第七屆“數(shù)學(xué)教育中的歷史與認(rèn)識論歐洲暑期大學(xué)”綜述

朱 琳

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第七屆“數(shù)學(xué)教育中的歷史與認(rèn)識論歐洲暑期大學(xué)”綜述

朱 琳1，2

（1．華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海 200241；2．上海交通大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海 200240）

1 ESU7情況介紹

第七屆“數(shù)學(xué)教育中的歷史與認(rèn)識論歐洲暑期大學(xué)”（European Summer University on the History and Episte- mology in Mathematics Education，簡稱ESU-7）于2014年7月13—18日在丹麥奧胡斯大學(xué)哥本哈根Emdrup校區(qū)召開．國際HPM組織前主席、法國南特大學(xué)的Evelyne Barbin，丹麥哥本哈根大學(xué)的Tinne Hoff Kjeldsen和丹麥奧古斯大學(xué)的Uffe Thomas Jankvist組織了本次大會．

1.1 ESU溯源

早在20世紀(jì)80年代初，法國數(shù)學(xué)教育學(xué)會發(fā)起并舉辦了“數(shù)學(xué)教育中的歷史與認(rèn)識論暑期大學(xué)”．之后，歐洲范圍內(nèi)成立了ESU組織，并于1993年在法國的蒙彼利埃（Montpellier）舉辦了第一屆“數(shù)學(xué)教育中的歷史與認(rèn)識論歐洲暑期大學(xué)”．自此之后，ESU大會每隔3年舉辦一次，分別是1996年在葡萄牙的Braga，1999年在比利時的Louvain-la-Neuve和Leuven，2004年在瑞典的Uppsala，2007年在捷克的Prague，以及2010年在奧地利的Vienna．從2010年起，ESU改為每4年舉辦一次，和ICME的HPM衛(wèi)星會議一起成為國際HPM組織委員會每兩年一次的HPM國際會議．

1.2 ESU的目標(biāo)與宗旨

ESU的面向?qū)ο蟀ǎ簩τ跀?shù)學(xué)史如何融入數(shù)學(xué)教學(xué)感興趣的中小學(xué)教師和大學(xué)師生，以及對于數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)史和認(rèn)識論之間有所研究的數(shù)學(xué)史家和數(shù)學(xué)家．主要目標(biāo)在于從歷史、認(rèn)識論和文化的視角研究數(shù)學(xué)教學(xué)，尤其是課堂實踐；為數(shù)學(xué)教師、教育工作者和研究人員搭建一個分享教學(xué)思想和HPM課堂教學(xué)經(jīng)驗的平臺；增進全世界數(shù)學(xué)教師和HPM研究者之間的合作．ESU關(guān)注的基于歷史與認(rèn)識論的數(shù)學(xué)教育的重點在于：以自然發(fā)生的方式來揭示數(shù)學(xué)，將促進學(xué)生對具體數(shù)學(xué)知識的理解，并幫助他們理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)以及提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果、激發(fā)學(xué)生對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣．

1.3 ESU7的主題

ESU-7主要聚焦在數(shù)學(xué)史和認(rèn)識論研究指導(dǎo)下的課堂實踐教學(xué)，也關(guān)注有教學(xué)意義的理論觀點和歷史分析，包括7項研究主題：（1）在數(shù)學(xué)教育中融入數(shù)學(xué)史的理論和（或）概念框架；（2）從認(rèn)知和情感視角觀察到的課堂實踐，以及對于課程和教材等教學(xué)材料的研究；（3）課堂上使用的原始材料以及實際的教學(xué)效果；（4）在數(shù)學(xué)和科學(xué)的教學(xué)中，以歷史和認(rèn)識論為工具的跨學(xué)科方法；（5）文化與數(shù)學(xué)；（6）數(shù)學(xué)教育的歷史；（7）北歐國家的數(shù)學(xué)史研究．

2 ESU7會議內(nèi)容

本屆會議參會代表包括來自法國、德國、英國、丹麥、意大利、美國、巴西、希臘、中國等地的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育專家，以及中小學(xué)教師和研究生等共計139人．會議共設(shè)大會報告6場，專題討論2場，2小時工作坊23場，3小時工作坊16場，以及口頭報告38場，簡短口頭報告和海報展示8場．

