基于曲面擬合的寬帶陣列模型誤差有源校正*

張興良，王可人，阮懷林

（解放軍電子工程學(xué)院，合肥 230037）

基于曲面擬合的寬帶陣列模型誤差有源校正*

張興良，王可人，阮懷林

（解放軍電子工程學(xué)院，合肥 230037）

針對(duì)陣列模型誤差難以建模的問(wèn)題，提出一種新的非參數(shù)化有源校正方法。首先，測(cè)量部分離散方向點(diǎn)上的導(dǎo)向矢量。然后，利用測(cè)得的導(dǎo)向矢量擬合所有的模型誤差曲面，并得到多項(xiàng)式系數(shù)。最后，在DOA估計(jì)時(shí)利用多項(xiàng)式系數(shù)計(jì)算所有方向和頻率上的導(dǎo)向矢量。該方法適用于寬帶陣列，且需要的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量小。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法的校正誤差非常小。因此，該方法具有一定的工程實(shí)用價(jià)值。

有源校正，模型誤差，寬帶陣列，曲面擬合，最小二乘

引言

波達(dá)方向（DOA，Direction of Arrival）估計(jì)是陣列信號(hào)處理領(lǐng)域里的一個(gè)重要分支，廣泛應(yīng)用在雷達(dá)、通信和地震等諸多領(lǐng)域。然而，DOA估計(jì)算法必須在理想的陣列模型條件下才能取得良好的效果，但在實(shí)際中各種模型誤差不可避免，導(dǎo)致DOA算法估計(jì)性能受到嚴(yán)重影響。陣列模型誤差的類型［1］主要有陣元方向圖不一致性誤差、通道幅相誤差、陣列位置誤差和陣元之間的互耦誤差等，校正模型誤差是DOA估計(jì)算法走向?qū)嵱没年P(guān)鍵步驟之一。

現(xiàn)有的模型誤差校正方法可分為有源校正和自校正兩大類，有源校正和自校正又可以分為參數(shù)化校正和非參數(shù)化校正兩類方法。有源校正［2-3］通過(guò)設(shè)置方位精確已知的校正源對(duì)陣列誤差進(jìn)行離線估計(jì)，而自校正［4-5］則不需要，自校正通常對(duì)陣列誤差和入射信號(hào)方向聯(lián)合估計(jì)，或只對(duì)入射信號(hào)方向進(jìn)行估計(jì)；參數(shù)化校正方法［6-7］對(duì)模型誤差進(jìn)行參數(shù)化建模，估計(jì)模型誤差的參數(shù)即可，校正精度高，但陣列系統(tǒng)中一般同時(shí)存在多種類型的誤差，且模型誤差的類型未知，很難對(duì)模型誤差進(jìn)行參數(shù)建模，因此，參數(shù)化校正方法實(shí)用性差；非參數(shù)化自校正方法主要有MNT（Modined Nominal Transforma tion）算法［8］、Toeplitz化方法［9］等，這類方法既不需要設(shè)置校正源，也不需要對(duì)模型誤差進(jìn)行建模，但校正精度較低。實(shí)際中一般采用非參數(shù)化有源校正方法，非參數(shù)化有源校正方法主要是格點(diǎn)導(dǎo)向矢量測(cè)量法［10］。該方法在格點(diǎn)方向上設(shè)置精確校正的信號(hào)源，通過(guò)實(shí)測(cè)的陣列接收信號(hào)計(jì)算陣列導(dǎo)向矢量，并通過(guò)方向內(nèi)插和頻率內(nèi)插計(jì)算所有方向和頻率上的導(dǎo)向矢量。該方法實(shí)用性相對(duì)較強(qiáng)，但存在兩個(gè)缺點(diǎn)，一是對(duì)所有格點(diǎn)方向上的導(dǎo)向矢量進(jìn)行存儲(chǔ)，因此，存儲(chǔ)量較大，二是采用線性內(nèi)插，不能反映陣列流型曲面，因此精度較低。為此，本文引入曲面擬合［11-12］技術(shù)對(duì)格點(diǎn)導(dǎo)向矢量測(cè)量法進(jìn)行改進(jìn)，提出基于曲面擬合的寬帶陣列模型誤差有源校正方法。本文方法存儲(chǔ)量低，校正誤差小，仿真實(shí)驗(yàn)將對(duì)本文方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 寬帶陣列模型

1.1 理想陣列模型

以均勻線陣為例，建立陣列信號(hào)模型。均勻線陣的陣列結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中，相鄰陣元之間間隔為d，第i個(gè)入射信號(hào)si（t）的方位角為φi，-π/2≤φi≤π/2，i=1，2，…，D。以陣元1為參考，第i個(gè)信號(hào)到達(dá)第m個(gè)陣元的時(shí)間延遲為：

顯然，1，i=0。陣列輸出信號(hào)為：

其中，第m陣元輸出的信號(hào)可表示為：

nm（t）為陣元m的接收噪聲，各陣元噪聲之間相互獨(dú)立。

如果將寬帶信號(hào)si（t）看作是J個(gè)窄帶信號(hào)的疊加，即：

因此，x（t）可以表示為：

圖1 均勻線陣結(jié)構(gòu)圖

1.2 模型誤差條件下陣列模型

其中，?表示點(diǎn)乘，φ1（f，φ）、φ2（f，φ）、…分別表示方向圖誤差、陣列位置誤差等。此時(shí)，式（6）變?yōu)椋?/p>

可令

其中，ψi（f，φ）表示陣元i的模型誤差曲面。

2 基于曲面擬合的誤差校正方法

2.1 方法描述

（1）布置好陣列，選定部分進(jìn)行導(dǎo)向矢量測(cè)量的離散方向點(diǎn)，記為θ1，θ2，…，θI；

（2）在當(dāng)前測(cè)量方向θi上設(shè)置精確校正的寬帶信號(hào)源，對(duì)陣列輸出信號(hào)x（t）進(jìn)行采樣得到x（n），n=1，2，…，N，N為采樣快拍數(shù)，計(jì)算陣元1輸出信號(hào)的平均功率P1（θi），其計(jì)算公式為：

