重評內(nèi)力圖的符號規(guī)定與多重統(tǒng)一

李永平+侯景鵬+彭雅軒+劉強

【摘 要】鑒于材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)中內(nèi)力圖特別是彎矩圖的重要地位及畫圖上的不和諧，為使理論成果與工程應(yīng)用協(xié)調(diào)一致，針對現(xiàn)行教材中內(nèi)力圖符號規(guī)定之混亂及其不協(xié)調(diào)性，結(jié)合數(shù)學(xué)與力學(xué)、材料力學(xué)與結(jié)構(gòu)力學(xué)、力學(xué)教學(xué)與工程應(yīng)用的實際，本文本著形象直觀、記憶規(guī)范、易授易懂的原則，一改土木工程專業(yè)材料力學(xué)教材中梁的內(nèi)力符號規(guī)定，使之在“內(nèi)力微分關(guān)系上統(tǒng)一、力學(xué)與數(shù)學(xué)統(tǒng)一、不同專業(yè)梁的內(nèi)力圖統(tǒng)一、材料力學(xué)與結(jié)構(gòu)力學(xué)統(tǒng)一、先行課與后繼課統(tǒng)一，紙上談兵與應(yīng)用習(xí)慣統(tǒng)一”。一式多用而非一果多記，避免了“左腳鞋穿在右腳上，走路時又將右腳置于左腳位邁步”的別扭與尷尬，同時又與通常所理解的現(xiàn)象協(xié)調(diào)一致，對于完善教材符號及工程技術(shù)人員方便實用尤具一定價值。

【關(guān)鍵詞】土木工程；材料力學(xué)；內(nèi)力符號；彎矩圖；微分關(guān)系；工程設(shè)計；右手系

0 引言

迄今為止的土木工程專業(yè)材料力學(xué)之內(nèi)力符號總與其它專業(yè)在相同內(nèi)容上不相一致，比如熱能動力工程專業(yè)[1，3]在梁的內(nèi)力符號規(guī)定下所畫內(nèi)力圖比較協(xié)調(diào)地統(tǒng)一在內(nèi)力微分關(guān)系上，并與數(shù)學(xué)達(dá)到了右手系下的統(tǒng)一。而土木工程專業(yè)的材料力學(xué)[2]因與后續(xù)課——結(jié)構(gòu)力學(xué)[4]保持一致，因此而將彎矩圖畫在梁的受拉側(cè)。大量的訓(xùn)練，大量的成果圖都依此為原則，結(jié)果導(dǎo)致在運用微分關(guān)系這一極具簡明的方法畫圖時，內(nèi)力微分關(guān)系總是帶著相反符號——左手系去實施。這樣一來大多學(xué)生不習(xí)慣左手系，致使數(shù)學(xué)工具的運用受到非議，即使作為教師，雖然能夠刻意地注意到左手系下的差異，但也顯得不順手、別扭，總有一種左腳鞋穿到右腳上又按右腳邁步的感覺，既別扭又尷尬，之所以別扭是因為初學(xué)者不習(xí)慣左手系，而尷尬之因則表現(xiàn)在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)工具不會用，講者差強，聽者疑惑。

此規(guī)定者的另一說法便是按右手系方法運用內(nèi)力微分關(guān)系完成，然后將所畫彎矩圖繞橫軸轉(zhuǎn)180°——上下倒置。殊不知，作為簡單問題尚可，對于復(fù)雜問題，尤其是段數(shù)多的結(jié)構(gòu)力學(xué)彎矩圖其繁無比。若直接畫成則內(nèi)力微分關(guān)系不甚適宜。致使有用的數(shù)學(xué)工具不能水到渠成地湊效。

多科教學(xué)，感慨有加：符號規(guī)定，正負(fù)兩家，非此即彼，莫非上下，既是人為，何不權(quán)化？ 慷慨而明智地退一步，使教學(xué)與學(xué)習(xí)雙方便利，何樂而不為呢？

改變現(xiàn)行符號規(guī)定，重新給出新的規(guī)定，以期達(dá)到上述之“六統(tǒng)一”并非難事。無非是改變一下固有習(xí)慣而已。

誠然，符號作為人為規(guī)定仍具科學(xué)性與美感，比如著名的微分算子符號dy=y'dx或y'=■就普遍受到贊譽。因為微分形式的不變性在力學(xué)上具有廣闊的應(yīng)用市場，具有足夠的靈活性，使得已知與未知這一對物理量在沒有直接對應(yīng)的物理背景下得以順利完成。這無疑得益于微分算子符號的科學(xué)性。

