基于球桿儀的旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差測(cè)量和辨識(shí)

陳劍雄， 林述溫， 韓國(guó)強(qiáng)，2

（1.福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福建福州 350108；2.中國(guó)科學(xué)院福建物質(zhì)結(jié)構(gòu)研究所，福建福州 350002）

基于球桿儀的旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差測(cè)量和辨識(shí)

陳劍雄1， 林述溫1， 韓國(guó)強(qiáng)1，2

（1.福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福建福州 350108；2.中國(guó)科學(xué)院福建物質(zhì)結(jié)構(gòu)研究所，福建福州 350002）

通過(guò)圓弧測(cè)量軌跡，移動(dòng)球桿儀測(cè)量球心在旋轉(zhuǎn)工作臺(tái)上3個(gè)安裝位置的9項(xiàng)誤差，采用齊次變換理論建立幾何誤差辨識(shí)模型，引入系數(shù)矩陣條件數(shù)進(jìn)行安裝參數(shù)的優(yōu)化選取，提出一種辨識(shí)旋轉(zhuǎn)軸4項(xiàng)位置和6項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差的方法。最后，在四軸數(shù)控加工中心上進(jìn)行了測(cè)量和驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，該方法可辨識(shí)出全部的幾何誤差項(xiàng)，通過(guò)對(duì)幾何誤差計(jì)算出的預(yù)測(cè)值和球桿儀的測(cè)量值的比較，預(yù)測(cè)值的絕對(duì)誤差小于0.003 mm，具有辨識(shí)精度高、測(cè)量省時(shí)的優(yōu)點(diǎn)。

計(jì)量學(xué)；旋轉(zhuǎn)軸；幾何誤差；球桿儀；條件數(shù)

1 引 言

數(shù)控回轉(zhuǎn)工作臺(tái)是多軸數(shù)控機(jī)床的重要組成部分，由于其零部件在制造、裝配的精度有限或者使用過(guò)程發(fā)生磨損等因素，存在不可避免的幾何誤差，對(duì)數(shù)控機(jī)床的加工精度具有顯著的影響［1，2］。根據(jù)ISO 230-7（2011）［3］的定義，旋轉(zhuǎn)軸的幾何誤差分為4項(xiàng)軸線位置和6項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差。對(duì)于軸線的位置誤差，主要通過(guò)多軸聯(lián)動(dòng)的測(cè)量軌跡，采用球桿儀［4～6］、3D測(cè)頭［7］、4D測(cè)頭［8］或電容測(cè)頭［9］等精密儀器進(jìn)行測(cè)量和辨識(shí)。這些方法忽略了與位置有關(guān)的運(yùn)動(dòng)誤差，并不能準(zhǔn)確反映旋轉(zhuǎn)軸的幾何誤差空間分布情況。對(duì)于旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)誤差的測(cè)量，有關(guān)研究［10］采用多面體棱鏡、激光自準(zhǔn)儀和LVDT等精密儀器進(jìn)行直接測(cè)量，但是對(duì)旋轉(zhuǎn)軸的安裝位置有特殊的要求，安裝和調(diào)整困難，測(cè)量效率低。近年來(lái)，出現(xiàn)了一些商業(yè)化的旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)誤差測(cè)量?jī)x器［11］，價(jià)格較昂貴，而且只能測(cè)量部分運(yùn)動(dòng)誤差項(xiàng)目。因此，有必要研究一種快速簡(jiǎn)單的、能夠在機(jī)床上直接測(cè)量和辨識(shí)旋轉(zhuǎn)軸全部位置和運(yùn)動(dòng)誤差項(xiàng)目的方法。