（3）將x（n）分為K段，分別記為xk（n），k=1，2，…，K，對(duì)每段陣列信號(hào)進(jìn)行離散傅里葉變換，記Xk（j）=DFT（xk（n）），j=1，2，…，J；

（4）計(jì)算陣元1輸出信號(hào)各頻點(diǎn)功率

其中，Xm，k（j）為Xk（j）的第m個(gè)元素；

對(duì)Rj進(jìn)行特征分解，最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量表示信號(hào)子空間，記為Γj，Γj即為θ方向上的導(dǎo)向矢量測(cè)量值；

（6）選擇參考頻率和方向?qū)Ζ進(jìn)行歸一化，得到誤差條件下導(dǎo)向矢量的測(cè)量值為：

（7）計(jì)算模型誤差測(cè)量值

本文方法的擬合誤差為：

幅度的擬合誤差和相位的擬合誤差分別為：

2.2 最小二乘法曲面擬合

可以看出，曲面擬合是本文方法的關(guān)鍵。曲面擬合就是利用曲面上或接近曲面的一組離散點(diǎn)，尋求良好的曲面方程。本文采用最小二乘法進(jìn)行曲面擬合。

其中，αq，p可為復(fù)數(shù)。將導(dǎo)向矢量測(cè)量結(jié)果帶入式（26）可得：

聯(lián)立所有測(cè)量結(jié)果可得：

式（30）是超定方程，所以只能求其最小二乘意義下的解。一般情況下，方程組式（30）的最小二乘解總是存在的，為：

其中，·+表示·的Moore-Penrose逆［13］。Λ0即為模型誤差曲面的多項(xiàng)式擬合系數(shù)。

由于本文方法只保留多項(xiàng)式擬合系數(shù)，因此，本文方法只需要很少的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)空間。

3 仿真分析

五元均勻線陣，工作帶寬為128 MHz～256 MHz，600 MHz的采樣頻率。陣元位置安裝存在誤差，實(shí)際位置與理想位置見(jiàn)下頁(yè)表1；同時(shí)存在通道幅相誤差，各通道系統(tǒng)函數(shù)見(jiàn)表2。對(duì)陣列導(dǎo)向矢量進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量間隔為5°，離散傅里葉變換采用FFT，相鄰頻點(diǎn)之間的間隔為1 MHz。按式（26）建立曲面多項(xiàng)式，階數(shù)為8，求其最小二乘解。圖2和圖3分別是校正后陣元2的擬合模型誤差曲面與真實(shí)模型誤差曲面之間的幅度誤差圖和相位誤差圖；圖4和圖5是校正前后的空間譜圖，兩入射信號(hào)方向分別為-30°和25°，采用的寬帶空間譜算法是CSSM算法。

表1 陣元位置

表2 各通道系統(tǒng)函數(shù)

圖2 擬合誤差（幅度）

圖3 擬合誤差（相位）

圖4 校正前空間譜圖

圖5 校正后空間譜圖

一般情況下，模型誤差的類型是未知的，但本文方法不需要知道模型誤差的類型。首先，圖2和圖3分別從幅度和相位兩方面顯示本文方法具有非常小的校正誤差，表明本文方法非常優(yōu)越。其次，從圖4和圖5對(duì)比可知，經(jīng)過(guò)模型誤差校正，入射信號(hào)的方向可以被正確估計(jì)出來(lái)，證明本文方法效果非常好。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文利用多項(xiàng)式曲面擬合代替模型誤差建模，提出一種新的模型誤差校正方法。只要多項(xiàng)式階數(shù)選擇足夠大，本文方法的校正誤差就會(huì)非常小。本文方法不需要知道模型誤差類型，仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文方法的有效性。因此，本文方法具有一定的實(shí)用價(jià)值。為進(jìn)一步提高校正精度和降低多項(xiàng)式系數(shù)，可對(duì)模型誤差曲面進(jìn)行分塊擬合，這在后續(xù)研究中有待實(shí)現(xiàn)。

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Active Calibration for Model Errors of Wideband Array Based on Surface Fitting

ZHANG Xing-liang，WANG Ke-ren，RUAN Huai-lin
（Electronic Engineering Institute of PLA，Hefei 230037，China）

Considering that array model errors is diffcult to be modeled，a new non-parametric method of active calibration is proposed in this paper.First，the steering vectors in discrete directions are measured.Then，all curved surfaces of model errors is fitted with the measured steering vectors. Finally，the multinomial coefficients of the curved surfaces are used to compute the steering vectors for DOA estimation.The new method which requires little memory space，is applicable to wideband array. The results of simulation experiments show that the calibration errors of the new method are very small. Therefore，the new algorithm is valuable in engineering practice.

active calibration，model error，wideband array，surface fitting，least-square

TN911.23

A

1002-0640（2014）09-0015-04

2013-08-05

2013-09-17

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61171170）

張興良（1985- ），男，安徽合肥人，博士研究生。研究方向：雷達(dá)信號(hào)處理、智能天成。