二重積分在儲(chǔ)油罐發(fā)生變位時(shí)的儲(chǔ)油模型中的應(yīng)用

黃春妙 汪繼秀

摘 要 本文主要利用二重積分求立體體積的方法解決如下問題：當(dāng)儲(chǔ)油罐發(fā)生變位時(shí)，油位高度和儲(chǔ)油量的變化關(guān)系?？山⑷缦履Ｐ停寒?dāng)罐體發(fā)生縱向位傾斜角時(shí)（以 = 4.1拔枚鼗炙慍齟⒂土康奶寤齎與油位高度的函數(shù)表達(dá)式，由函數(shù)表達(dá)式畫出函數(shù)圖像，由圖像進(jìn)行最小二乘法擬合，得到如下模型： = -1.0923023 + 4.9804020 9.0757017 + 8.12020143.21390113.4521009 + 1.00440050.00032896 + 0.0084474根據(jù)模型可得到罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。

關(guān)鍵詞 最小二乘法 二重積分 曲線擬合 數(shù)值分析 matlab

中圖分類號(hào)：O13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。為了掌握罐體變位后對(duì)罐容表的影響，利用圖1的小橢圓型儲(chǔ)油罐（兩端平頭的橢圓柱體），當(dāng)罐體發(fā)生傾斜角為 = 4.1暗淖菹蟣湮皇保⑹P脫芯抗尢灞湮緩蠖怨奕荼淼撓跋臁2⒏齬尢灞湮緩笥臀桓叨燃涓粑？cm的罐容表標(biāo)定值。

首先建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示，以探油針?biāo)谥本€為軸，過探針與油桶的底部交點(diǎn)，利用橢圓柱的直母線作軸，再以交點(diǎn)作原點(diǎn)建立三維空間笛卡爾直角坐標(biāo)系。

根據(jù)圖2建立橢圓柱面的方程為： + = 1其中 = 0.89， = 0.6。

當(dāng)桶內(nèi)有油時(shí)，油面與水平面是平行的，當(dāng)桶發(fā)生生變位時(shí)，油面與平面成角。當(dāng)油針?biāo)谖恢脼橛透邥r(shí)，油面可建立平面的方程為：

+ + + = 0（≠0），

由方程可知該平面過點(diǎn)（0，0，）和點(diǎn)（0，，0）且與面（ = 0）的夾角為，可建立方程：

整理上述方程組（1）得

解方程組（2）得 = 0。

所以平面方程為：

+ = 0即 = + = 0。

若平面經(jīng)過原點(diǎn)，則平面方程為：

+ = 0即 = - 0。

油平面截橢圓柱面所得下半部分的體積，利用二重積分可將體積表示如下：

（1）當(dāng)油還沒有到達(dá)探針底部時(shí) = 0， 0≤≤，

= 2，其中 = {（）∣-0.4≤≤0，0≤≤- }

經(jīng)計(jì)算 = 0.001674，此時(shí)罐儲(chǔ)油量0≤≤ = 0.001674。

這時(shí)油面油位探針顯示的示數(shù)是0。

（a）小橢圓油罐正面示意圖

（b）小橢圓油罐截面示意圖

圖1 小橢圓型油罐形狀及尺寸示意圖

圖2

（2）當(dāng)油面高過探針底部到油面到達(dá)另一端底部時(shí)，0<≤2.05

= 2， = {（）∣-0.4≤≤，0≤≤ }。

求解得：

= 11.7 + 0.2759[259.0） + 4.47 + 4.47 （1.6670.9522）祝？.6670.9522）6.686

（3）油面達(dá)到另一端底部到前一段頂部時(shí)，2.05<≤1.20.4

= 2， = {（）∣-0.4≤≤2.05，0≤≤ }。

運(yùn)行的結(jié)果：

（4）油面達(dá)到前一段頂部到探針頂部時(shí)，1.20.4<<1.2， = +

= （0.4）

= 2， = {（）∣-（0.4）≤≤2.05，0≤≤ }。

結(jié)果： = 35.110.2759[259.0） + 0.2759[25.09] + 4.47（3.3332.952）4.47（1.6671.245）（1.6671.245） + 4.474.4739.4

（5）當(dāng) = 1.2時(shí)，3.98 = （1.2）≤≤

利用最小二乘法擬合函數(shù)得：

= -1.0923023 + 4.9804020 9.0757017 + 8.12020143.21390113.4521009 + 1.0044005 0.00032896 + 0.0084474。

利用擬合函數(shù)可得罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值的表格（省略）。

本模型的最大優(yōu)點(diǎn)是巧妙地運(yùn)用初等數(shù)學(xué)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，并通過利用數(shù)學(xué)工具和Matlab編程的方法，嚴(yán)格地對(duì)模型求解，具有科學(xué)性。建立的模型能與實(shí)際緊密聯(lián)系，結(jié)合實(shí)際情況對(duì)所提出的問題進(jìn)行求解，使模型更貼近實(shí)際，通用性、推廣性較強(qiáng)。由于該模型是通過分類討論，在微積分與立體幾何相結(jié)合的基礎(chǔ)上建立的，因此計(jì)算結(jié)果與實(shí)際比較接近，實(shí)用性比較強(qiáng)，同時(shí)這種思想也能推廣到其他形狀的圖形的體積計(jì)算中去，服務(wù)于各種圖形的求解及其測(cè)量。

基金項(xiàng)目：廣西高等學(xué)校特色專業(yè)及課程一體化建設(shè)項(xiàng)目（GXTSZY2220）《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》；河池學(xué)院重點(diǎn)學(xué)科《應(yīng)用數(shù)學(xué)》（2007）和《統(tǒng)計(jì)學(xué)》（2013），新世紀(jì)教改工程2011年項(xiàng)目（2011JGB321），2011年度廣西教育廳科研項(xiàng)目—立項(xiàng)項(xiàng)目（201106LX583），2011年度院級(jí)青年科研立項(xiàng)A類項(xiàng)目（2011A-N009），湖北省教育廳科研計(jì)劃項(xiàng)目（Q20122504）

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