二維隨機變量概率分布的求解方法

周曉暉

（江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院連云港財經(jīng)分院，江蘇連云港 222003）

二維隨機變量概率分布的求解方法

周曉暉

（江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院連云港財經(jīng)分院，江蘇連云港 222003）

每一個隨機試驗的整體概率可以用一個相應(yīng)的隨機變量及其概率分布來描述.基于對一維隨機變量的理解，采用分布函數(shù)法和函數(shù)分步法，給出了求二維隨機變量概率分布的基本規(guī)律.

二維隨機變量；分布函數(shù)法；函數(shù)分步法；概率密度；分布密度

0 引言

隨即變量概率分布是概率論和數(shù)理統(tǒng)計課程中的重要內(nèi)容之一，其中二維隨機變量函數(shù)的分布函數(shù)和密度函數(shù)的求解又是學(xué)生往往感覺比較困難的環(huán)節(jié)．基于對一維隨機變量的理解，用分布函數(shù)法和函數(shù)分步法，給出求二維隨機變量概率分布的基本規(guī)律．學(xué)生掌握了二維隨機變量及其概率分布的求解方法，也就抓住了學(xué)習(xí)多維隨機變量的關(guān)鍵．

1 分布函數(shù)法

所謂二維隨機變量分布函數(shù)法，是指解題時應(yīng)強調(diào)和注意以下事項：

1）隨機變量ξ＝（X，Y）的分布函數(shù)，設(shè)ξ＝（X，Y）為二維隨機變量，對于任意兩個實數(shù)x，y，稱二元函數(shù)F（x，y）．P｛X≤x，Y≤y｝為隨機變量ξ＝（X，Y）的分布函數(shù)，或稱其為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)．

這里強調(diào)兩點：

①事件｛X≤x，Y≤y｝，就是事件｛X≤x｝·｛Y≤y｝；

②F（x，y）＝P｛X≤x，Y≤y｝的實質(zhì)是指（X，Y）的取值落在xy平面上，以（x，y）為頂點的左下方（包括邊界）的正文形內(nèi)的概率．

2）分布函數(shù)的性質(zhì)

①F（x，y）是變量x和變量y的不減函數(shù)，即對任意固定的y，當(dāng)x2＞x1時，F(xiàn)（x2，y）≥F（x1，y）；對于任意固定的x，當(dāng)y2＞y1時，F(xiàn)（x，y2）≥F（x，y1）；

③對于任意的x1＜x2，y1＜y2，有

例1 設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為：

其中k為常數(shù)，求：P｛0＜X≤1，0＜Y≤2｝．

解 先確定常數(shù)，再求分布函數(shù)，解得k＝12，

（X，Y）的分布函數(shù)F（x，y），當(dāng)x＞0，y＞0時，

當(dāng)x，y為其他情形時，F(xiàn)（x，y）＝0，故

所以

對于例1來說，其概率密度函數(shù)取值是一個有限矩形，分布函數(shù)的求解方法是統(tǒng)一的，不過對于學(xué)生積分難度可能有點大，需要用到二重積分的有關(guān)知識點，只要保持清晰的思路，就能化繁為簡［3］．

例2 設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為

試求：

1）（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)；

2）P｛0≤X＜2，Y＜3｝．

解 顯然這是連續(xù)型二維隨機變量的分布函數(shù)，由公式，其聯(lián)合密度函數(shù)為

2 函數(shù)分布法

所謂二維隨機變量函數(shù)分布法，是指設(shè)已知隨機變量（X，Y）的概率密度F（x，y），p（x，y），又f（x，y）為二元連續(xù)函數(shù)，則隨機變量函數(shù)Z＝f（X，Y）的概率密度pZ（z）可以按下列程序求解［4］．

