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    利用導(dǎo)數(shù)解決一些函數(shù)問(wèn)題

    2014-05-28 07:39:39鄧格
    新課程·中旬 2014年3期
    關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù)

    鄧格

    摘 要:隨著課改的不斷深入,導(dǎo)數(shù)知識(shí)考查的要求逐漸加強(qiáng),而且導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由前幾年只是在解決問(wèn)題中的輔助地位上升為分析和解決問(wèn)題時(shí)不可缺少的工具。有關(guān)導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用主要類型有:求極限、求函數(shù)的切線、判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值和最值、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式、求參數(shù)范圍、解決實(shí)際問(wèn)題等,這些類型成為近兩年最閃亮的熱點(diǎn),是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)之一。下面通過(guò)例題談?wù)勗鯓永脤?dǎo)數(shù)解決一些函數(shù)問(wèn)題。

    關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù);函數(shù)問(wèn)題;應(yīng)用類型

    類型一:利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線

    例1.求曲線y=x3-2x2+1過(guò)點(diǎn)p(2,1)的切線方程.

    解:(1)切點(diǎn)為p點(diǎn)時(shí),由x=2時(shí)y′=4可得切線方程為4x-y+7=0

    (2)切點(diǎn)不是點(diǎn)p時(shí),設(shè)為p0(x0,y0),則有y-1=(3x20-4x0)(x-2)

    又因?yàn)榍悬c(diǎn)是曲線上的點(diǎn),所以有y0=x30-2x20+1.

    可以求出x0=0,2,其中x0=2是切點(diǎn)為p的情況,所以x0=0.

    求得切線方程為y=1.

    這是一類易錯(cuò)題型,很容易忽略切點(diǎn)不是p點(diǎn)的情況,解題時(shí)需要注意,“求在點(diǎn)p處的切線”和“求過(guò)點(diǎn)的切線”二者的不同。

    類型二:利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

    例2.求函數(shù)y=2x3-4x2+2x的單調(diào)區(qū)間。

    解:y′=6x2-8x+2,由y′>0得6x2-8x+2>0,解得x<■或x>1.

    由y′<0得6x2-8x+2<0,解得■

    故所求單調(diào)增區(qū)間為(-∞,■),(1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(1,■).

    利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟是:

    (1)確定f(x)的定義域;

    (2)求導(dǎo)數(shù)f′(x);

    (3)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0和f′(x)<0;

    (4)確定f(x)的單調(diào)區(qū)間。若在函數(shù)式中含字母系數(shù),往往要分類討論。

    函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一條重要性質(zhì),也是高中階段研究的重點(diǎn),我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系,用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。

    類型三:利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值

    例3.求函數(shù)f(x)=x3-27x的極值.

    解:由f′(x)=3x2-27=0,解得x=3或x=-3.

    當(dāng)x變化時(shí),y′、y的變化情況如下:

    當(dāng)x=-3時(shí),y有極大值f(-3)=-54,當(dāng)x=3時(shí),y有極小值f(3)=

    -54.

    求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟是:

    (1)確定函數(shù)定義域,求導(dǎo)數(shù)f′(x);

    (2)求f′(x)=0的所有實(shí)數(shù)根;

    (3)對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)根進(jìn)行檢驗(yàn),判斷在每個(gè)根(如x0)的左右側(cè),導(dǎo)函數(shù)f′(x)的符號(hào)如何變化,如果f′(x)的符號(hào)由正變負(fù),則f(x0)是極大值;如果f′(x)的符號(hào)由負(fù)變正,則f(x0)是極小值。求出極值后再將極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比較,就可以得到最值了。

    在一些不等式的證明和解不等式問(wèn)題中,只要在解題過(guò)程中需要用到函數(shù)的單調(diào)性或最值,我們也都可以用導(dǎo)數(shù)作工具來(lái)解決。另外,導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中也有一些應(yīng)用,比如與幾何有關(guān)的最值問(wèn)題、與利潤(rùn)及其成本有關(guān)的最值問(wèn)題還有效率最值問(wèn)題等,這些問(wèn)題最終都可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題。在利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題的過(guò)程中,只要加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解,重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用,就能夠很好地掌握這個(gè)工具,幫助我們解決問(wèn)題,也為今后的高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

    (作者單位 湖北省孝感一中)

    ?誗編輯 馬燕萍

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