帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式的新證明

姚海燕

（聊城大學(xué) 東昌學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 聊城 252000）

帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式的新證明

姚海燕

（聊城大學(xué) 東昌學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 聊城 252000）

本文用數(shù)學(xué)歸納法給出了帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式的新證明，證明過(guò)程簡(jiǎn)潔嚴(yán)密，且便于學(xué)生理解。

泰勒公式；數(shù)學(xué)歸納法；佩亞諾型余項(xiàng)

泰勒公式是一元微積分學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，它是分析學(xué)中研究解析函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)，是大學(xué)一年級(jí)理工科學(xué)生必需掌握的內(nèi)容。帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式的證明有兩種方法：一種是多次引用柯西中值定理，可見(jiàn)文獻(xiàn)[1]中的證明；另一種是用羅爾中值定理，可見(jiàn)文獻(xiàn)[2]中定理5.18的證明。關(guān)于泰勒公式的各種余項(xiàng)可參見(jiàn)文獻(xiàn)[3]中的討論，在此不再贅述。文獻(xiàn)[4]中指出，如果f（n+1）（x）有界，當(dāng)x→x0時(shí)，泰勒公式的拉格朗日型余項(xiàng)可換為佩亞諾型余項(xiàng)這樣就得到了帶有佩亞諾型余項(xiàng)o（（x-x0）n）的泰勒公式。此公式在文獻(xiàn)[4]中未給出證明，妨礙了它的使用；對(duì)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生講解時(shí)，也需要補(bǔ)充大量的細(xì)節(jié)才得以證明。在此，我們給出它的新證明，說(shuō)明只需要存在f（n）（x）即可。所用的證明方法是學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)歸納法。文獻(xiàn)[3]中曾用此方法證明過(guò)該公式，但符號(hào)比較抽象，不便于學(xué)生理解，很多教科書(shū)中未采用。我們以定理的形式給出帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式：

定理中沒(méi)有出現(xiàn)f（n+1）（x），也就是對(duì)f（n+1）（x）的存在性及其性質(zhì)均沒(méi)有要求。實(shí)際上，當(dāng)n=1時(shí)，（1）式為有限增量公式，f"（x）與無(wú)關(guān)，這更使我們堅(jiān)信定理的正確性。

證：只要證

即當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立。假設(shè)存在正整數(shù)k，使當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立。當(dāng)f（k+1）（x0）存在時(shí)，則f'（x）在x0處有k階導(dǎo)數(shù)，這時(shí)對(duì)f'（x）運(yùn)用歸納法，有：

再根據(jù)洛必達(dá)法則，就得到：

所以當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)一切正整數(shù)n，結(jié)論都成立。

利用歸納法證明本定理，詳盡流暢，更嚴(yán)謹(jǐn)，更有邏輯性，關(guān)鍵在于對(duì)f'（x）利用歸納法的講解。本定理擺脫了文獻(xiàn)[4]中f（n+1）（x）有界這一條件的限制，使用該定理解決一些難題將非常簡(jiǎn)便，比如文獻(xiàn)[4]中總習(xí)題三帶*的第18題?，F(xiàn)以例題的形式給出：

將該題的條件代入定理，立得該題結(jié)論。

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析第四版（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2010：141-142.

[2]周民強(qiáng).數(shù)學(xué)分析（第一冊(cè)）[M].上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2002：295-296.

[3]г.M.菲赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程（第一卷）[M].3版.楊弢亮，葉彥謙，譯.北京：高等教育出版社，2006：207-216.

[4]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].6版.北京：高等教育出版社，2007：139-142，183.

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1674-9324（2014）20-0120-01