卡塞格林望遠(yuǎn)鏡耦合系統(tǒng)錐形導(dǎo)管的仿真與誤差分析

張鵬飛，王志斌，李 曉，王立福

（中北大學(xué) 山西省光電信息與儀器工程技術(shù)研究中心，山西 太原030051）

引言

卡塞格林望遠(yuǎn)鏡因其大口徑收光效果好作為前置光學(xué)系統(tǒng)，廣泛應(yīng)用于激光通信［1］、遙感［2］和光譜儀器［3］等領(lǐng)域?？ㄈ窳值鸟詈舷到y(tǒng)有耦合進(jìn)入單模光纖和多模光纖兩類，前者僅僅是將零視場(chǎng)的平行光束耦合進(jìn)入單模光纖，其耦合方式主要應(yīng)用非球面透鏡［4］和直接耦合［5］，后者在天文學(xué)方面運(yùn)用較多，多采用光纖分束器耦合和直接耦合的方式［6－7］。為了讓更多光線耦合入多模光纖，嘗試性采用較為便宜的錐形導(dǎo)管作為核心耦合器件。錐形導(dǎo)管可用做縮束［8］和LDA激光器耦合系統(tǒng)［9］，另外，作為耦合像斑進(jìn)入多模光纖的器件，有增大耦合視場(chǎng)的作用，可以在遙測(cè)時(shí)獲取目標(biāo)信號(hào)。為了獲得遠(yuǎn)距離740nm～780nm的光譜信號(hào)的耦合信息，通過Zemax仿真軟件搭建了整個(gè)耦合系統(tǒng)，并計(jì)算了采用錐形導(dǎo)管作為耦合器件后耦合效率較光纖直接耦合提升的幅度。

1 卡塞格林望遠(yuǎn)鏡及耦合系統(tǒng)簡(jiǎn)介

如圖1所示，整個(gè)系統(tǒng)由卡塞格林望遠(yuǎn)鏡，錐形導(dǎo)管和多模光纖組成，三者共軸。帶有一定視場(chǎng)的平行光束成像在焦平面上，錐形導(dǎo)管入射面緊貼像面放置，利用錐形導(dǎo)管內(nèi)全反射將像斑耦合進(jìn)多模光纖。

圖1 卡塞格林望遠(yuǎn)鏡及耦合系統(tǒng)示意圖Fig.1 Cassegrain telescope and coupling system

望遠(yuǎn)鏡采用ABB公司MR170光譜輻射儀的窄角度卡塞格林望遠(yuǎn)鏡，其拋物面主鏡的口徑為250mm，焦距為325mm，雙曲面副鏡口徑為75mm，共軛焦距分別為73mm和290mm，望遠(yuǎn)鏡的有效焦距為1 300mm，其中心遮擋比為0.3，具有4mrad的最大視場(chǎng)。錐形導(dǎo)管選用較為便宜K9玻璃作為材質(zhì)，在740nm～780nm光譜范圍的內(nèi)部透過率為0.998。另外，為了滿足多模光纖的數(shù)值孔徑，錐形導(dǎo)管限于尺寸，只截取部分像斑進(jìn)行耦合。多模光纖采用的是Avantes公司的特種光纖 FC-IR600-2，其纖芯直徑為600μm，數(shù)值孔徑為0.22。

2 理論分析及參數(shù)計(jì)算

2.1 望遠(yuǎn)鏡參數(shù)計(jì)算

首先需要根據(jù)卡塞格林望遠(yuǎn)鏡主鏡和副鏡參數(shù)，算出其曲率半徑和圓錐系數(shù)。下面給出通用非球面關(guān)系式：

式中：c為曲率（半徑的倒數(shù)）；r為徑向坐標(biāo)；k為圓錐系數(shù)。當(dāng)k＝－1時(shí)，非球面關(guān)系式代表拋物面，其可以簡(jiǎn)化為r2＝2Rz。顯然焦點(diǎn)f＝R／2，又因f＝325mm，可以得到拋物面主鏡的曲率半徑為650mm。

副鏡為雙曲面，令其共軛焦距為f1、f2，其實(shí)軸與虛軸分別為a、b（此處a和b區(qū)別于錐形導(dǎo)管），曲率半徑為R，圓錐系數(shù)為k，根據(jù)雙曲面性質(zhì)有：