2.1 大會報告

ESU-7共安排了6場1小時大會報告，分屬7個主題．

意大利熱那亞大學(xué)的Adriano Demattè作了題為“課堂中的歷史：教育的時機和開放的問題”的報告，該報告屬于主題2和3．Demattè教授從理論角度批判性地分析了如下問題：詮釋學(xué)和發(fā)生教學(xué)法能共存嗎？數(shù)學(xué)史能提高哪種跨學(xué)科的能力？哪一類學(xué)生能從中受益？相反學(xué)生又會從中產(chǎn)生哪些額外的困難？哪些會受到課程的限制？并介紹了他在課堂中的一些教學(xué)案例．他同時強調(diào)，由于日常課堂教學(xué)活動的復(fù)雜性，不能簡單從幾個案例中得到問題的最終答案．

法國南特大學(xué)的Evelyne Barbin在其報告中梳理了自弗賴登塔爾1983年國際數(shù)學(xué)家大會的報告[1]之后30年來有關(guān)HPM研究的文獻，重點介紹在對歷史的理解和對歷史和教育之間關(guān)系的理解下，所構(gòu)建的數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的理論框架．該報告屬于主題1．她還在后續(xù)的工作坊中詳細(xì)介紹文獻綜述中所引用的原始文獻和歷史材料．

分屬主題4的大會報告是法國巴黎七大Cécile de Hosson的“通過使用早期希臘和中國宇宙學(xué)中的歷史材料提升跨學(xué)科教學(xué)”．傳統(tǒng)教學(xué)中，數(shù)學(xué)和科學(xué)這兩個學(xué)科是相互分離的．通過古代希臘和中國宇宙學(xué)中的兩個歷史片段，融入數(shù)學(xué)和科學(xué)這種跨學(xué)科的教學(xué)，將在一定程度上改變學(xué)生對于科學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識．Hosson教授在報告中介紹了古代中國的《周髀算經(jīng)》、張衡的渾天儀、趙爽對“日高術(shù)”的證明等歷史材料．遺憾的是，她介紹重差術(shù)時所描述的相似三角形原理，與趙爽的面積割補原理是有出入的．

來自冰島大學(xué)的Kristin Bjarnadottir作了題為“歷法和貨幣——融入文化、自然、社會和語言”的大會報告，屬于主題5．通過介紹不同社會中所使用的歷法和貨幣，讓學(xué)生認(rèn)識到這是所處的文化和語言環(huán)境的不同反映，由此促進對不同文化環(huán)境中的相關(guān)數(shù)學(xué)主題的理解．

巴西里約熱內(nèi)盧聯(lián)邦大學(xué)GertSchubring的報告“數(shù)學(xué)教育史的一些新方法和結(jié)果”屬于主題6．他介紹，數(shù)學(xué)教育史的第一篇博士論文誕生于20世紀(jì)初，其后的相關(guān)研究都是數(shù)學(xué)教育的國別史．自第一份國際期刊《國際數(shù)學(xué)教育史雜志》（IJHME）于2006年創(chuàng)刊后，研究的重點轉(zhuǎn)變到關(guān)于數(shù)學(xué)教育史的國際比較研究．Schubring教授介紹了自己的一些比較研究成果．

分屬主題7的是南丹麥大學(xué)Bjarne Toft的“圖論的出現(xiàn)：彼得森（Julius Petersen，1839—1910）和西爾維斯特（James Joseph Sylvester，1814—1897）”，他以幽默的語言、生動的講述，為大家介紹了丹麥數(shù)學(xué)家彼得森在正則圖理論誕生過程中發(fā)生的歷史故事．

2.2 專題討論

大會設(shè)有兩場專題討論，每場由5名學(xué)者分別闡述觀點，互相辯論，并與現(xiàn)場發(fā)言者進行討論和互動，引發(fā)與會者極大的關(guān)注和思考．第一場專題討論的主題為“數(shù)學(xué)教育中信息技術(shù)的歷史和哲學(xué)方法”，討論包括如下3個問題：（1）教學(xué)活動中計算機技術(shù)的使用是如何改變數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的？這種改變的程度如何？數(shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)是如何理解和學(xué)習(xí)的？（2）數(shù)學(xué)教育中要持續(xù)使用計算機技術(shù)嗎？（3）計算機技術(shù)在做數(shù)學(xué)和學(xué)數(shù)學(xué)中有哪些不同？專題討論中提到了影響數(shù)學(xué)教育的不同領(lǐng)域，包括學(xué)科領(lǐng)域、專業(yè)領(lǐng)域、學(xué)術(shù)領(lǐng)域以及學(xué)生的日常生活領(lǐng)域，并特別強調(diào)：不同的理論要求不同領(lǐng)域的實證研究問題與教育教學(xué)建議．第二場專題討論的主題為“數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的課堂評價”，由來自英國、美國、德國、法國的5名學(xué)者探討了在數(shù)學(xué)史材料融入課堂教學(xué)中，如何建立定性和定量的評價模式，來評估課堂教學(xué)活動的效果．

