求解雙曲守恒律方程的高分辨率熵相容格式

任 炯， 封建湖， 劉友瓊， 梁 楠

（1.長安大學(xué)理學(xué)院， 陜西西安 710064；2.西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院流體力學(xué)系， 陜西西安 710072）

求解雙曲守恒律方程的高分辨率熵相容格式

任 炯1，2， 封建湖1，*， 劉友瓊1， 梁 楠1

（1.長安大學(xué)理學(xué)院， 陜西西安 710064；2.西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院流體力學(xué)系， 陜西西安 710072）

為提高熵相容格式的精度，利用限制器機(jī)制構(gòu)造高分辨率格式，將構(gòu)造的通量限制器插入熵相容格式，得到一類高分辨率熵相容格式.構(gòu)造Euler方程高分辨率熵相容格式時(shí)，對熵相容格式中的幾個(gè)參數(shù)做簡單調(diào)整，提高了接觸間斷處的分辨率.將所得格式的數(shù)值結(jié)果與熵相容格式的數(shù)值結(jié)果比較表明，構(gòu)造的高分辨率熵相容格式具有穩(wěn)健和基本無振蕩等特性.

雙曲守恒律；熵相容格式；限制器；高分辨率

0 引言

在一維情況下，雙曲守恒律方程的一般形式為

其中（x，t）∈R×R＋，u：R×R＋→RN（N≥1）是守恒變量，f（u）是通量函數(shù).該類方程作為流體力學(xué)中重要的物理模型，在航空航天、氣象、海洋等科學(xué)工程領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，其數(shù)值求解的方法一直是國內(nèi)外眾多學(xué)者致力于研究的方向.對于非線性雙曲守恒律方程，即使所給的初始條件光滑，其解在時(shí)間推進(jìn)的某個(gè)時(shí)刻也可能會出現(xiàn)間斷，產(chǎn)生激波.間斷解的出現(xiàn)使雙曲守恒律方程的解違背了古典解的理論，于是Lax在1954年提出了弱解［1］的概念，允許間斷解存在，但弱解不唯一，這就需要從方程的實(shí)際物理背景出發(fā)給出限制條件來確定物理相關(guān)的解.這個(gè)工作也是Lax完成的，他從物理學(xué)中的熱力學(xué)第二定律出發(fā)，提出：如果弱解u滿足熵穩(wěn)定條件［2］