本文提出一種采用球桿儀測(cè)量和辨識(shí)旋轉(zhuǎn)軸位置和運(yùn)動(dòng)誤差的方法。將球桿儀一端的球心分別安裝在旋轉(zhuǎn)工作臺(tái)的3個(gè)不同位置，移動(dòng)球桿儀另一端球心按圓形軌跡運(yùn)動(dòng)，依次測(cè)量每個(gè)球心位置在X、Y、Z這3個(gè)方向上由旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差產(chǎn)生的偏差。根據(jù)這9項(xiàng)測(cè)量值采用齊次變換理論建立起幾何誤差的辨識(shí)模型。同時(shí)引入條件數(shù)對(duì)球桿儀的安裝參數(shù)進(jìn)行評(píng)價(jià)，實(shí)現(xiàn)了安裝參數(shù)選取的優(yōu)化。在此基礎(chǔ)上，分兩步從球桿儀測(cè)量結(jié)果中辨識(shí)出4項(xiàng)軸線位置誤差和6項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差。最后，在四軸數(shù)控機(jī)床上采用球桿儀進(jìn)行了測(cè)量和驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，通過(guò)比較球桿儀的實(shí)際測(cè)量值與由辨識(shí)出的幾何誤差計(jì)算的預(yù)測(cè)值，并與現(xiàn)有的采用球桿儀辨識(shí)方法的預(yù)測(cè)精度進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證所提出的辨識(shí)方法的有效性和辨識(shí)結(jié)果的正確性。

2 測(cè)量方法與辨識(shí)模型

應(yīng)用球桿儀進(jìn)行測(cè)量時(shí)，將球桿儀一端固定在主軸上，另一端安裝在旋轉(zhuǎn)軸的工作臺(tái)面上。如圖1所示，由于旋轉(zhuǎn)軸的幾何誤差會(huì)使得球座位置產(chǎn)生偏移，球桿儀一端球心Ps的位置也隨之變化，可用變化量［dxs，dys，dzs］表示。通過(guò)主軸移動(dòng)球桿儀繞Ps沿圓弧測(cè)量軌跡至坐標(biāo)軸方向，即誤差敏感方向，可依次測(cè)量出球心偏差。由于在一個(gè)球心的測(cè)量點(diǎn)處只能獲得3個(gè)偏移量，還需額外的測(cè)點(diǎn)才能夠求解6項(xiàng)誤差。以一臺(tái)四軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控加工中心為例，在A軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度不變的情況下，選擇3個(gè)不同的球座位置作為測(cè)點(diǎn)。

圖1 采用球桿儀測(cè)量球心偏差

球座測(cè)量點(diǎn)分布如圖2所示，旋轉(zhuǎn)軸坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸方向與機(jī)床參考坐標(biāo)系一致，原點(diǎn)位于A軸軸線與工作臺(tái)面的交點(diǎn)。3個(gè)測(cè)點(diǎn)Ps1、Ps2和Ps3分布在半徑為R的圓周上，初始位置的坐標(biāo)分別為（－H，0，R）、（－H，R，0）和（－H，－R，0）。球心距離工作臺(tái)面的高度為H。在不同旋轉(zhuǎn)角度下，利用球桿儀可依次測(cè)得這3個(gè)測(cè)點(diǎn)處的9個(gè)球心偏差。對(duì)于球桿儀在移動(dòng)過(guò)程中由直線軸運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的誤差，可預(yù)先進(jìn)行補(bǔ)償［12］。所以這些測(cè)量值可全部視為旋轉(zhuǎn)軸位置和運(yùn)動(dòng)誤差的綜合。

圖2 球座測(cè)量點(diǎn)分布

為了從球心偏差的測(cè)量值中分離出位置與運(yùn)動(dòng)誤差，可將誤差辨識(shí)的過(guò)程分為兩個(gè)步驟。首先，由于位置誤差是常數(shù)，可將測(cè)量值視為全部由位置誤差引起的結(jié)果。當(dāng)旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)到第i個(gè)測(cè)量角度αi時(shí)，若測(cè)量值為［dxs1i，dys1i，dzs1i，dxs2i，dys2i，dzs2i，dxs3i，dys3i，dzs3i］T，用［Yoa，Zoa，Boa，Coa］T表示A軸軸線位置在Y、Z方向的線性誤差及與繞Y、Z軸的角度誤差，于是采用齊次變換理論可建立起球心偏差與軸線位置誤差的超靜定線性方程組：

若用Aoi表示系數(shù)矩陣，Bi表示測(cè)量值，Xo為位置誤差矢量，由所有n個(gè)測(cè)量角度下球心偏差的測(cè)量值可構(gòu)建起位置誤差的辨識(shí)模型：

