二階橢圓最優(yōu)控制問題數(shù)值解的抽象誤差估計(jì)式

羅賢兵

摘 要：本文利用變分離散技巧對二階橢圓最優(yōu)控制問題的數(shù)值近似得出了抽象誤差估計(jì)，該抽象誤差估計(jì)將最優(yōu)控制（狀態(tài)、協(xié)態(tài)、控制變量）的誤差估計(jì)轉(zhuǎn)化為二階橢圓邊值問題數(shù)值近似的誤差估計(jì)。最后給出了一個(gè)數(shù)值例子，分別用協(xié)調(diào)有限元法，非協(xié)調(diào)有限元法，混合有限元法來求解這個(gè)數(shù)值例子。

關(guān)鍵詞：橢圓最優(yōu)控制問題 變分離散 誤差估計(jì)

1.引言

在企業(yè)及管理中， 會遇到一些最優(yōu)控制問題， 而求出其準(zhǔn)確解幾乎不可能， 因此數(shù)值近似是最優(yōu)控制問題得以應(yīng)用的關(guān)鍵. 本文考慮如下的最優(yōu)控制問題：

minu∈Uad12‖y-yd‖2L2（Ω）+v2‖u‖2L2（Ω）

-Δy=u+f，在Ω里

y=0，在Ω的邊界Γ上，

（1）

其中Ω∈R2為有界凸多角形區(qū)域，Uad={u∈L2（Ω）：在Ω上幾乎處處a≤u（x）≤b，a

-Δy=u+f，在Ω里，y=0，在Γ上，

-Δpy-yd，在Ω里，p=0，在Γ上，

（vu+p，v-u）≥0，任意v∈Uad.

（2）

設(shè)V為一Hilbert空間，定義解算子S：u+f∈L2→y∈及對偶解算子S*：y-yd∈L2→p∈V，則（2）可寫成：求（u，y，p）∈Uad×V×V， 使得

y=S（u+f）

p=S*（y-yd）

（vu+S*（y-yd），v-u）≥0，任意v∈Uad

（3）

設(shè)Vh為一有限維空間，定義解算子Sh：uh+f∈L2→y∈Vh及對偶解算子S*h：yh-yd∈L2→ph∈Vh， 則（3）可以用如下問題來近似. 求（uh，yh，ph）∈Uad×Vh×Vh， 使得

yh=Sh（uh+f）

ph=S*h（yh-yd）

（vuh+S*h（yh-yd），v-uh）≥0，任意v∈Uad

（4）

2.抽象誤差估計(jì)

以下將得出誤差估計(jì)， 為簡潔，將‖·‖L2（Ω）簡記為‖·‖， 將‖·‖L∞（Ω）簡記為‖·‖∞. 關(guān)于準(zhǔn)確解（u，y，p）及近似解（uh，yh，ph）有以下結(jié)論.

定理1 設(shè)S，S*，Sh，S*h為前述定義的線性有界算子， f，yd∈L2（Ω）為已知， 則存在與h無關(guān)的正常數(shù)C（不同的地方取值相同）使得

‖u-uh‖≤Cv{‖（S-Sh）（u+f）‖+‖（S*-S*h）（u+f）‖+‖（S*-S*h）（yd）‖+‖（S*-S-h）（Sh-S）（u+f）‖

（5）

‖y-yh‖≤‖（S-Sh）（u+f）‖+‖（Sh-S）（u-uh）‖+C‖u-uh‖

（6）

‖p-ph‖≤‖（S*-S*h）（y-yd）‖+‖（S*h-S*）（y-yh）‖+C‖y-yh‖

（7）

證明： 在（3）的變分不等式中取v=uh， 在（4）的變分不等式中取v=u得

（vu+S*（S（u+f）-yd），uh-u）≥0

（vub+S*h（Sh（uh+f）-yd），u-uh）≥0

上兩式相加， 并注意到（u-uh，u-uh）=‖u-uh‖2可得

v‖u-un‖2+‖Sh（uh-u）‖2≤（（S*S-S*hSh）（u+f），uh-u）+（（S*h-S*）（yd），uh-u）

對于上述不等式右端的第一項(xiàng)有

（（S*S-S*hSh）（u+f），uh-u）=（（S-Sh）（u+f），S（uh-u））+（（S*-S*h）（S（u+f）），uh-u）+（（S*-S*h）（Sh-S）（u+f），uh-u）