1 重評梁的內(nèi)力符號及其新規(guī)定

1.1 現(xiàn)有符號規(guī)定的弊端

現(xiàn)有的梁的內(nèi)力符號規(guī)定本身是一致的，只是到了彎矩圖繪制時出現(xiàn)了不和諧。即符號規(guī)定與彎矩圖在右手系中的符號不相一致，與內(nèi)力微分關(guān)系不相一致，出現(xiàn)了左手系現(xiàn)象。這雖然方便了工程人員，但使初學(xué)者無所適從，畫出的剪力圖與彎矩圖又使內(nèi)力微分關(guān)系無地自容，教過其它專業(yè)材料力學(xué)課程的老師再教結(jié)構(gòu)力學(xué)課程時還得從頭開始，結(jié)果是學(xué)生對學(xué)過的知識將信將疑。諸如此類，無不表明，改變符號規(guī)定，使不同專業(yè)相同課程在同一內(nèi)容上實現(xiàn)統(tǒng)一，不僅可能可行，而且易如反掌，足收事半功倍之效。

經(jīng)過多年來，多專業(yè)工程力學(xué)、材料力學(xué)與結(jié)構(gòu)力學(xué)課程的教學(xué)，筆者認(rèn)為，如欲使內(nèi)力符號規(guī)定達(dá)到“六統(tǒng)一”，只須做如下規(guī)定：

1.2 剪力符號規(guī)定

左截面向下為正，或右截面向上—左下右上，即在所取對象的左截面剪力以向下為正，或在右截面向上為正。也可以表述為以使單元體產(chǎn)生逆時針轉(zhuǎn)動之勢的剪力為正，該規(guī)定恰好與原來規(guī)定相反，如圖1所示。

圖1 剪力符號圖

1.3 彎矩符號規(guī)定

仍以左、右面為相對參照，規(guī)定左截面上逆時針的彎矩為正、或右截面上順時針的彎矩為正——左逆右順。

其相應(yīng)的另一種表述為：

以使單元體軸線上凸的彎矩為正、或以產(chǎn)生下凹軸線形狀的彎矩為負(fù)，此仍與原規(guī)定相反。如圖2所示：

圖2 彎矩符號圖

以上所及，原本是一個截面因截面法假想截開的兩個面，本質(zhì)上屬于作用與反作用。因此無論剪力符號規(guī)定的左下右上還是彎矩符號規(guī)定的左逆右順，都應(yīng)體現(xiàn)符號相反這一必然結(jié)果，而且每一種符號的取舍是同時的選擇關(guān)系，非此即彼。因此凡是截開后，或者取左部分——右截面，或者取右部分——左截面。取左部分還是右部分應(yīng)視哪部分簡單而定。

2 內(nèi)力微分關(guān)系

從梁中取一具代表性的微段。不妨取其長為dx，如圖3所示，其受力圖按新的規(guī)定畫出，q為分布力的集度。

圖3 微元示意圖

由平衡計算不難得到平衡時的內(nèi)力微分關(guān)系

■=Q，■=-q，■=-q

若分布力q方向向下，則作相應(yīng)改動

■=Q，■=q，■=q

這便是右手系下的內(nèi)力微分關(guān)系。限于篇幅，推導(dǎo)過程略。

3 統(tǒng)一性分析

新規(guī)定所得內(nèi)力微分關(guān)系式是右手系的結(jié)果，說明力學(xué)與數(shù)學(xué)是統(tǒng)一的。因此可直接應(yīng)數(shù)學(xué)相關(guān)結(jié)論于力學(xué)而無需再繞x軸旋轉(zhuǎn)——一氣呵成，不費二遍事——過程順手，結(jié)果直觀。

按此規(guī)定下，不同專業(yè)同一課程內(nèi)容——梁的內(nèi)力圖達(dá)到一致而統(tǒng)一，不再因彎矩的特別規(guī)定而使內(nèi)力微分關(guān)系相佐，這便是不同專業(yè)間的統(tǒng)一。有了這一統(tǒng)一，教師不再因講授不同專業(yè)而采用不同手法而感到別扭從而方便易授。

按此規(guī)定下，正彎矩使梁的上側(cè)受拉，下側(cè)受壓，其彎矩圖恰好體現(xiàn)了畫在受拉一側(cè)，這與結(jié)構(gòu)力學(xué)達(dá)到一致，進而與工程技術(shù)人員的習(xí)慣相統(tǒng)一。