［Ao1；Ao2；…；Aon］Xo＝［B1；B2；…；Bn］（2）

接著將位置誤差引起球心偏差的部分從測(cè)量值中扣除，剩余部分可視為旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)誤差的綜合。若用誤差矢量［δaxi，δayi，δazi，εaxi，εayi，εazi］T表示第i個(gè)測(cè)量角度αi時(shí)，A軸分別沿X、Y、Z方向的線性誤差和繞X、Y、Z軸的角度誤差，參照式（1），可得到運(yùn)動(dòng)誤差的方程組：

若用Ai表示系數(shù)矩陣，Xi表示第i個(gè)測(cè)量角度下的運(yùn)動(dòng)誤差，用線性方程的形式表示式（3）可得：

對(duì)于式（2）和式（4）的辨識(shí)模型，可采用系數(shù)矩陣的廣義逆的方法，得到誤差項(xiàng)的最小二乘解。在求解過(guò)程中，旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度α，安裝參數(shù)R和H對(duì)系數(shù)矩陣有重要的影響，也決定了方程的可解性以及解的穩(wěn)定性。因此，本文引入條件數(shù)評(píng)價(jià)在不同轉(zhuǎn)動(dòng)角度下安裝參數(shù)對(duì)系數(shù)矩陣的影響，并對(duì)安裝參數(shù)的選擇進(jìn)行優(yōu)化。根據(jù)文獻(xiàn)［13］，求解廣義逆時(shí)系數(shù)矩陣ATA的條件數(shù)可表示為：

為了簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，采用∞范數(shù)來(lái)表示系數(shù)矩陣的條件數(shù)?？紤]到安裝參數(shù)中，球座上球心與工作臺(tái)面之間的距離H調(diào)節(jié)范圍僅為70 mm～90 mm，可當(dāng)作常數(shù)處理，在實(shí)際測(cè)量時(shí)H值設(shè)置為80 mm。于是R值的選擇可表示為優(yōu)化問(wèn)題，即選擇最優(yōu)的R值，使得條件數(shù)最小，可表示為：

通過(guò)計(jì)算仿真，在不同轉(zhuǎn)動(dòng)角度下條件數(shù)隨R值變化的規(guī)律如圖3所示。

從圖3中可以看出，在不同的旋轉(zhuǎn)角度下，系數(shù)矩陣的條件數(shù)首先隨R值增大而急劇減小，隨后又平緩上升。顯然，不同角度下都存在一個(gè)最優(yōu)R值使得條件數(shù)最小。另外，從圖4中可以看出，R值的選取隨旋轉(zhuǎn)角度的變化而變化。如果在實(shí)際測(cè)量時(shí)在不同角度下都采用優(yōu)化后的R值進(jìn)行測(cè)量，安裝和調(diào)整的過(guò)程將會(huì)非常繁瑣?？紤]到各角度下的最優(yōu)R值變化幅度不大，而且R值的微小變化并不會(huì)引起條件數(shù)突變，因此本文采用所有角度下最優(yōu)R值的平均值，即92.902 mm作為最終的安裝參數(shù)。

圖3 不同旋轉(zhuǎn)角度下條件數(shù)隨R值變化的規(guī)律

圖4 不同旋轉(zhuǎn)角度下最佳R值的變化曲線

3 測(cè)量與驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

測(cè)量和驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)在一臺(tái)型號(hào)為XH715D的四軸立式加工中心上進(jìn)行。為了避免測(cè)量過(guò)程中球座處于Z軸方向最低處時(shí)，主軸與旋轉(zhuǎn)工作臺(tái)發(fā)生干涉，球桿儀需加裝50 mm的延長(zhǎng)桿，而3個(gè)測(cè)點(diǎn)半徑R根據(jù)上述的優(yōu)化結(jié)果設(shè)置為92.902mm。在驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)中球桿儀需加裝200 mm的延長(zhǎng)桿，3個(gè)測(cè)點(diǎn)半徑R調(diào)整為102.606mm，以滿足使用手冊(cè)中規(guī)定的球桿儀軸線與球座軸線的夾角應(yīng)大于70°的要求。測(cè)量和驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)的安裝參數(shù)見(jiàn)表1，圖5為測(cè)量過(guò)程中的球桿儀的安裝示意圖，測(cè)量開(kāi)始前先將一個(gè)球座安裝到旋轉(zhuǎn)工作臺(tái)Ps1點(diǎn)處，另外一個(gè)球座安裝在刀柄上。調(diào)整好位置后，將型號(hào)為QC20－W的球桿儀安裝到兩球座的球心處，這時(shí)球桿儀的軸線恰好平行于X軸。