雙曲面副鏡的共軛焦距為73mm和290mm，根據(jù)公式（2）～（5），可以得出R＝195.1mm，k＝－2.798。

2.1 錐形導(dǎo)管參數(shù)的選擇

望遠(yuǎn)鏡像斑由無數(shù)個(gè)像點(diǎn)組成，雙鏡面卡塞格林望遠(yuǎn)鏡的視場(chǎng)只有0.2°，彗差很小，所以每個(gè)像點(diǎn)都可以近似看成有一定發(fā)散角的理想點(diǎn)光源。通過計(jì)算軸上像點(diǎn)耦合入光纖的光線最大發(fā)散角來選擇錐形導(dǎo)管的參數(shù)。

圖2 錐形導(dǎo)管耦合像斑示意圖Fig.2 Axicon duct coupling image spot

由圖2可知，導(dǎo)管的輸入面和輸出面均為平面，直徑分別為a和b，導(dǎo)管長(zhǎng)度為l，錐形導(dǎo)管半頂角θ，軸上像點(diǎn)（點(diǎn)光源）O的發(fā)散角為α0。通過分析O點(diǎn)發(fā)出的能耦合入光纖的光線最大發(fā)散角來確定錐形導(dǎo)管的參數(shù)，并以它為Zemax仿真的初始結(jié)構(gòu)。

像點(diǎn)O在導(dǎo)管軸線上，其發(fā)出的光束成錐形，具有對(duì)稱性，選擇其子午面討論O點(diǎn)的最大耦合角。因光線在導(dǎo)管內(nèi)傳播為折線，為了便于分析，將導(dǎo)管子午面按光線傳播方向展開，圖3是光線經(jīng)過2次全反射的子午面展開示意圖。

圖3 光線在錐形導(dǎo)管內(nèi)全反射路徑展開圖Fig.3 Path expansion plan of total internal reflection in axicon duct

從O點(diǎn)發(fā)出的與光軸夾角為α0的光線，與輸入面相交于點(diǎn)M′，由于像面和輸入面緊貼，OM近似于零，則可認(rèn)為M、M′重合。此光線在輸入面滿足折射定律sin（α0）＝nsin（α）。光線經(jīng)過N 次全反射后到達(dá)輸出面，在輸出面上光線滿足條件nsin（β）＝NA。如圖3所示，光線 MB1與軸OO′的夾角可以看成是光線在錐形導(dǎo)管內(nèi)全反射零次的最大角，以此類推MB2，MB3與OO′的夾角分別為全反射1次和2次的最大角。由幾何關(guān)系得出：

以此類推，當(dāng)全反射n次時(shí)，有：

其中半錐角：

另外，在錐形導(dǎo)管中傳播的有效光線要滿足2個(gè)條件。其一，光線在傳播過程中，在錐壁處要滿足內(nèi)全反射條件。光線每經(jīng)過一次錐壁或者錐軸時(shí)，其與錐壁和錐軸法線的夾角減小θ。以光線MK為例，第一次和第二次全反射的入射角分別為γ1、γ2，第m 次全反射的入射角為γm，即：

只要γm滿足全反射條件，前面m－1次全反射都能滿足要求。第m次全反射條件為

其二，光線在輸出面外要滿足光纖數(shù)值孔徑NA。光線經(jīng)過m次內(nèi)全反射后與輸出面法線的夾角βm＝α＋2mθ，經(jīng)過折射后要滿足光纖數(shù)值孔徑NA：

在實(shí)踐提升階段，教師講解完電泳原理之后，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行實(shí)際操作（蛋白樣品處理、加樣、電泳、剝膠、染色、脫色、觀察）。

取折射率nd＝1.52（K9玻璃相對(duì)于d光的折射率），NA＝0.22，m＝3，b＝0.6mm，聯(lián)立公式（6）～（9），運(yùn)用 Matlab做數(shù)值計(jì)算，可以得到α在各種參數(shù)下所能取的最大值，如表1所示。并可得到如下3條規(guī)律：

表1 光束半錐角α在各組參數(shù)下取得的最大值Table 1 Maximum semiapex angle of rays coneunder each pair of parameters