則u就是唯一的具有物理意義的解，其中E（u）是u的凸函數(shù)，滿足E″（u）＞0，被稱為熵函數(shù)，F(xiàn)（u）稱為熵通量函數(shù)．滿足式（2）的E（u）和F（u）被稱為熵對.為了滿足熵穩(wěn)定條件，Tadmor首先研究了熵穩(wěn)定和數(shù)值粘性之間的關(guān)系，在文獻(xiàn)［3］和［4］中通過引入熵變量和熵勢的概念，構(gòu)造了一類二階熵守恒格式，該格式的數(shù)值通量保持總熵不變，適用于光滑解的計(jì)算，但是當(dāng)有間斷解出現(xiàn)時(shí)，由于熵守恒格式缺乏熵的耗散機(jī)制，使其數(shù)值解表現(xiàn)了嚴(yán)重的不穩(wěn)定性，這個(gè)特點(diǎn)可由第3節(jié)中的數(shù)值算例直觀說明.在此基礎(chǔ)上Tadmor又提出：一個(gè)三點(diǎn)格式只需含有比熵守恒格式更多的粘性則是熵穩(wěn)定的.所以要達(dá)到熵穩(wěn)定，只需在該熵守恒格式的基礎(chǔ)上適當(dāng)?shù)丶尤胍恍┱承?但究竟應(yīng)該添加多少數(shù)值粘性，一直以來都是相關(guān)研究人員思索的問題，其中Tadmor，Zhong［5－6］和Roe都做了相應(yīng)的工作，但以Roe的方法最為理想和實(shí)用，Roe是在熵守恒格式的基礎(chǔ)上加上他提出的Roe格式的數(shù)值粘性，獲得了一階精度的熵穩(wěn)定ERoe格式［7］，隨后在2009年，他和Ismail進(jìn)一步通過分析得到：解在跨過激波時(shí)產(chǎn)生了激波強(qiáng)度立方倍的熵增，在此基礎(chǔ)上發(fā)展了對數(shù)值粘性項(xiàng)更精確量化的熵相容格式［8］，但由于其數(shù)值粘性項(xiàng)只有一階精度，從而導(dǎo)致該格式比熵守恒格式的精度有所降低.鑒于此，本文采用傳統(tǒng)的構(gòu)造二階總變差減少（total variation diminishing，簡稱TVD）格式的方法［9－10］，即利用通量限制器機(jī)制提高熵相容格式的精度，達(dá)到高分辨率的要求.本文通過推廣常用的Superbee限制器構(gòu)造了新的通量限制器，并利用該限制器構(gòu)造得到高分辨率熵相容格式.由于構(gòu)造的通量限制器的曲線落在二階TVD區(qū)域內(nèi)，且過（1，1）點(diǎn)（見圖1（a）），所以能夠保證新構(gòu)造的高分辨率熵相容格式滿足二階精度，并且在限制器的開關(guān)調(diào)節(jié)作用下，該格式能夠達(dá)到自適應(yīng)性：在解的光滑區(qū)域使用二階精度熵守恒格式，同時(shí)避免非物理解的產(chǎn)生；而在間斷區(qū)域采用熵相容格式，保證有足夠的數(shù)值粘性抑制振蕩.另外本文在構(gòu)造Euler方程高分辨率熵相容格式時(shí)，對其相應(yīng)的熵相容格式中的幾個(gè)參數(shù)做了簡單調(diào)整，以改善接觸間斷處的捕捉效果.最后在第3節(jié)通過幾個(gè)數(shù)值算例直觀形象地說明了新格式具有穩(wěn)健性、高精度性和無振蕩性等特點(diǎn).

本文采用均勻網(wǎng)格上的半離散有限體積格式

用Δx表示空間步長，Δt表示時(shí)間步長，由于該格式與時(shí)間相關(guān)，所以時(shí)間方向的離散可以采用高精度的方法.數(shù)值算例在時(shí)間演化上采用三階Runge-Kutta方法［11］：

1 通量限制器的構(gòu)造

對原始的Superbee限制器［12］

式（3）中的α，β，γ這三個(gè)參數(shù)在各自的范圍內(nèi)可以連續(xù)變化，從而產(chǎn)生了一類限制器，我們將此類限制器稱為廣義Superbee限制器，簡記為GSbee類限制器.顯然，這類限制器都在Sweby［14］給出的限制器的二階TVD區(qū)域（見圖1（a））內(nèi)，且都滿足φ（1）＝1（即過（1，1）點(diǎn)），能達(dá)到二階的要求，隨著α，β，γ的連續(xù)變化，GSbee類限制器覆蓋了整個(gè)二階TVD區(qū)域.將這類限制器應(yīng)用于下節(jié)將研究的標(biāo)量高分辨率熵相容格式在一維Burgers方程間斷初值問題上進(jìn)行大量的數(shù)值試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)對于該問題，參數(shù)α，β，γ的變化使Gsbee類限制器的功效表現(xiàn)出某些規(guī)律：

1）當(dāng)固定β和γ，α變化：α越大限制器功效越好；

2）當(dāng)固定α和γ，β變化：β越大限制器功效越好；

3）當(dāng)固定α和β，γ變化：γ越小限制器功效越好；

為簡便，這個(gè)試驗(yàn)過程就不一一展示了，而在此，基于以上試驗(yàn)結(jié)論的啟發(fā)，我們分別取α，β，γ的極限，即α＝1，β＝2，γ＝1，得到一個(gè)新的限制器：

這個(gè)限制器可以簡化為

此時(shí)，該限制器的形式類似于Minmod［15］限制器

且容易看出Superbee和Minmod限制器都是GSbee類限制器的特殊情況，即

當(dāng)α＝1，β＝2，γ＝2時(shí)，是Superbee限制器；

當(dāng)α＝1，β＝1，γ＝1時(shí)，是Minmod限制器.

