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    一次函數(shù)和二次函數(shù)中的“恒成立問題”

    2014-06-10 12:26:03劉漢香
    成才之路 2014年15期
    關(guān)鍵詞:對稱軸實數(shù)數(shù)形

    劉漢香

    恒成立問題是歷年高考中的一個熱點問題,在數(shù)學研究中有著很重要的價值,在一次函數(shù)和二次函數(shù)中有著很重要的應(yīng)用,涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖像,滲透著函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等思想方法,有利于考查學生的綜合解題能力,培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性 。

    函數(shù)在給定條件的恒成立問題表現(xiàn)形式通常有以下幾種: 函數(shù)的定義域為全體實數(shù)R、不等式的解為一切實數(shù)、在給定區(qū)間上某關(guān)系式恒成立、表達式的值恒大于a等……

    一、一次函數(shù)型

    給定一次函數(shù)y=f(x)=kx+b(a≠0),或者原題可化為一次函數(shù)型,則由數(shù)形結(jié)合思想可以利用一次函數(shù)知識求解。

    若y=f(x)在[x1,x2]內(nèi)恒有f(x)>0,則根據(jù)函數(shù)的圖像(直線)可得結(jié)論等價于f(x■)>0f(x■)>0 。同理,若在x■,x■內(nèi)恒有f(x)<0,則有f(x■)<0f(x■)<0。

    例1.已知一次函數(shù)f(x)=(m-6)x+3m-4,若對任意x?綴[-2,2],恒有f(x)>0成立,求m的取值范圍。

    分析:本題是一次函數(shù)恒成立的問題,首先滿足其基本解題策略是利用數(shù)形結(jié)合思想,通過圖像可知函數(shù)圖像位于x軸上方,不論圖像是上升還是下降,都要滿足在區(qū)間兩個端點處函數(shù)值大于0。

    m≠6f(-2)>0f(2)>0 ,即m≠6-2m+12+3m-4>02m-12+3m-4>0。解得m>■且m≠6。

    例2. 當|a|?燮1時,若不等式x■+(a-6)x+9-3a>0恒成立,求x的取值范圍。

    分析:本題是關(guān)于x的二次函數(shù),出現(xiàn)了兩個字母:x及a,還可看作是關(guān)于變量a的函數(shù),則問題可轉(zhuǎn)化為在[-1,1]內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)大于0恒成立的問題,這樣更為簡捷。

    原不等式轉(zhuǎn)化為(x-3)a+x2-6x+9>0。

    令f(a)=(x-3)a+x2-6x+9,則由題意可知:

    f(-1)=-(x-3)+x2-6x+9>0f(1)=x-3+x2-6x+9>0,整理得x2-7x+12>0x2-5x+6>0,解得x>4或x<3x>3或x<2?!鄕?綴(4,+∞)∪(-∞,2)。

    此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間[m,n]上的圖像是一線段,位于x軸上方或者是下方,只需保證該線段兩端點函數(shù)值均大于0,或者小于0即可。

    二、二次函數(shù)型

    二次函數(shù)的問題是恒成立問題中出現(xiàn)頻率極高的類型題,是高考考查的一個重點內(nèi)容,通常與三角函數(shù)導數(shù)等類型題結(jié)合。這里介紹一下二次函數(shù)的簡單基礎(chǔ)問題,其主要形式有:

    (1)二次函數(shù)全體實數(shù)上的恒成立問題主要考慮開口方向和△。

    (2)二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題,轉(zhuǎn)化求最值或者是根的分布知識求解。下面針對這兩種類型給出例題解析:

    例3. 已知函數(shù)y=■的定義域為R,求實數(shù)m的取值范圍。

    分析:mx2-6mx+m+8?叟0在R上恒成立,當m=0時,8?叟0成立,符合題意;當m≠0時,則m>0?駐=36m2-4m(m+8)?燮0,解得0

    本題注意考慮根號下二次項系數(shù)是否為零,結(jié)合分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想即可。

    例4. 已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+2在R上f(x)?叟0恒成立,求a的取值范圍。

    分析:y=f(x)的函數(shù)圖像都在X軸及其上方,由圖1所示:

    略解:解得?駐=4a2+4a?燮0。

    變式1:如圖2,若f(x)?叟0在區(qū)間[-1,1]上恒成立,求a的取值范圍。

    分析:此類型題屬于二次函數(shù)區(qū)間上恒成立問題,有兩種思路:①轉(zhuǎn)化求最值,討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系;②利用根的分布知識結(jié)合圖像列出關(guān)系式求解。

    解法一:f(x)=(x-a)2-a2+2,對稱軸為x=a。

    ①當a<-1時,f(x)min=f(-1)=1+2a+

    2?叟0,解得a?叟-■,∴-■?燮a<-1。

    ②當a>1時,f(x)min=f(1)=1-2a+

    2?叟0,解得a?燮■,∴1

    ③當-1?燮a?燮1時,f(x)min=f(a)=-a+

    2?叟0,解得-■?燮a?燮■,∴-1?燮a?燮■。綜上所述,-■?燮a?燮■。

    解法二:?駐=4a2-8?燮0,解得-■?燮a?燮■。

    ?駐=4a2-8>0f(-1)?叟0f(1)?叟0a?燮-1或a?叟1,解得a?叟-■a(-1)?叟0a?燮■a?燮-1或a?叟1。

    ∴■

    變式二:若f(x)?叟-1在區(qū)間[-1,1]上恒成立,求a的取值范圍。

    分析:將-1移到不等式左邊,得到f(x)+1?叟0在區(qū)間[-1,1]上恒成立,參照變式一得到結(jié)果,構(gòu)造新的函數(shù)g(x)=x2-2ax+3,則

    g(x)?叟0在[-1,1]上恒成立。

    解法一:g(x)=(x-a)2-a2+3,對稱軸為x=a。

    ① 當a<-1時,g(x)min=g(-1)=1+2a+3?叟0,解得a?叟-2,∴-2?燮a<-1。②當a>1時,g(x)min=g(1)=1-2a+3?叟0,解得a?燮2,∴1

    解法二:?駐=4a2-12?燮0,解得-■?燮a?燮■。

    ?駐=4a2-12>0g(-1)?叟0g(1)?叟0a?燮-1或a?叟1,解得a?叟■或a<-■a?叟-2a?燮2a?燮-1或a?叟1?!唷?a?燮2或-2?燮a<-■。綜上所述,-2?燮a?燮2。

    (遼寧省瓦房店市第八高級中學數(shù)學組)

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