數(shù)學(xué)解題常用的六種逆向思維方法

■江思容

數(shù)學(xué)解題常用的六種逆向思維方法

■江思容

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維，思維能力的發(fā)揮和思維活動的發(fā)展決定了學(xué)習(xí)效果的高低。只有科學(xué)地把握思維特點(diǎn)，才能夠從總體上把握事物的本質(zhì)特征。在教學(xué)解題中常常運(yùn)用逆向思維，它大致有六種常用方法。

一、反客為主

反客為主，換而言之，就是要將常量當(dāng)作變量，將變量當(dāng)作常量，變量與常量既統(tǒng)一，又互相轉(zhuǎn)化，是一個(gè)相互矛盾的統(tǒng)一體。反客為主的思維方法是一種很好的思維方法。

例1當(dāng)m是什么整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程x2－（m－1）x+m+1=0的兩根都是整數(shù)？

【方法導(dǎo)引】因?yàn)殛P(guān)于x的方程有解，那么關(guān)于m的方程也應(yīng)有解，且解都是整數(shù)，故先解關(guān)于m的方程。

解：以m為主元，已知方程化為（x－1）m=x2+x+1

∴x－1=±1，±3，

∴x=2，0，4，－2

把x以上述值依次代入m的表達(dá)式得：m=7或－1。

二、無中生有

有時(shí)需要巧妙地造出與原問題有關(guān)的新元素和新模型來對某些數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解決，這就是無中生有。

（1）若方程沒有實(shí)數(shù)根，求p的范圍。

（2）若p>0，問p為何值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，并求出這兩個(gè)根。

【方法導(dǎo)引】首先要弄清無理方程沒有實(shí)根的含意是將其換元后所得的一元二次方程的解求出，令其解小于零，這樣就可以求出p的范圍。

解這個(gè)不等式組得，－2＜p＜0

（2）∵p>0，把y1=p代入①得

而y2=－2－p＜0（不合題意，舍去）

將②式平方，整理得

x2+2x－（p2－2p）=0③

令Δ=4+4（p2－2p）

=4（p2－2p+1）=4（p－1）2=0

解之得：p=1

當(dāng)p=1時(shí)，原方程有兩個(gè)相等實(shí)根，把p=1代入③得x2+2x+1=0，

∴x1=x2=－1，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)p=1時(shí)，

x1=x2=－1是原方程的根。

三、聲東擊西

提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要,因?yàn)榻鉀Q問題也許僅是一個(gè)數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技能而已。而提出新的問題、新的可能性,從新的角度去看舊的問題,都需要有創(chuàng)造性，聲東擊西是一種很好的方式，可以通過另外一個(gè)問題的解決來對原問題進(jìn)行間接解決。

【方法導(dǎo)引】由已知條件直接求出代數(shù)式的值繁而難，若根據(jù)題目所給的條件，巧妙地利用方程知識進(jìn)行求解，就方便得多，于是采用聲東擊西的策略，達(dá)到由此及彼的目的。

四、以退為進(jìn)

解數(shù)學(xué)題有時(shí)候要以退求進(jìn)，有時(shí)候要先進(jìn)后退，恰當(dāng)運(yùn)用進(jìn)退的互化是辯證思維的一條重要方法。

例4如圖，△ABC中AE是∠A的外角平分線，D是AE上任意一點(diǎn)，試確定AB+AC與BD+CD之間的大小關(guān)系。

【方法導(dǎo)引】D為AE上任意一點(diǎn)，說明D點(diǎn)有隨意移動的特性，給問題的研究帶來了難度，我們巧借D點(diǎn)可動的情況，取特殊的位置①D與A重合；②AD⊥CD加以研究，收到以靜止動，以退求進(jìn)的效果。①當(dāng)D與A重合時(shí)，顯然有AB+AC=BD+CD；②當(dāng)CD⊥AD時(shí)，只要延長CD交BA的延長線于F，由等腰三角形性質(zhì)及兩邊之和大于第三邊的特性不難證明AB+AC＜BC+CD，綜①，②啟發(fā)我們證明，AB+AC≤BD+CD。

解：要確定的關(guān)系是AB+AC≤BD+ CD，下面對此結(jié)論加以證明。

如上圖，在BA的延長線上取點(diǎn)F，使AF=AC，連DF。

顯然△AFD≌△ACD，

則DC=DF，

又AC=AF，

故AB+AC=AB+AF＜BD+DF=BD+ CD。

當(dāng)D與A重合時(shí)，AB+AC=BD+CD

綜上得，AB+AC≤BD+CD

五、分而治之

有些數(shù)學(xué)問題我們想從整體上考慮比較困難時(shí)，我們不妨采用分而治之的方法來處理，即將問題劃分為幾種情況（或類型），各個(gè)擊破，分而治之。

例5當(dāng)a為何值時(shí)，方程

的解只有一個(gè)？

【方法導(dǎo)引】這是一個(gè)根式方程，應(yīng)變換為等價(jià)的方程（方程組），注意到a=1或a≠1時(shí)，已知方程有本質(zhì)的不同，因此應(yīng)對這兩種情況分別討論。進(jìn)而，為討論何時(shí)只有一個(gè)解，又要進(jìn)行第二級分類。

解：化簡變形得到與原方程同解的不等式組

六、出奇制勝

奇兵能克制強(qiáng)敵，巧解可輕取難題，難題之難就在于條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系比較隱蔽，欲揭示這種內(nèi)在聯(lián)系，如循常規(guī)老路，必費(fèi)時(shí)費(fèi)力，只有敢于創(chuàng)新，才能以巧取制。

解：構(gòu)造如圖所示的Rt△ACD，Rt△BCE，使AD=1，BE=2，CD=x，DE=4，且CD、CE在直線a上，則所求最小值轉(zhuǎn)化為“在直線a上求一點(diǎn)C，使AC+ CB的值最小”。

（作者單位：武漢市洪山中學(xué)）

責(zé)任編輯 王愛民