在二階TVD區(qū)域內(nèi)，當(dāng)0＜θ≤1時(shí)，新的限制器是Superbee限制器的部分，當(dāng)θ＞1時(shí)，是Minmod限制器的部分，所以將該新的限制器稱為S-M限制器（其中S是Superbee的首字母，M是Minmod的首字母）.Superbee限制器、Minmod限制器和S-M限制器各自在二階TVD區(qū)域中的曲線分別如圖1（b）－（d）中的粗黑線所示.

圖1 二階TVD區(qū)域和限制器圖示Fig.1 Second order TVD regions and limiters

從圖1（d）可以看到S-M限制器在二階TVD區(qū)域的邊界上，且通過點(diǎn)（1，1），能夠保持格式的二階精度.為方便于下節(jié)構(gòu)造高分辨率熵相容格式和在編程實(shí)現(xiàn)時(shí)減少邏輯語句的輸入，我們將S-M限制器用下面的形式表示

2 高分辨率熵相容格式

2.1 一維標(biāo)量守恒律方程

2.1.1 熵守恒格式

的積分形式［3－4］

Tadmor同時(shí)證明了熵守恒格式具有二階精度.

2.1.2 熵相容格式

熵守恒格式保持了總熵不變，而要滿足熵穩(wěn)定，總熵必須有所耗散，Ismail［8］通過在熵守恒通量的基礎(chǔ)

Tadmor在文獻(xiàn)［3－4］中由該積分形式出發(fā)推導(dǎo)出數(shù)值通量滿足熵守恒的條件

為了更好地推廣到方程組的情況，（8）式也可以寫成如下形式［8］

其中，符號［·］＝（·）j＋1－（·）j，ˉa＝（aj＋aj＋1）／2，aj＝f′（uj）．但是這個(gè)迎風(fēng)項(xiàng)的耗散量卻不足以抵消解在跨過激波時(shí)所產(chǎn)生的激波強(qiáng)度立方倍的熵增，于是Ismail在上述熵穩(wěn)定格式（9）的迎風(fēng)數(shù)值粘性項(xiàng)的平均特征速度中補(bǔ)充了一個(gè)與特征速度差分的絕對值成比例的量來使熵的耗散更精確，從而得到了熵相容通量

其中，上角標(biāo)E為熵Entropy的縮寫，C為相容Consistent的縮寫，α＝1／6，熵相容格式是目前對熵的變化估計(jì)得最精確的一種熵穩(wěn)定格式，但是由于其數(shù)值粘性項(xiàng)只有一階精度，所以導(dǎo)致熵相容格式的精度比熵守恒格式有所降低.