再看應(yīng)力，梁的彎曲正應(yīng)力

σ=■

之上拉、下壓得以上的科學(xué)實現(xiàn)，進而與彈性力學(xué)達(dá)到統(tǒng)一。

此外，按此符號規(guī)定下的正負(fù)也與人們習(xí)慣性感覺相統(tǒng)一。比如，向上的分布力q因（下轉(zhuǎn)第14頁）

（上接第12頁）■=-q

而使彎矩產(chǎn)生極大值，彎曲圖上凸。又從關(guān)系

■=■=■

可知，正彎矩使軸線上凸，而上凸曲線y（x）之y''（x）<0，從而有恒定關(guān)系

M=-■

式中I■為梁的橫截面對其中性軸的慣性矩。利用小變形假設(shè)取其近似微分關(guān)系為

EI■y''=-M（x）

這是梁的彎曲變形、壓桿臨界力分析時不可缺少的工具。不難驗證向上的q引起正的撓度——向上的位移。這些都是與人們的習(xí)慣性感覺相統(tǒng)一。

最后指出，此彎矩符號規(guī)定直觀表明：正彎矩在彎矩圖中采用右手直角坐標(biāo)系位于橫軸之上，而正彎矩直接規(guī)定使軸線上凸為正，此上凸恰使上側(cè)受拉。因此正彎矩與上側(cè)受拉相統(tǒng)一、負(fù)彎矩則使下側(cè)受拉。由此可知，按右手直角坐標(biāo)系下畫出的新的符號規(guī)定下的彎矩圖，其正、負(fù)（坐標(biāo)上、下）恰好體現(xiàn)正上拉、負(fù)下拉之統(tǒng)一。這便是本文新的符號規(guī)定之主旨。

舉例示范應(yīng)用說明因篇幅略。

4 結(jié)論

苦于以往梁的內(nèi)力符號規(guī)定所導(dǎo)致內(nèi)力圖之困惑，尤其是內(nèi)力圖中彎矩畫在受拉側(cè)與其符號規(guī)定而使內(nèi)力微分關(guān)系或者癱瘓，或者按其所畫最終繞x軸旋轉(zhuǎn)180°，多費一遍事這一事實。一改以往之符號規(guī)定，將其剪力與彎矩均改為相反方向而規(guī)定其正負(fù)，使數(shù)學(xué)工具從容自如運用，所有專業(yè)一氣呵成，所有力學(xué)課貫通一致，六個統(tǒng)一如期實現(xiàn)。此外新的符號規(guī)定具有

1）作為研究，各學(xué)科達(dá)到貫通、各課程達(dá)到一果多功，因此具有貫通性——經(jīng)久耐用。

2）作為教學(xué)，特別是大眾化教育的對象，如何尋找最合理、優(yōu)化的內(nèi)容及方法使之達(dá)到易授易懂，教與學(xué)雙贏，不僅是教研之必須，也是育人之所急。此結(jié)果應(yīng)當(dāng)說達(dá)到了教書育人之事半功倍之效。

3）以小見大，以微克重是本文的一個顯著特點。真理都是樸素的，也是簡單的。符號規(guī)定原本是人為的主觀產(chǎn)物，可謂小事一樁。但彎矩圖則是固體力學(xué)分析計算的重中之重，從結(jié)構(gòu)力學(xué)各種方法如力法、位移法、漸近法等諸多內(nèi)容中，其預(yù)期成果都是內(nèi)力圖，特別是彎矩圖。

這種諸多方面的貫通與統(tǒng)一恰恰體現(xiàn)了以小見大，以微克重的思想。

4） 提高受教育者的素質(zhì)，不僅教師首先要提高，教材創(chuàng)新也須前行。

5） 內(nèi)力微分關(guān)系隱含右手系規(guī)則，原來把彎矩圖畫在受拉側(cè)屬于左手系規(guī)則。因此原有的符號規(guī)定及基礎(chǔ)因其畫法而閹割了符號的意義，也偏離了坐標(biāo)系這一基礎(chǔ)工具，而內(nèi)力圖恰恰是以坐標(biāo)系形式畫出的。

【參考文獻(xiàn)】

[1]俞茂鋐.材料力學(xué)[M].高等教育出版社，1994，8.

[2]孫訓(xùn)方，方孝淑，關(guān)來泰.材料力學(xué)[M].高等教育出版社，2004，2.

[3]單輝祖，謝傳鋒.工程力學(xué)[M].高等教育出版社，2009，5.

[4]包世華.結(jié)構(gòu)力學(xué)[M].清華大學(xué)出版社，2002，6.