圖5 測(cè)量過(guò)程中的球桿儀的安裝示意圖

隨后由主軸帶動(dòng)球桿儀在XY、YZ和XZ平面繞工作臺(tái)上球座的球心做圓弧運(yùn)動(dòng)，使得球桿儀軸線依次平行于Y軸、Z軸和X軸。當(dāng)球桿儀到達(dá)坐標(biāo)軸方向時(shí)暫停6 s，以便從計(jì)算機(jī)中讀取球心的偏差值。為了減少測(cè)量過(guò)程中安裝和調(diào)整的時(shí)間，測(cè)量完一個(gè)測(cè)點(diǎn)的3個(gè)偏差后，由Y軸、Z軸和A軸聯(lián)動(dòng)，將球桿儀和球座同時(shí)移動(dòng)到下一個(gè)測(cè)量角度，重復(fù)上述測(cè)量過(guò)程直到旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過(guò)一周。接著，重新調(diào)整底座位置到另外兩個(gè)測(cè)點(diǎn)Ps2和Ps3并重復(fù)測(cè)量。整個(gè)測(cè)量過(guò)程可在機(jī)床上直接完成，只需安裝和調(diào)整球桿儀的3次位置。而且采用圓弧測(cè)量軌跡，易于編程，能有效簡(jiǎn)化測(cè)量步驟，減少測(cè)量時(shí)間。

表1 實(shí)驗(yàn)安裝參數(shù)mm

為了驗(yàn)證所提出的旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差辨識(shí)方法的有效性，同樣以這臺(tái)四軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床為研究對(duì)象，設(shè)計(jì)了只有旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)的驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)。參照?qǐng)D5，依照表1中的驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)安裝參數(shù)將球桿儀安裝在機(jī)床上，其主軸端的球心位于A軸軸線上且保持靜止。由旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)球桿儀繞A軸旋轉(zhuǎn)。由于存在幾何誤差，球桿儀兩端的距離會(huì)發(fā)生變化，這個(gè)變化量可視為旋轉(zhuǎn)軸各項(xiàng)幾何誤差的綜合。于是，通過(guò)辨識(shí)出來(lái)的幾何誤差，可對(duì)這個(gè)距離變化量進(jìn)行預(yù)測(cè)。將預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際測(cè)量進(jìn)行比較，即可驗(yàn)證所辨識(shí)出的誤差的正確性。

4 結(jié)果與分析

測(cè)量實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，旋轉(zhuǎn)軸從0°開(kāi)始，每轉(zhuǎn)過(guò)5°從計(jì)算機(jī)中讀取球心偏差。對(duì)于所有的3個(gè)測(cè)點(diǎn)，每個(gè)測(cè)點(diǎn)都進(jìn)行了72次測(cè)量。為了盡量消除測(cè)量過(guò)程由于讀數(shù)或者操作不當(dāng)引起的測(cè)量誤差，測(cè)量實(shí)驗(yàn)重復(fù)5次，并以5次測(cè)量的平均值作為最終測(cè)量結(jié)果，見(jiàn)圖6。

圖6 工作臺(tái)上球座在3個(gè)測(cè)點(diǎn)處的測(cè)量結(jié)果

將圖6中的測(cè)量結(jié)果依次代入式（2）和式（4），即可辨識(shí)出旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)誤差和位置誤差。辨識(shí)結(jié)果如圖7及表2所示。