2.1.3 高分辨率熵相容格式

這雖然不影響格式的自適應(yīng)性，但可能影響限制器的作用范圍，幸運(yùn)的是我們在第2節(jié)構(gòu)造的S-M限制器（4）滿足φ（θj＋1／2）≤1，所以完全可以不用考慮加絕對值的問題，因此本文將采用格式（12）進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)，并將該格式稱為ECL格式.需要進(jìn)一步說明的是該格式是在原始熵相容格式的基礎(chǔ)上通過限制器的開關(guān)作用合理地調(diào)節(jié)解在各個(gè)區(qū)域上的熵的耗散量，并沒有改變熵的耗散方向.目前還無法從理論上嚴(yán)格證明格式（12）和（13）的穩(wěn)定性，但是數(shù)值算例中并沒有出現(xiàn)違反熵條件的現(xiàn)象.另外需要注意的是，文獻(xiàn)［10，14］中基于一階迎風(fēng)格式和二階Lax-Wendroff格式構(gòu)造高分辨率格式時(shí)，提到：為盡可能減少格式的數(shù)值耗散，提高對間斷的分辨率，需要最大化含有限制器的反擴(kuò)散通量（即限制器曲線需盡可能靠近二階TVD區(qū)域的上邊界），而從（13）式看到，本文構(gòu)造的高分辨率熵相容格式中，含有限制器的通量是格式的耗散通量，所以在滿足TVD條件的情況下，若要減少格式的耗散，就應(yīng)該最小化耗散通量（即限制器曲線需盡可能靠近二階TVD區(qū)域的下邊界）.基于此分析，再結(jié)合圖1（d）中S-M限制器的曲線，我們認(rèn)為：利用S-M限制器構(gòu)造高分辨率熵相容格式是合理的.第3節(jié)的數(shù)值算例部分進(jìn)一步對此估計(jì)做了數(shù)值上的驗(yàn)證.

對于一維Burgers方程

2.2 一維Euler方程

考慮氣體動力學(xué)Euler方程

其中u＝［ρ，ρu，E］T是守恒型向量，f（u）＝［ρu，ρu2＋p，u（E＋p）］T是通量函數(shù)．ρ，u，p和E分別為密度、速度、壓強(qiáng)和總能，狀態(tài)方程為p＝（γ－1）（E－（ρu2）／2），γ＝1.4是比熱比，是聲速.選用Euler方程的熵對E（u）＝－ρS和F（u）＝－mS，其中m＝ρu是動量，S＝ln（pρ－γ）是Euler方程的熵，熵變量為

2.2.1 熵守恒格式

本文采用Roe的方法［8］得到Euler方程的熵守恒數(shù)值通量

關(guān)于對數(shù)平均的計(jì)算詳見文獻(xiàn)［8］.

2.2.2 熵相容格式

與標(biāo)量情形類似，Ismail在Euler方程的熵穩(wěn)定通量［7］本文將在下小節(jié)采用此通量進(jìn)行高分辨率格式的構(gòu)造，其中是Euler方程的右特征向量矩陣（詳見文獻(xiàn)［8］）.

2.2.3 高分辨率熵相容格式

3 數(shù)值算例

我們以熵守恒和熵相容格式的數(shù)值結(jié)果作為參照來說明新的高分辨率熵相容格式的特性；同時(shí)也說明我們在第2節(jié)構(gòu)造的S-M限制器（4）可以用來構(gòu)造高分辨率熵相容格式.

符號約定：

C：熵守恒格式；EC：標(biāo)量熵相容格式（10）；EC2：Euler方程組熵相容格式（15）；ECL：標(biāo)量高分辨率熵相容格式（12）；EC2L：Euler方程組高分辨率熵相容格式（17）；Exact：每個(gè)算例的精確解.

3.1 標(biāo)量數(shù)值試驗(yàn)

3.1.1 一維Burgers方程連續(xù)初值問題（精度測試）

考慮一維Burgers方程的初值問題，在區(qū)域［－2，2］上定義初始條件為

取u0＝0，u1＝0.5，CFL＝0.4，空間網(wǎng)格數(shù)為N＝40，采用周期邊界條件，圖2（a）和（b）分別給出了時(shí)間t＝0.32和t＝0.96的數(shù)值結(jié)果圖，且每個(gè)圖中都分別畫出了熵相容格式EC和高分辨率熵相容格式ECL的數(shù)值解以及精確解，從這兩幅圖我們可以看到，在解的光滑區(qū)域，兩種格式對解的捕捉效果相似，但當(dāng)解的梯度變大時(shí)，ECL格式相對EC格式表現(xiàn)出了更銳利的效果，并且在表1中，通過兩種格式精度的比較，也說明了通過通量限制器構(gòu)造的高分辨率熵相容格式在一定程度上能夠提高熵相容格式的精度.