[責(zé)任編輯：程龍]

再看應(yīng)力，梁的彎曲正應(yīng)力

σ=■

之上拉、下壓得以上的科學(xué)實現(xiàn)，進而與彈性力學(xué)達(dá)到統(tǒng)一。

此外，按此符號規(guī)定下的正負(fù)也與人們習(xí)慣性感覺相統(tǒng)一。比如，向上的分布力q因（下轉(zhuǎn)第14頁）

（上接第12頁）■=-q

而使彎矩產(chǎn)生極大值，彎曲圖上凸。又從關(guān)系

■=■=■

可知，正彎矩使軸線上凸，而上凸曲線y（x）之y''（x）<0，從而有恒定關(guān)系

M=-■

式中I■為梁的橫截面對其中性軸的慣性矩。利用小變形假設(shè)取其近似微分關(guān)系為

EI■y''=-M（x）

這是梁的彎曲變形、壓桿臨界力分析時不可缺少的工具。不難驗證向上的q引起正的撓度——向上的位移。這些都是與人們的習(xí)慣性感覺相統(tǒng)一。

最后指出，此彎矩符號規(guī)定直觀表明：正彎矩在彎矩圖中采用右手直角坐標(biāo)系位于橫軸之上，而正彎矩直接規(guī)定使軸線上凸為正，此上凸恰使上側(cè)受拉。因此正彎矩與上側(cè)受拉相統(tǒng)一、負(fù)彎矩則使下側(cè)受拉。由此可知，按右手直角坐標(biāo)系下畫出的新的符號規(guī)定下的彎矩圖，其正、負(fù)（坐標(biāo)上、下）恰好體現(xiàn)正上拉、負(fù)下拉之統(tǒng)一。這便是本文新的符號規(guī)定之主旨。

舉例示范應(yīng)用說明因篇幅略。

4 結(jié)論

苦于以往梁的內(nèi)力符號規(guī)定所導(dǎo)致內(nèi)力圖之困惑，尤其是內(nèi)力圖中彎矩畫在受拉側(cè)與其符號規(guī)定而使內(nèi)力微分關(guān)系或者癱瘓，或者按其所畫最終繞x軸旋轉(zhuǎn)180°，多費一遍事這一事實。一改以往之符號規(guī)定，將其剪力與彎矩均改為相反方向而規(guī)定其正負(fù)，使數(shù)學(xué)工具從容自如運用，所有專業(yè)一氣呵成，所有力學(xué)課貫通一致，六個統(tǒng)一如期實現(xiàn)。此外新的符號規(guī)定具有

1）作為研究，各學(xué)科達(dá)到貫通、各課程達(dá)到一果多功，因此具有貫通性——經(jīng)久耐用。

2）作為教學(xué)，特別是大眾化教育的對象，如何尋找最合理、優(yōu)化的內(nèi)容及方法使之達(dá)到易授易懂，教與學(xué)雙贏，不僅是教研之必須，也是育人之所急。此結(jié)果應(yīng)當(dāng)說達(dá)到了教書育人之事半功倍之效。

3）以小見大，以微克重是本文的一個顯著特點。真理都是樸素的，也是簡單的。符號規(guī)定原本是人為的主觀產(chǎn)物，可謂小事一樁。但彎矩圖則是固體力學(xué)分析計算的重中之重，從結(jié)構(gòu)力學(xué)各種方法如力法、位移法、漸近法等諸多內(nèi)容中，其預(yù)期成果都是內(nèi)力圖，特別是彎矩圖。

這種諸多方面的貫通與統(tǒng)一恰恰體現(xiàn)了以小見大，以微克重的思想。

4） 提高受教育者的素質(zhì)，不僅教師首先要提高，教材創(chuàng)新也須前行。

5） 內(nèi)力微分關(guān)系隱含右手系規(guī)則，原來把彎矩圖畫在受拉側(cè)屬于左手系規(guī)則。因此原有的符號規(guī)定及基礎(chǔ)因其畫法而閹割了符號的意義，也偏離了坐標(biāo)系這一基礎(chǔ)工具，而內(nèi)力圖恰恰是以坐標(biāo)系形式畫出的。

【參考文獻(xiàn)】

[1]俞茂鋐.材料力學(xué)[M].高等教育出版社，1994，8.

[2]孫訓(xùn)方，方孝淑，關(guān)來泰.材料力學(xué)[M].高等教育出版社，2004，2.

[3]單輝祖，謝傳鋒.工程力學(xué)[M].高等教育出版社，2009，5.

[4]包世華.結(jié)構(gòu)力學(xué)[M].清華大學(xué)出版社，2002，6.