1）當(dāng)a固定不變時(shí)，α隨著全反射次數(shù)增加而減??；

2）α隨著a和l的同時(shí)增大而減小，即導(dǎo)管半頂角不變時(shí)α隨長(zhǎng)度l增大而減小；

3）前一行數(shù)據(jù)的第2次全反射的α值小于后一行數(shù)據(jù)第1次全反射的α值。

另經(jīng)計(jì)算得出零視場(chǎng)時(shí)邊緣光線在卡塞格林望遠(yuǎn)鏡像面上與光軸的夾角α0為0.096rad，根據(jù)折射定律sin（α0）＝nsin（α），可得在錐形導(dǎo)管內(nèi)光線與光軸夾角α為0.063 2rad。從表1中可以得到當(dāng)a＜1.6mm時(shí)，α都不小于0.063 2rad；當(dāng)1.6mm≤a≤2.0mm時(shí)，α略小于0.063 2rad；當(dāng)a＞2.0mm 時(shí)，α遠(yuǎn)小于0.0632rad。因考慮到實(shí)際加工，需要控制a≥1.8mm，l≤20mm。故本文選擇a＝1.8mm，b＝0.6mm，l＝15.9mm作為錐形導(dǎo)管的初始參數(shù)結(jié)構(gòu)，Zemax利用此初始參數(shù)對(duì)卡塞格林望遠(yuǎn)鏡部分像斑進(jìn)行耦合仿真。

3 基于Zemax的仿真和誤差分析

3.1 初始結(jié)構(gòu)的編輯

Zemax軟件在序列模式中無法模擬光纖，但是在分析欄中的幾何成像分析可以用來分析多模光纖的耦合效率。在幾何成像分析中，計(jì)算多模光纖的耦合效率，需要在像面上利用圓形孔徑模擬多模光纖纖芯大小，在設(shè)置菜單中NA項(xiàng)可以限定光纖數(shù)值孔徑。經(jīng)過光線追跡［10］后，Zemax將會(huì)統(tǒng)計(jì)經(jīng)過圓形孔徑且滿足NA值的光線總量，并計(jì)算這些光線所占總光線的比重，這個(gè)百分比就是耦合效率。

本文采用混合模式來進(jìn)行仿真，在序列部分插入卡塞格林的主鏡和次鏡，其曲率半徑分別為－650.0mm 和－195.115mm，圓錐系數(shù)分別為－1和－2.798，材料為mirror。將主鏡的厚度設(shè)置成變量，用操作數(shù)EFFL控制有效焦距在1 300mm，優(yōu)化后可以得到主鏡厚度為－251.832mm，負(fù)號(hào)表示與全局坐標(biāo)Z的方向相反。

圖4 耦合系統(tǒng)仿真圖Fig.4 Simulation diagram of coupling system

3.2 優(yōu)化過程的控制和優(yōu)化結(jié)果

優(yōu)化函數(shù)列表如圖5所示。包括3個(gè)部分：1）耦合效率的控制。利用IMAE控制耦合效率；2）錐形導(dǎo)管的尺寸控制。利用邊界操作數(shù)NPGT和NPLT來控制輸入面直徑、輸出面直徑和導(dǎo)管長(zhǎng)度；利用NPVA、MPVA和DIFF控制輸出面和像面的距離；3）監(jiān)控輸入面所能覆蓋的最大視場(chǎng)。

圖5 優(yōu)化函數(shù)表Fig.5 Merit function table

由于Zemax優(yōu)化函數(shù)對(duì)邊界操作數(shù)的優(yōu)化非常慢，因此有必要手動(dòng)逐步試探來控制邊界操作數(shù)的優(yōu)化順序，加快優(yōu)化過程。具體實(shí)施步驟為：1）在IMAE操作數(shù)視場(chǎng)大小中填入2倍輸入面對(duì)應(yīng)的最大視場(chǎng)，控制輸出面和像面的距離在0.1mm；2）將輸入面半徑設(shè)定成變量，同時(shí)優(yōu)化IMAE并利用操作數(shù)NPLT和NPGT限定控制輸入面直徑2mm，并調(diào)整IMAE操作數(shù)視場(chǎng)大??；3）將輸出面作為變量，同時(shí)優(yōu)化IMAE和利用OPLT和OPGT控制導(dǎo)管長(zhǎng)度小于20mm；4）做錘形優(yōu)化，當(dāng)IMAE達(dá)到目標(biāo)值時(shí)，重設(shè)并稍微加大目標(biāo)值。