圖2 Burgers方程連續(xù)初值問題的數(shù)值結(jié)果Fig.2 Numerical results of continuous IVP of Burgers equation（N＝40）

表1 初值問題3.1.1在時(shí)間t＝0.32和t＝0.96的誤差的L1－范數(shù)Table 1 Initial value problem 3.1.1，L1-norms of errors at t＝0.32 and t＝0.96

3.1.2 一維Burgers方程間斷初值問題

在區(qū)域x∈［－1，1］上定義初始條件

采用周期邊界條件，取CFL＝0.4，空間網(wǎng)格數(shù)為N＝50，計(jì)算到時(shí)間t＝0.3．這個(gè)問題的精確解主要包括兩部分：左邊由－1到1產(chǎn)生了一個(gè)稀疏波，右邊由1到－1產(chǎn)生了一個(gè)定常激波.對本問題，我們采用了熵守恒C格式、熵相容EC格式和高分辨率熵相容ECL格式進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)，其結(jié)果見圖3，圖3（a）為C的結(jié)果，圖3（b）為EC的結(jié)果，圖3（c）為ECL的結(jié)果，可以看到在x＝1／3的激波位置，熵守恒格式表現(xiàn)了較強(qiáng)的色散效應(yīng)（即產(chǎn)生了強(qiáng)烈的振蕩），這是由于熵守恒格式?jīng)]有任何耗散機(jī)制的緣故；而EC格式對此現(xiàn)象進(jìn)行了完美的修正，這正是熵相容格式在熵守恒格式基礎(chǔ)上添加合適數(shù)量的數(shù)值粘性所起的作用，只是由于數(shù)值粘性項(xiàng)只有一階精度，所以使得EC格式的精度相對C格式有所降低，也使得稀疏波段抹平較為嚴(yán)重；基于前面兩種格式的特點(diǎn)，本文構(gòu)造的ECL格式在稀疏波段和波頭、波尾處都比EC有很大的改善，且同時(shí)保持了EC格式對激波的良好捕捉效果，無振蕩的產(chǎn)生，滿足高分辨率的特點(diǎn).通過觀察圖3 （d）中三種格式的總熵ΔxΣiu2i／2隨時(shí)間的變化及其和準(zhǔn)確解總熵變化的比較，可以看到C格式的總熵不變，保持熵守恒，而EC和ECL的總熵都是耗散的，保證了熵穩(wěn)定，且其耗散都多于精確解的耗散，所以都有抹平現(xiàn)象，但相對ECL，EC格式的耗散更多，抹平得也較為嚴(yán)重.

3.2 一維Euler方程組數(shù)值試驗(yàn)

3.2.1 一維Euler方程Lax激波管問題

取計(jì)算區(qū)域?yàn)椋郏?.5，0.5］，初始條件為

圖3 Burgers方程間斷初值問題的數(shù)值結(jié)果Fig.3 Numerical results of discontinuous IVP of Burgers equation（t＝0.3，N＝50）

采用齊次Neumann邊界條件，取CFL＝0.3，空間網(wǎng)格數(shù)為N＝200，計(jì)算到時(shí)間t＝0.16．其精確解從左到右依次包括稀疏波、接觸間斷和激波.采用C、EC2、EC2L格式對密度的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，見圖4（a）－（c）.同樣由于C格式缺乏耗散機(jī)制而表現(xiàn)出強(qiáng)烈的振蕩現(xiàn)象，而其他兩種格式的解都沒有產(chǎn)生振蕩，其中由于EC2格式是一階精度，在解的間斷位置抹平得較為嚴(yán)重，而EC2L格式在解的激波和接觸間斷處都表現(xiàn)出比較銳利的捕捉效果.圖4（d）中三種格式和精確解的總熵－ΔxΣi（ρiSi）隨時(shí)間變化的比較也可體現(xiàn)，C格式的總熵不變，精確解、EC2和EC2L格式的總熵都有所耗散，當(dāng)然精確解的熵耗散最少也最合適，EC2的多于EC2L，所以比EC2L抹平得嚴(yán)重.

