一類拋物方程的廣義解

李 悅

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

1 問題的提出

在文[1]中，我們知道求一個方程解的方法有很多，當(dāng)x∈R時，

(1)

(2)

2 預(yù)備知識

定理1 存在常數(shù)c0≤0,使得當(dāng)c≥c0時，對任何f∈L2(Ω)和fi=L2(Ω)，問題u|?Ω=0,-Dj(aijDiu)+cu=f+Difi,x∈Ω恒存在唯一的弱解.

3 逼近解的構(gòu)造

(3)

為了以后計(jì)算方便，我們記

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

第二步.對逼近解做估計(jì).在式(6)中，我們?nèi)ˇ?um,j-um,j-1，則式(8)變?yōu)?/p>

由此可推出

(9)

因此有

‖≤‖

(10)

我們記Mm=‖由式(10)迭代j次，我們可得

‖≤
‖≤Mm

(11)

而對式(9)求和可得

(12)

由式(7)um的定義知

um,j-1+λ(um,j-um,j-1))

由導(dǎo)數(shù)定義知

故由式(12)可推出

(13)

再由式(11)可得

‖
um,j|2dxdt≤

‖≤
‖≤4TMm

(14)

4 廣義解的存在性和唯一性

(15)

再對固定的ml取kl使得

(16)

(17)

至此，我們證明了問題(3)的弱解.在式(13)和式(14)中令m→∞取極限，我們還知道這弱解u滿足

于是解的存在性得證，下面我們來證明其唯一性.

上面兩式相減得?QT(utφ+u特別地取φ=uχ[0,s](t)，于是得到?QT(u1u+|u|2)dxdt=0,其中0

參考文獻(xiàn)：

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