2.3 工作坊

歷時5天的大會共開設(shè)了39場工作坊，在相同時間里同時進行多場工作坊．由組織者準(zhǔn)備有關(guān)歷史、認(rèn)識論、教學(xué)法以及教學(xué)的原始材料，分發(fā)給參與者進行閱讀和思考，并展開充分的分析和討論．其中，2小時工作坊討論的主要是課堂教學(xué)材料，3小時工作坊討論的主要是關(guān)于歷史和認(rèn)識論材料．各工作坊的主題分布如圖1所示．

圖1 工作坊的大會主題分布

工作坊以靈活多樣的形式，展示了報告人在相關(guān)主題的實踐和研究，并由報告人帶領(lǐng)參與者一起閱讀原始文獻、研究文獻、課堂講義等，針對相關(guān)主題進行討論和思考．表1給出了各工作坊主題的內(nèi)容．

表1 工作坊統(tǒng)計

2.4 口頭報告和海報展示

38場口頭報告也是在不同的時間段中分別同時進行．表2給出了各主題的分布情況．

表2 口頭報告主題分布

注：ESU大會將主題2定為課堂實踐觀察以及課程和教材等教學(xué)材料的研究，將主題3定為課堂上使用的原始材料以及實際的教學(xué)效果研究，這兩個主題相互交叉很難嚴(yán)格區(qū)分，因此在大會報告和口頭報告環(huán)節(jié)，相關(guān)主題都?xì)w入主題2&主題3．

與此可見，對于在數(shù)學(xué)教育中融入數(shù)學(xué)史的理論和概念框架的研究，共計18場，占了口頭報告的主要部分．其中，德國學(xué)者Hans Niels Jahnke闡述了托普利茲發(fā)生教學(xué)法的意義和內(nèi)容；華東師范大學(xué)汪曉勤教授綜述了中國大陸HPM研究領(lǐng)域的進展，并將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的方式分成附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式；巴西學(xué)者Aline Bernardes 和Tatiana Roque基于Sfard“思考即交流”以及Epple認(rèn)識對象和認(rèn)識技術(shù)的概念理論進行分析，設(shè)計將矩陣的歷史融入數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)活動；華東師范大學(xué)的王科介紹了HPM領(lǐng)域的設(shè)計研究方法：包括調(diào)研與分析、開發(fā)與設(shè)計、執(zhí)行與操作、分析與評估、應(yīng)用與推廣5個階段，并形成了教師知識領(lǐng)域、數(shù)學(xué)教育者知識領(lǐng)域和數(shù)學(xué)史專家知識領(lǐng)域的HPM三棱錐模型；墨西哥Gabriela Buendía Abalos從“為何”角度，闡述認(rèn)識論是確定教學(xué)方式的重要基礎(chǔ)，并探討了發(fā)展數(shù)學(xué)史融入教學(xué)理論的必要性；法國的Thomas Hausberger則介紹了基于在Montpellier大學(xué)實施的教學(xué)實驗所得到的關(guān)于歷史和認(rèn)識論的理論及實踐框架．

主題2及主題3的口頭報告涉及實際的課堂教學(xué)案例以及課堂教學(xué)材料，內(nèi)容包括對數(shù)概念教學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、圓的大小關(guān)系比較、幾何軟件解決數(shù)學(xué)問題、圓的面積教學(xué)、橢圓教學(xué)等方面．

15分鐘的簡短口頭報告和海報展示共計8場．其中1場介紹“數(shù)學(xué)，教育和戰(zhàn)爭”，屬于主題5；其余均屬于主題2和主題3，包括意大利Miglena Asenova概率案例的實證研究，意大利Michela Maschietto的報告“帕斯卡：從歷史到課堂”，墨西哥Alejandro Rosas-Mendoza對于殘疾學(xué)生這一特殊教育的介紹，墨西哥Leticia del Rocío Pardo-Mota對于中國古代數(shù)學(xué)中級數(shù)和序列的研究，以及華東師范大學(xué)朱琳介紹的數(shù)學(xué)史融入導(dǎo)數(shù)幾何意義教學(xué)的課堂案例和美國Laurence Kirby展示的“從古代數(shù)學(xué)到現(xiàn)代數(shù)學(xué)”視頻．