3.2.2 一維Euler方程Sod激波管問題

取計(jì)算區(qū)域?yàn)椋郏?.5，0.5］，初始條件為

采用齊次Neumann邊界條件，取CFL＝0.3，空間網(wǎng)格數(shù)為N＝200，計(jì)算到時(shí)間t＝0.1．精確解包括三部分，分別為稀疏波、接觸間斷和激波.密度的計(jì)算結(jié)果如圖5（a）－（c）所示，與前述算例一樣，熵守恒C格式的解有明顯的振蕩，EC2格式對解的捕捉有很大的改進(jìn)，但間斷處的抹平現(xiàn)象同樣比較嚴(yán)重，而EC2L格式對此進(jìn)行了良好的改善.圖5（d）是各格式總熵變化的比較，與前算例的結(jié)論一樣：C的總熵不變，精確解的熵耗散最適中，EC2的熵耗散比EC2L的多，且這兩者的熵耗散都比精確解的多.

3.2.3 一維Euler方程低密度流問題

在區(qū)域［－0.5，0.5］上取初始條件

圖4 一維Euler方程Lax激波管問題的數(shù)值結(jié)果Fig.4 Numerical results of 1D Euler equation in Lax shock tube problem（t＝0.16，N＝200）

圖5 一維Euler方程Sod激波管問題的數(shù)值結(jié)果Fig.5 Numerical results of 1D Euler equation in Sod shock tube problem（t＝0.1，N＝200）

采用齊次Neumann邊界條件，取CFL＝0.3，空間網(wǎng)格數(shù)N＝200，計(jì)算到時(shí)間t＝0.05．其精確解包括兩個(gè)強(qiáng)稀疏波和一個(gè)平凡的接觸間斷.解的中間部分壓力幾乎為0，接近于真空狀態(tài)，很多數(shù)值方法在該位置會出現(xiàn)壓力為負(fù)的情況，使計(jì)算無法進(jìn)行，如熵守恒格式C計(jì)算到第11步時(shí)，壓力就為負(fù)了，圖6（a）只給出了第11步的數(shù)值結(jié)果.而其他兩種格式都能使計(jì)算順利完成，且都對解的結(jié)構(gòu)有準(zhǔn)確的捕捉，見圖6 （b）－（c）.對本算例，同樣有EC2L格式的結(jié)果優(yōu)于EC2格式的結(jié)果，進(jìn)一步體現(xiàn)了高分辨率熵相容格式的優(yōu)點(diǎn)，圖6（d）是其總熵關(guān)于時(shí)間變化的對比，可見C格式前10步的總熵依然沒有變化，而EC2L的熵耗散幾乎與精確解的完全重合，但如果放大圖的比例還是能看出，精確解的熵耗散稍小些，EC格式比起這兩者，其耗散就比較多了.

圖6 一維Euler方程低密度流問題的數(shù)值結(jié)果Fig.6 Numerical results of 1D Euler equation in Low density problem（t＝0.05，N＝200）

3.2.4 一維Euler方程強(qiáng)稀疏波問題

在區(qū)域［－10，15］上，初始條件為

采用齊次Neumann邊界條件，取CFL＝0.3，空間網(wǎng)格數(shù)為N＝200，計(jì)算到時(shí)間t＝0.01．其精確解包括稀疏波，接觸間斷和激波.依然采用上述三種格式，密度的計(jì)算結(jié)果如圖7所示.熵守恒C格式有明顯的振蕩，EC2和EC2L格式在稀疏波段均有一個(gè)平滑的過渡，但在間斷處，同3.2.1和3.2.2的算例一樣，EC2格式的抹平較嚴(yán)重，而EC2L有很大的改進(jìn)，充分體現(xiàn)了EC2L格式的優(yōu)良性.圖7（d）顯示了各格式對應(yīng)的總熵關(guān)于時(shí)間的變化，它們各自耗散的多少說明了與前面幾個(gè)算例相同的結(jié)論：在精確解熵耗散的對比下，熵守恒格式的熵不變；熵相容EC2格式的耗散最多，導(dǎo)致其數(shù)值結(jié)果在間斷處抹平嚴(yán)重；高分辨率熵相容EC2L格式的耗散少且較為適中，表現(xiàn)了銳利的捕捉效果.

