一種三階多項式相位信號去噪的字典學習算法

歐國建楊士中蔣清平曹海林

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一種三階多項式相位信號去噪的字典學習算法

歐國建*①②楊士中①蔣清平①曹海林①

①(重慶大學飛行器測控與通信教育部重點實驗室 重慶 400044)②(重慶電子工程職業(yè)學院 重慶 401331)

三階多項式相位信號；遞歸最小二乘字典學習算法；字典學習；非線性最小二乘法；曲線擬合

1 引言

字典學習算法的研究有3個方向[7]：第1個是基于概率的字典學習方式，如最大后驗(MAP)字典學習算法[8]；第2個是基于矢量量化的學習方式，如K-means Singular Value Decomposition (K-SVD)字典學習算法[9]；最后是基于具體結構的學習方式，如參數(shù)字典設計[10]。在這3個研究方向內，涌現(xiàn)出了許多的字典學習算法，其共同特征都是通過某種方式使得字典獲得更符合信號內容，特征或者紋理特征。

為了實現(xiàn)對信號的有效去噪，本文提出的字典學習算法在RLS-DLA算法的基礎上，采用非線性最小二乘法修改了該算法對字典的更新部分，我們稱該算法為遞歸最小均方-非線性最小二乘(Recursive Least Squares- Non Linear Least Squares, RLS-NLLS)字典學習算法。實驗表明，相比K-SVD, RLS-DLA和K-SVDD字典學習算法，該算法對CPS具有更好的去噪效果，并且運算量遠遠低于采用固定字典的形式。

2 問題描述

可得到

通過對式(5)的求解，可得到

字典學習是從觀測信號數(shù)據(jù)中得到最優(yōu)的稀疏表示，使得字典中原子結構更接近于觀測信號。對有噪聲的CPS，通過字典學習，字典中的原子結構必然接近于有噪聲的CPS。對此，本文通過非線性最小二乘法對原子結構進行擬合，使其結構接近于無噪聲的CPS，這樣訓練出來的字典通過稀疏表示能有效去除CPS的噪聲。

3 算法描述

3.1 算法思想

分析RLS-DLA及K-SVD字典學習算法對多項式相位信號去噪效果不好的原因，是因為通過這些字典學習算法訓練后得到的字典，其原子結構接近于信號。因此，如果觀測信號是帶噪聲的信號，則通過字典學習，得到的原子結構必然是帶噪的信號結構。那么，如果對原子數(shù)據(jù)進行修正，讓原子結構接近與不帶噪的信號結構，這樣得到的字典通過稀疏表示得到的重構信號，其去噪效果就很明顯。于是本文引入了非線性最小二乘法，通過擬合原子數(shù)據(jù)，讓原來帶噪的原子結構變?yōu)椴粠г氲脑咏Y構。從圖1(a)可以看出，對有加性高斯白噪聲的CPS，用RLS-DLA字典學習算法訓練字典后，訓練后的字典原子是一個含加性高斯白噪聲的函數(shù)，而從圖1(b)中可以看出，通過非線性最小二乘法對原子的擬合，原子是一條光滑的曲線，這樣就有效去除了原子的噪聲。通過這樣的處理得到的字典，通過稀疏分解我們就能對信號有效的去噪。

對非線性最小二乘法擬合，其原理如下：

這就是非線性最小二乘法擬合的基本原理。

3.2 . RLS-NLLS算法

圖1 RLS-DLA字典學習算法得到的原子函數(shù)曲線及擬合曲線

表1RLS-NLLS算法步驟

任務：找到最好的字典，使得該字典通過稀疏表示能有效地去除CPS的噪聲。初始化：任取段觀測信號作為初始字典，并使之標準化。(1)取得第個受訓信號；(2)通過用追蹤算法和，得到系數(shù)矢量；(3)求得；(4)運用，計算矢量, ；(5)更新字典。(1)取得字典的第i個原子；(2)運用非線性最小二乘法擬合原子，得到擬合后的原子；(3)把擬合后的原子代替原來的原子；最后得到的字典為。

4 實驗

本節(jié)主要驗證通過該算法對CPS的去噪效果。去噪效果采用信號的均方誤差(Mean Square Error, MSE)和信噪比(SNR)來衡量，定義如下：

圖2 RLS-NLLS, RLS-DLA, K-SVD及K-SVDD重構信號對比圖

表2 4種算法重構信號的MSE值

表3 4種算法重構信號的SNR值

5 結論

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歐國建： 男，1975年生，博士生，研究方向為壓縮感知、擴頻通信、非平穩(wěn)信號處理.

楊士中： 男，1937年生，教授，中國工程院院士，研究方向為信息與通信工程、電子科學與技術.

蔣清平： 男，1976年生，博士，講師，研究方向為壓縮感知、循環(huán)譜信號處理.

A Dictionary Learning Algorithm for Denoising Cubic Phase Signal

Ou Guo-jian①②Yang Shi-zhong①Jiang Qing-ping①Cao Hai-lin①

①(&,,400044,)②(,401331,)

Cubic Phase Signal (CPS); Recursive Least Squares Dictionary Learning Algorithm (RLS-DLA); Dictionary learning; Non-Linear Least Squares (NLLS); Curve fitting

TN911.7

A

1009-5896(2014)02-0255-05

10.3724/SP.J.1146.2013.00726

歐國建 ouguojia_2005@qq.com

2013-05-23收到，2013-10-25改回

國家自然科學基金(51377179)，中央高?；究蒲袠I(yè)務費(CDJZR12160020)和重慶教委項目(KJ120510)資助課題