CPL by building on Paris formula based on fracture mechanics was the foundation method for the moment.The conception of the method in this paper was clear and novel because of the essence of fatigue damage based on Δε-Ν curve and Paris formula was coincident.The results of the example show that the method of this paper was valuable to the evaluation of the ship structure fatigue life.

theory of energy damage;damage;damage evolution;crack propagation life(CPL)

U661.5

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2014.07.011

1007-7294（2014）07-0815-06

2014-04-13

“863”計(jì)劃資助（2011AA09A103）；江蘇高校省級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放研究基金資助。

陳沙古（1984-），男，中國(guó)船舶科學(xué)研究中心工程師，E-mail：chenshagu@163.com；

黃進(jìn)浩（1975-），男，中國(guó)船舶科學(xué)研究中心高級(jí)工程師。