3.2.5 一維Euler方程爆炸波問題

在計(jì)算區(qū)域［－0.5，0.5］上，初始條件為

圖7 一維Euler方程強(qiáng)稀疏波問題的數(shù)值結(jié)果Fig.7 Numerical results of 1D Euler equation in strong expansion problem（t＝0.01，N＝200）

采用反射邊界條件，取CFL＝0.4，空間網(wǎng)格數(shù)為N＝400，計(jì)算到時(shí)間t＝0.038．由于該問題的初始數(shù)據(jù)有兩次間斷，已經(jīng)無法用經(jīng)典的精確Riemann求解器計(jì)算其精確解，本文采用文獻(xiàn)［16］中的WENO-RF－3格式在800個(gè)空間網(wǎng)格上的數(shù)值解作為精確解，對比EC2和EC2L格式的數(shù)值結(jié)果，分別見圖8（a）和（b），很顯然EC2L比EC2有很大的改進(jìn)，這也進(jìn)一步說明了EC2L格式具有一定的實(shí)用性.

圖8 一維Euler方程爆炸波問題的數(shù)值結(jié)果Fig.8 Numerical results of 1D Euler equation in blast waves problem（t＝0.038，N＝400）

4 結(jié)論

通過推廣原始的Superbee限制器得到一類廣泛的GSbee類限制器，隨著α，β，γ的連續(xù)變化，這類限制器覆蓋了整個(gè)二階TVD區(qū)域；取α＝1，β＝2，γ＝1構(gòu)造出S-M限制器；然后根據(jù)傳統(tǒng)的構(gòu)造二階TVD格式的思想，利用此限制器構(gòu)造得到高分辨率熵相容格式，同時(shí)對Euler方程的熵相容格式的幾個(gè)參數(shù)做了簡單的調(diào)整，使其對接觸間斷的捕捉更精確；在本文的第3節(jié)通過幾個(gè)數(shù)值算例將所得高分辨率熵相容格式的數(shù)值結(jié)果與熵相容格式和熵守恒格式的數(shù)值結(jié)果比較分析，從直觀上說明了S-M限制器的高分辨率熵相容格式的合理性和優(yōu)良性.另外需要說明的是

1）本文只是在熵守恒和熵相容格式的基礎(chǔ)上，采用S-M限制器構(gòu)造高分辨率格式，至于S-M限制器是否適合于其他經(jīng)典格式的高分辨率格式構(gòu)造，還有待進(jìn)一步研究；

2）由于熵相容EC2格式對不同的問題需要調(diào)整一些參數(shù)的大?。?］，如αmin、αmax、β1和β2，所以得到的相應(yīng)的高分辨率熵相容格式如果要對所有的問題（包括定常［8］和非定常問題）都適用，同樣需要調(diào)整各個(gè)參數(shù)的大小.為了進(jìn)一步提高該格式的實(shí)用性，有待下一步從Euler方程熵相容格式本身的構(gòu)造上進(jìn)行改進(jìn)，如修正其格式中的穩(wěn)定項(xiàng)和熵增項(xiàng)；

3）最后是關(guān)于熵相容格式和高分辨率熵相容格式向高維問題的推廣使用，由于高維情形下每個(gè)點(diǎn)的信息具有無限多的傳播方向，為了更準(zhǔn)確地反映多維效應(yīng)的影響，我們將在未來的工作中將本文的格式與旋轉(zhuǎn)Riemann求解器結(jié)合，實(shí)現(xiàn)對高維問題的計(jì)算研究.

