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    圓錐曲線中的垂徑定理

    2021-11-24 09:02:28盧會(huì)玉
    數(shù)理化解題研究 2021年31期
    關(guān)鍵詞:垂徑橫坐標(biāo)雙曲線

    盧會(huì)玉

    (甘肅省嘉峪關(guān)市第一中學(xué) 735100)

    筆者發(fā)現(xiàn)高考中考查類似于圓的垂徑定理的題目不時(shí)出現(xiàn),值得深入探究.垂徑定理是數(shù)學(xué)平面幾何(圓)中的一個(gè)定理,它的通俗表達(dá)是:垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對(duì)的兩條弧.垂徑定理是圓的重要性質(zhì)之一,它是證明圓內(nèi)線段、角相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù),也為圓中的計(jì)算、證明和作圖提供了依據(jù)、思路和方法.如果能將圓的垂徑定理所涉及的思想和方法遷移到橢圓、雙曲線、拋物線上,那無疑是一種創(chuàng)新的研究思路.

    一、試題呈現(xiàn)

    題1 已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1(-4,0),F2(4,0),過點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B,且|F1B|+|F2B|=10.橢圓上不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件:|F2A|,|F2B|,|F2C|成等差數(shù)列.

    (1) 求該橢圓的方程;

    (2) 求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo);

    (3) 設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m,求m的取值范圍.

    二、試題解析

    故弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4.

    三、引申探究

    1.圓中的垂徑定理

    為了討論方便,假設(shè)下文所有問題的討論中所涉及的直線的斜率都存在.

    (1)如圖2,在圓O中,E為弦AB中點(diǎn),則OE⊥AB,即kOE·kAB=-1.那么,把弦AB向外平移到與圓相切,又會(huì)有什么性質(zhì)呢?

    (2)如圖3,在圓O中,直線l與圓O相切于點(diǎn)E,則OE⊥l,即kOE·kl=-1.那么,當(dāng)弦AB過原點(diǎn)時(shí),又會(huì)有什么性質(zhì)呢?

    (3)如圖4,AB為圓O直徑,點(diǎn)E是圓上異于A,B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn),則BE⊥AE,即kAE·kBE=-1.

    2.橢圓中的垂徑定理

    3.雙曲線中的垂徑定理

    趙三喃喃著走出家門,雖然全村的人死了不少,雖然莊稼在那里衰敗,鐮刀他卻總想出賣,鐮刀放在家里永久刺著他的心。

    4.圓、橢圓與雙曲線(統(tǒng)稱為有心圓錐曲線)中垂徑定理的統(tǒng)一結(jié)論

    5.拋物線中的垂徑定理

    性質(zhì)8 在拋物線y2=2ax(a≠0)中,E(x0,y0)為弦AB的中點(diǎn),則kAB·y0=a.

    性質(zhì)9 若直線l與拋物線y2=2ax(a≠0)相切于點(diǎn)E(x0,y0),則kAB·y0=a.

    6.垂徑定理的應(yīng)用

    例3 已知直線l交橢圓4x2+5y2=80于M,N兩點(diǎn),B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn),若△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn),則直線l的方程為____.

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