根據(jù)圖5優(yōu)化函數(shù)表及優(yōu)化順序?qū)﹀F形導(dǎo)管反復(fù)優(yōu)化后，最終得出導(dǎo)管的參數(shù)a＝1.92mm、l＝14.65mm、b＝0.6mm。圖6為導(dǎo)管入射端滿視場(chǎng)（0.041°）時(shí)，波長(zhǎng)為740nm、760nm、780nm光線的整體耦合效率η1為41.73%。且740nm和780nm的光線分別耦合時(shí)，耦合效率之差不超過0.05%，所以可認(rèn)為導(dǎo)管在740nm～780nm光譜區(qū)內(nèi)耦合效率是沒有頻率區(qū)別的。

式中：a和bo分別為輸入面和多模光纖直徑；η0和η1分別為直接耦合和利用錐形導(dǎo)管耦合的光線耦合效率。經(jīng)計(jì)算應(yīng)用錐形導(dǎo)管后，耦合進(jìn)光纖的光線數(shù)量為直接用光纖耦合的4.53倍。

3.3 錐形導(dǎo)管誤差分析

實(shí)際的錐形導(dǎo)管都不是理想的，存在加工誤差，其大小都將直接影響耦合品質(zhì)。對(duì)錐形導(dǎo)管輸入、輸出面直徑和長(zhǎng)度引入微擾量做光線耦合量之比K的靈敏度分析。應(yīng)用幾何成像分析和公式（10）得出耦合效率之比K，如表2所示。

圖6 幾何成像分析Fig.6 Geometric image analysis

運(yùn)用同樣的方法可以得出光纖直接耦合像斑的效率η0為94.22%。因耦合效率是根據(jù)輸入面對(duì)應(yīng)的最大視場(chǎng)計(jì)算的，所以沒有漸暈。因此錐形導(dǎo)管耦合和光纖直接耦合進(jìn)光纖的光線之比可以用輸入面積乘以耦合效率之比K來表示：

表2 各參數(shù)引入微擾量后K的數(shù)值Table 2 Value of Kafter parameters induced perturbation

從表2可以得出各參數(shù)引入微擾量后，Ka、Kb、Kl的整體變化量為0.25、1.22和0.19。對(duì)于長(zhǎng)度l＝14.65mm而言±0.09mm誤差可以忽略不計(jì)，所以影響很小。但是輸出面直徑b直接影響到輸出面和錐形導(dǎo)管半頂角θ的大小。當(dāng)b增大時(shí)，雖然θ減小，根據(jù)（4）式可得滿足NA的光線增多，但是耦合面不變，實(shí)際耦合進(jìn)入光纖光線數(shù)量如表2所示，K會(huì)略微減小。當(dāng)b減小時(shí)，θ增大同時(shí)耦合面減小，這2個(gè)條件同時(shí)減少滿足NA的光線數(shù)量，令K迅速減小。同樣輸入面直徑a直接影響輸入面和錐形導(dǎo)管半頂角θ的大小。當(dāng)a增大時(shí)，入射光線增多，半頂角θ增大；a減小時(shí)入射光線減少，半頂角θ減小?？傊產(chǎn)的變化始終都會(huì)減少滿足NA的光線數(shù)量。綜上所述，需嚴(yán)格控制導(dǎo)管輸入面和輸出面加工誤差，導(dǎo)管長(zhǎng)度誤差可稍微放寬，為了保證K不小于4.3，可將a、b、l的加工誤差控制在0.03mm之內(nèi)較為合適。

4 結(jié)論

在MR170光譜輻射儀自帶的窄角卡塞格林望遠(yuǎn)鏡的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)出錐形導(dǎo)管光纖耦合系統(tǒng)。通過數(shù)值分析得出錐形導(dǎo)管的初始結(jié)構(gòu)，并利用Zemax對(duì)整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行仿真優(yōu)化后得出錐形導(dǎo)管輸入面直徑為1.92mm、輸出面直徑0.6mm、長(zhǎng)度為14.65mm，其耦合效率是直接利用光纖耦合的4.53倍，其加工誤差控制在0～0.03mm能達(dá)到較好的耦合品質(zhì)。

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