[責(zé)任編輯：程龍]

再看應(yīng)力，梁的彎曲正應(yīng)力

σ=■

之上拉、下壓得以上的科學(xué)實現(xiàn)，進而與彈性力學(xué)達(dá)到統(tǒng)一。

此外，按此符號規(guī)定下的正負(fù)也與人們習(xí)慣性感覺相統(tǒng)一。比如，向上的分布力q因（下轉(zhuǎn)第14頁）

（上接第12頁）■=-q

而使彎矩產(chǎn)生極大值，彎曲圖上凸。又從關(guān)系

■=■=■

可知，正彎矩使軸線上凸，而上凸曲線y（x）之y''（x）<0，從而有恒定關(guān)系

M=-■

式中I■為梁的橫截面對其中性軸的慣性矩。利用小變形假設(shè)取其近似微分關(guān)系為

EI■y''=-M（x）

這是梁的彎曲變形、壓桿臨界力分析時不可缺少的工具。不難驗證向上的q引起正的撓度——向上的位移。這些都是與人們的習(xí)慣性感覺相統(tǒng)一。

最后指出，此彎矩符號規(guī)定直觀表明：正彎矩在彎矩圖中采用右手直角坐標(biāo)系位于橫軸之上，而正彎矩直接規(guī)定使軸線上凸為正，此上凸恰使上側(cè)受拉。因此正彎矩與上側(cè)受拉相統(tǒng)一、負(fù)彎矩則使下側(cè)受拉。由此可知，按右手直角坐標(biāo)系下畫出的新的符號規(guī)定下的彎矩圖，其正、負(fù)（坐標(biāo)上、下）恰好體現(xiàn)正上拉、負(fù)下拉之統(tǒng)一。這便是本文新的符號規(guī)定之主旨。

舉例示范應(yīng)用說明因篇幅略。

4 結(jié)論

苦于以往梁的內(nèi)力符號規(guī)定所導(dǎo)致內(nèi)力圖之困惑，尤其是內(nèi)力圖中彎矩畫在受拉側(cè)與其符號規(guī)定而使內(nèi)力微分關(guān)系或者癱瘓，或者按其所畫最終繞x軸旋轉(zhuǎn)180°，多費一遍事這一事實。一改以往之符號規(guī)定，將其剪力與彎矩均改為相反方向而規(guī)定其正負(fù)，使數(shù)學(xué)工具從容自如運用，所有專業(yè)一氣呵成，所有力學(xué)課貫通一致，六個統(tǒng)一如期實現(xiàn)。此外新的符號規(guī)定具有

1）作為研究，各學(xué)科達(dá)到貫通、各課程達(dá)到一果多功，因此具有貫通性——經(jīng)久耐用。

2）作為教學(xué)，特別是大眾化教育的對象，如何尋找最合理、優(yōu)化的內(nèi)容及方法使之達(dá)到易授易懂，教與學(xué)雙贏，不僅是教研之必須，也是育人之所急。此結(jié)果應(yīng)當(dāng)說達(dá)到了教書育人之事半功倍之效。

3）以小見大，以微克重是本文的一個顯著特點。真理都是樸素的，也是簡單的。符號規(guī)定原本是人為的主觀產(chǎn)物，可謂小事一樁。但彎矩圖則是固體力學(xué)分析計算的重中之重，從結(jié)構(gòu)力學(xué)各種方法如力法、位移法、漸近法等諸多內(nèi)容中，其預(yù)期成果都是內(nèi)力圖，特別是彎矩圖。

這種諸多方面的貫通與統(tǒng)一恰恰體現(xiàn)了以小見大，以微克重的思想。

4） 提高受教育者的素質(zhì)，不僅教師首先要提高，教材創(chuàng)新也須前行。

5） 內(nèi)力微分關(guān)系隱含右手系規(guī)則，原來把彎矩圖畫在受拉側(cè)屬于左手系規(guī)則。因此原有的符號規(guī)定及基礎(chǔ)因其畫法而閹割了符號的意義，也偏離了坐標(biāo)系這一基礎(chǔ)工具，而內(nèi)力圖恰恰是以坐標(biāo)系形式畫出的。

【參考文獻(xiàn)】

[1]俞茂鋐.材料力學(xué)[M].高等教育出版社，1994，8.

[2]孫訓(xùn)方，方孝淑，關(guān)來泰.材料力學(xué)[M].高等教育出版社，2004，2.

[3]單輝祖，謝傳鋒.工程力學(xué)[M].高等教育出版社，2009，5.

[4]包世華.結(jié)構(gòu)力學(xué)[M].清華大學(xué)出版社，2002，6.

[責(zé)任編輯：程龍]