圖7 旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)誤差的辨識(shí)結(jié)果

在驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)中，旋轉(zhuǎn)軸每轉(zhuǎn)過(guò)5°從計(jì)算機(jī)中讀取球桿儀兩球心間距離的偏差。同時(shí)，采用辨識(shí)出的幾何誤差可對(duì)球桿儀的測(cè)量值進(jìn)行預(yù)測(cè)，通過(guò)將預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際測(cè)量值的進(jìn)行對(duì)比，可對(duì)辨識(shí)結(jié)果的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。另外，為了與現(xiàn)有基于球桿儀的方法進(jìn)行對(duì)比，也單獨(dú)采用位置誤差對(duì)偏差值進(jìn)行預(yù)測(cè)。如圖8所示，如果只考慮旋轉(zhuǎn)軸的位置誤差，雖然預(yù)測(cè)值跟測(cè)量值的變化規(guī)律基本一致，但預(yù)測(cè)值的誤差較大，最大值達(dá)到0.011 mm。而采用本文的方法，如圖9所示，預(yù)測(cè)值與測(cè)量值變化規(guī)律相同，曲線形狀一致，而且預(yù)測(cè)值的絕對(duì)誤差值不超過(guò)0.003 mm，比現(xiàn)有的只考慮位置誤差的方法具有更高的精度，可滿足高精度的誤差辨識(shí)和補(bǔ)償需求。

表2 旋轉(zhuǎn)軸軸線位置誤差辨識(shí)結(jié)果

圖8 只考慮位置誤差時(shí)預(yù)測(cè)值與測(cè)量值的比較結(jié)果

圖9 考慮位置誤差與運(yùn)動(dòng)誤差時(shí)預(yù)測(cè)值與測(cè)量值的比較結(jié)果

5 結(jié) 論

通過(guò)圓弧軌跡將球桿儀移動(dòng)至坐標(biāo)軸方向，測(cè)量旋轉(zhuǎn)工作臺(tái)上的標(biāo)準(zhǔn)球球心在3個(gè)測(cè)點(diǎn)處的9項(xiàng)誤差，簡(jiǎn)化了測(cè)量軌跡的編程，提高了測(cè)量效率。采用條件數(shù)對(duì)安裝參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，提高了求解誤差項(xiàng)時(shí)數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性。運(yùn)用齊次變換理論建立了幾何誤差的辨識(shí)模型，從測(cè)量實(shí)驗(yàn)的結(jié)果中辨識(shí)出了旋轉(zhuǎn)軸全部的4項(xiàng)軸線位置和6項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差。在驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)中，運(yùn)用辨識(shí)出的幾何誤差對(duì)測(cè)試軌跡上的球桿儀兩球心距離進(jìn)行預(yù)測(cè)，并與現(xiàn)有的方法進(jìn)行了對(duì)比。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，采用本文所提出方法的預(yù)測(cè)值的絕對(duì)誤差不超過(guò)0.003mm，比現(xiàn)有的方法具有更高預(yù)測(cè)精度。而且所需的儀器是工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)廣泛使用的球桿儀，可在機(jī)床上直接完成整個(gè)測(cè)量過(guò)程，有利于在工程實(shí)踐中推廣應(yīng)用。

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Geom etric Error Measurement and Identification for Rotary Table Using Double Ballbar

CHEN Jian-xiong1， LIN Shu-wen1， HAN Guo-qiang1，2
（1.School of Mechanical Engineering and Automatic，F(xiàn)uzhou University，F(xiàn)uzhou，F(xiàn)ujian 350108，China；
2.Fujian Institute of Research on the Structure of Matter，Chinese Academy of Science，F(xiàn)uzhou，F(xiàn)ujian 350002，China）

The derivations of the center of the ball installed on the rotary table aremeasured by double ballbar with circular paths in the error sensitive directions.Hence，there are nine resultsmeasured from threemounting positions of the ball at the same rotation angle，to form four axis location and six motion errors identification model using homogeneous transformation.In addition，the condition number is applied to select the optimum installation parameters of the ballbar. Finally，themeasurementand verification experiments are conducted on the four-axismachining center.All the elements of the geometric error can be identified by the proposed method from themeasured results with high accuracy and measuring effectively.Then，comparing the predicted value from the identified errors with themeasured results by ballbar，it shows that the absolute residual error is less than 0.003mm.

Metrology；Rotary axis；Geometric error；Double ballbar；Condition number

TB92

A

1000-1158（2014）03-0198-06

10．3969／j．issn．1000-1158．2014．03．02

2013-07-15；

2013-11-22

國(guó)家自然科學(xué)基金（51205063）；中國(guó)博士后基金（2012M521281，2013T60643）；福建省重大科技專項(xiàng)（2010HZ002-1）

陳劍雄（1981－），男，福建莆田人，福州大學(xué)講師，博士研究生，主要從事數(shù)控系統(tǒng)、精密測(cè)量技術(shù)研究。jxchen045＠fzu.edu.cn