②FZ（z）對z求導(dǎo)得

1）Z＝X＋Y的分布

設(shè)隨機變量（X，Y）的聯(lián)合密度為F（x，y），p（x，y），求Z＝X＋Y的密度pZ（z）可用下列公式：

當(dāng)X和Y相互獨立時，則Z＝X＋Y的概率密度為：

例3 設(shè)兩個獨立的隨機變量X和Y的分布律為下表所示：

表1 隨機變量X的分布律

表2 隨機變量Y的分布律

求 隨機變量Z＝X＋Y的分布律．

解 ΘX與Y相互獨立，p（X，Y）＝pX·pY．

即

表3 X，Y的概率

又因

表4 Z的概率

故有

表5 隨機變量X＋Y的分布律

例4 設(shè)X和Y相互獨立，且X服從N（μ，σ2），Y服從［－b，b］上的均勻分布，求Z＝X＋Y的分布密度．

解 X和Y的密度分別為：

2）Z＝X－Y的分布

設(shè)隨機變量（X，Y）的密度為F（x，y），p（x，y），求Z＝X－Y的密度pZ（z）可用下列公式：

當(dāng)X和Y相互獨立時，

3）Z＝X·Y的分布

設(shè)隨機變量（X，Y）的密度為F（x，y），p（x，y），求Z＝X·Y的密度pZ（z）可用下列公式：

或者

或者

當(dāng)X和Y相互獨立時，

當(dāng)X和Y相互獨立時，

例5 設(shè)X和Y相互獨立，且都服從區(qū)間（0，a）上的均勻分布，求：的分布密度．

解 由題意知，

X和Y相互獨立，

再求FZ（z）和pZ（z）．當(dāng)z＜0時，F(xiàn)Z（z）＝0，

當(dāng)0＜z＜1時

5）Z＝max｛X，Y｝，Z＝min｛X，Y｝的分布

設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，其密度和分布函數(shù)分別為pX（x），F(xiàn)X（x），和pY（y）FY（y）

①Z＝max｛X，Y｝的分布函數(shù)

當(dāng)X和Y獨立同時分布時，則Z＝max｛X，Y｝的分布函數(shù)和密度分別為：

其中

②Z＝min｛X，Y｝的分布函數(shù)

當(dāng)X和Y獨立同時分布時，則Z＝min｛X，Y｝的分布函數(shù)和密度分別為：

其中

例6 對某種電子裝置的輸出測量了5次，得到觀察值X1，X2，X3，X4，X5，設(shè)它們是相互獨立的變量，且都服從同一分布

求 max｛X，X2，X3，X4，X5｝＞4的概率．

解 令V＝max｛X，X2，X3，X4，X5｝，

由于X1，X2，X3，X4，X5相互獨立，且服從同一分布，由前述公式，有

所求概率

6）最后強調(diào)一下隨機變量函數(shù)的聯(lián)合分布

設(shè)（X，Y）的聯(lián)合密度為F（x，y），p（x，y），函數(shù)u＝h1（x，y），v＝h2（x，y）有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且存在唯一的反函數(shù)x＝x（u，v），y＝y(tǒng)（u，v），記U＝h1（X，Y），V＝h2（X，Y），則（U，V）的聯(lián)合密度為：

隨機變量概率分布是概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中非常重要的內(nèi)容之一，用廣義二重積分方法計算二元分布函數(shù)F（x，y）比較繁瑣，且計算量大，不易掌握．對于二維隨機變量函數(shù)可以先求出分布密度，然后利用分布密度是密度函數(shù)的積分，求出分布函數(shù)．運用分布函數(shù)法和函數(shù)分步法可以降低積分的重數(shù)，簡化計算的難度，同時運用這些計算公式也可以提高計算的效率和準(zhǔn)確度．

參考文獻(xiàn)：

［1］ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.北京：高等教育出版社，1999.

［2］ 魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程［M］.北京：高等教育出版社，2009.

［3］ 馮泰，王玉孝.概率統(tǒng)計輔導(dǎo)［M］.北京：中國鐵道出版社，1982.

［4］ 李躍波.隨機變量的分布函數(shù)及其計算［J］.云南民族大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2004（1）：25-27.

［5］ 甘媛.隨機變量的分布函數(shù)求解方法的討論［J］.襄樊職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)，2012（6）：22-25.

［6］ 李思齊，李昌興，柳曉燕.二維連續(xù)性隨機變量函數(shù)的分布密度的計算［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2011（5）：162-166.

［7］ 宋明娟，王悅姣.二維隨機變量函數(shù)的概率密度公式［J］.黑龍江科技學(xué)院學(xué)，2011（5）：422-424.

M ethod for the Solution of two Dimensional Random Variable Probability Distribution

ZHOU Xiao?hui
（Lianyungang Finance and Economics Branch of Jiangsu United Technical Institute，Lianyungang Jiangsu 222003，China）

The overall probability of each random test can be used with a corresponding probability distribu?tion of random variables to describe.Based on the understanding of the one?dimensional random variables.This paper uses themethod of distribution function and the function of a fractional step method，the basic law pro?vided for two?dimensional random variable probability distribution.The solvingmethod of random variables and their probability distribution of two dimensional，It is the key to learningmultidimensional random variables. Key words： two dimensional random variables；distribution function method；divided step function；proba?bility density；distribution density

O211

A

1671?6876（2014）03?0194?06

［責(zé)任編輯：李春紅］

2014?05?10

周曉暉（1980?），男，江蘇連云港人，講師，碩士研究生，研究方向為概率統(tǒng)計.E?mail：13812341068＠163.com