將此式代入上式利用Cauchy不等式可得（5）式. 由于

y-yh=（S-Sh）（u+f）+（Sh-S）（u-uh）+S（u-uh）

利用三角不等式和算子S的有界性便可得到（6）式. 類似可得

p-ph=（S*S*h）（y-yd）+（S*h-S*）（y-yh）+S*（y-yh）

利用三角不等式和算子S*的有界性便可得到（7）式. 證畢

注： （1）算子（S-Sh）（f）表示某種數(shù)值方法的誤差， ‖（S-Sh）（f）表示某種數(shù)值方法的L2（Ω）誤差.

（2）若Vh為線性協(xié)調(diào)有限元空間（見[2]）， 則‖（S-Sh）（f）‖=O（h2），‖（S*-S*h）（f）‖=O（h2）， 根據(jù)定理1可得‖u-uh）‖=O（h2），‖y-yh‖=O（h2），‖y-yh‖=O（h2）.

（3）若Vh為線性非協(xié)調(diào)協(xié)調(diào)有限元空間， 則‖（S-Sh）（f）‖=O（h2），‖（S*-S*h）（f）‖=O（h2），根據(jù)定理1可得‖u-uh‖=O（h2），‖y-yh）‖=O（h2），‖y-yh‖=O（h2）.

（4） 若Vh取為最低階Raviart-Thomas混合有限元空間，則‖（S-Sh）（f）‖=O（h），‖（S*-S*h（f）‖=O（h），根據(jù)定理1可得‖u-uh‖O（h），‖y-yh‖=O（h），‖y-yh‖=O（h）.

3.數(shù)值例子

從文獻(xiàn)[3]選取一個(gè)數(shù)值例子， 取f（x）=0，Ω={（x1，x2）|0≤x1≤1，0≤x2≤1}. 此時(shí)狀態(tài)變量的準(zhǔn)確值為

y（x）=sin（πx1）sin（πx2）-yg

其中yg為問題 “-Δyg=g，在Ω里；yg=0，在Ω的邊界Γ上的解”，函數(shù)g定義如下

g（x）=g（x1，x2）=uf-a，若uf

0，若a≤uf≤b，

uf-b，若uf>b.

其中uf=2π2sin（πx1）sin（πx2）.，yd=（4π4+1）sin（πx1）sin（πx2）-yg，p=-uf，a=3，b=15，u=max（a，min（b，p），

計(jì)算結(jié)果見下圖1和圖2中

圖1 左端為協(xié)調(diào)有限元計(jì)算結(jié)果的收斂階，右圖為非協(xié)調(diào)

有限元（最低階C-R元）計(jì)算結(jié)果的收斂階.

圖2 最低階Raviart-Thomas混合元計(jì)算結(jié)果的收斂階從圖中可以看出， 對控制、狀態(tài)、協(xié)態(tài)變量的協(xié)調(diào)非調(diào)有限元近似的收斂階都為， 最低階混和有限元近似收斂階為. 該數(shù)值例子與理論相符.

文中的結(jié)果告訴我們， 在最優(yōu)性條件的基礎(chǔ)上，可以用不同的數(shù)值方法求解狀態(tài)方程和協(xié)態(tài)方程，并且收斂速度就是該方法的收斂速度. 此結(jié)果對企業(yè)及管理中遇到的控制問題的應(yīng)用有很好的參考價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1]J.L. Lions， Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations， Springer- Verlag， Berlin， 1971.

[2]S.C. Brenner and L.R. Scott， The mathematical theory of finite element methods， Springer-Verlag， New York， 1994.

[3]C. Meyer and A. R？sch， Super-convergence properties of optimal control problems， SIAM Journal on Control and Optimization， Vol.43， No.3， 2004， 970-985.

基金項(xiàng)目：貴州省科技廳項(xiàng)目資助（黔科合[2011]2098）