［1］Lax P D.Weak solutions of non-linear hyperbolic equations and their numerical computations［J］.Comm Pure Appl Math，1954，7（1）：159－193.

［2］Lax P D.Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves［C］∥11th of SIAM Regional Conferences Lectures in Applied Mathematics.Philadelphia：Society for Industrial and Applied Mathematics，1973：1－48.

［3］Tadmor E.The numerical viscosity of entropy stable schemes for systems of conservation laws［J］.Math Comp，1987，49 （179）：91－103.

［4］Tadmor E.Entropy stability theory for difference approximations of nonlinear conservation laws and related time-dependent problems［J］.Acta Numer，2003，12（1）：451－512.

［5］Tadmor E，Zhong W.Entropy stable approximations of Navier-Stokes equations with no artificial numerical viscosity［J］.J Hyperbolic Differ Equ，2006，3（3）：529－559.

［6］Tadmor E，Zhong W.Energy preserving and stable approximations for the two-dimensional shallow water equations［M］∥Mathematics and computation，a contemporary view，Proc of the third Abel symposium.Berlin Heidelberg：Springer，2008：67 －94.

［7］Roe P L.Entropy conservative schemes for Euler equations［R］.Talk at HYP 2006，Lyon，F(xiàn)rance.2006.

［8］Ismail F，Roe P L.Affordable，entropy-consistent Euler flux functions II：Entropy production at shocks［J］.J Comput Phys，2009，228（15）：5410－5436.

［9］Toro E F.Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics：A practical introduction［M］.Springer，1997.

［10］Thomas J W.Numerical partial differential equations：Finite difference methods［M］.Springer，1995.

［11］Gottlieb S，Shu C W，Tadmor E.High order time discretizations with strong stability properties［J］.SIAM Review，2001，43 （1）：89－112.

［12］Roe P L.Some contributions to the modeling of discontinuous flows［C］∥Large-scale computations in fluid mechanics. Providence，RI：American Mathematical Society，1985：163－193.

［13］Yee H C.Construction of explicit and implicit symmetric TVD schemes and their applications［J］.J Comput Phys，1987，68 （1）：151－179.

［14］Sweby P K.High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation Laws［J］.SIAM J Num Analy，1984，21 （5）：995－1011.

［15］Sweby P K，Baines M J.On convergence of Roe's scheme for the general non-linear scalar wave equation［J］.J Comput Phys，1984，56（1）：135－148.

［16］Jiang G S，Shu C W.Efficient implementation of weighted ENO schemes［J］.J Comput Phys，1996，126（1）：202－228.

High Resolution Entropy Consistent Schemes for Hyperbolic Conservation Laws

REN Jiong1，2，F(xiàn)ENG Jianhu1，LIU Youqiong1，LIANG Nan1

（1．College of Science，Chang'an University，Xi'an 710064，China；2．Department of Fluid Dynamics，College of Aeronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi'an 710072，China）

To improve accuracy of entropy consistent schemes，we proposed high resolution entropy consistent schemes by inserting a new flux limiter into entropy consistent schemes.It uses limiter mechanism to construct high resolution schemes.In constructing high resolution entropy consistent schemes of Euler equations，we improve resolution of contact discontinuity by adjusting parameters of corresponding entropy consistent schemes.Several numerical experiments illustrate robustness and essentially non-oscillations of the schemes.

hyperbolic conservation laws；entropy consistent scheme；limiter；high resolution

date：2013－07－17；Revised date：2013－12－31

O354；O241.82

A

2013－07－17；

2013－12－31

國家自然科學(xué)基金（11171043）和長安大學(xué)中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)（CHD2102TD015）資助項(xiàng)目

任炯（1985－），女，山西呂梁，碩士生，從事科學(xué)與工程中的高性能計(jì)算技術(shù)研究，E-mail：rensj6962＠163.com

*通訊作者

1001-246X（2014）05-0539-13