3 ESU7會議內(nèi)容的特點

3.1 重視教育取向的數(shù)學(xué)史原始資料的挖掘

數(shù)學(xué)是人類幾千年發(fā)展歷史中智慧的結(jié)晶．漫漫歷史長河中，數(shù)學(xué)史的資源取之不盡用之不竭．HPM的研究不是為歷史而研究歷史，而是為教育而研究歷史，是教育取向的數(shù)學(xué)史研究[2]，需要挖掘?qū)ふ疫m合課堂教學(xué)的數(shù)學(xué)史，并針對原始?xì)v史素材和資料進行“再創(chuàng)造”．Frank Swetz介紹了古希臘、古羅馬、古代中國歷史中豐富的數(shù)學(xué)史資源；Michel Roelens利用歐洲戰(zhàn)爭中使用的星盤教學(xué)生計算白天的長度、決定當(dāng)?shù)貢r間等，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的興趣；Caterina Vicentini開創(chuàng)了“數(shù)學(xué)游戲角”，利用歐拉的代數(shù)算法發(fā)明了關(guān)于算術(shù)級數(shù)的游戲；Kathleen Clark研究了諾貝爾物理學(xué)獎得主保羅·狄拉克（Paul A. M. Dirac，1902—1984）解決多項式方程的方法，并與歷史上其它的方法進行比較；蕭文強研究了著名的Malfatti問題：給定三角形中3個內(nèi)接圓形的幾何問題；Tinne Hoff Kjeldsen介紹了卡爾達諾和沃利斯發(fā)明復(fù)數(shù)的兩種不同方法；Klaus Volkert介紹了18世紀(jì)的平行線問題，等等．尤其值得關(guān)注的是，本次ESU7中由西方學(xué)者介紹的古代中國數(shù)學(xué)史專題涉及1個大會報告、3場工作坊和5個口頭報告（含簡短口頭報告），內(nèi)容包括《九章算術(shù)》、《周髀算經(jīng)》、《圓容較義》等古代中國數(shù)學(xué)名著以及割圓術(shù)、重差術(shù)、中國剩余定理等數(shù)學(xué)思想和方法以及幻方、數(shù)獨等古老中國的數(shù)學(xué)游戲，與此可見西方學(xué)者對東方數(shù)學(xué)史的重視與研究．

3.2 關(guān)注實際的課堂教學(xué)和實踐

HPM研究的目的是“為教育而歷史”，要把數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅著眼于理論研究，更重要的是實踐開發(fā)[3]．本次大會工作坊和口頭報告環(huán)節(jié)，涉及實際課堂教學(xué)的比例分別為43%和21%，可見比重之重．其中，Michela Maschietto用阿波利尼斯的錐形槽模型和旦德林球模型引入圓錐曲線教學(xué)；JanetHeineBarnett指導(dǎo)學(xué)生通過閱讀拉格朗日、柯西、凱萊關(guān)于群論的原始講義，以歷史發(fā)生的順序講解抽象代數(shù)知識；RenaudChorlay基于《幾何原本》和古巴比倫求近似平方根的方法，利用動態(tài)幾何軟件設(shè)計3種不同的學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的課堂活動；GhislaineIdabouk利用歷史上海倫求根的近似值的方法指導(dǎo)教學(xué)，并分析了歷史材料使用和歷史視角教學(xué)的相關(guān)性．

3.3 強調(diào)數(shù)學(xué)史在教師教育中的作用

教師是HPM教學(xué)和研究的主體，教師的HPM能力和素養(yǎng)是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的根本和保證．教師教育關(guān)注的研究主要分為職前教師教育和在職教師培訓(xùn)．本次大會中，與教師教育的HPM研究相關(guān)的工作坊有7個，包括以色列在職教師教育中介紹“明天的歷史”，土耳其在職前教師教育中指導(dǎo)教師挑選和準(zhǔn)備原始?xì)v史資料，丹麥在職前教師教育中設(shè)計歷史融入邏輯增長的教學(xué)案例，以及德國和西班牙的教師教育項目介紹．口頭報告也有3個主題與教師教育相關(guān)，包括“教師反思中傳統(tǒng)與非傳統(tǒng)觀點的交叉問題”、“用數(shù)學(xué)教育中的社會文化方法來調(diào)查職前中學(xué)教師的數(shù)學(xué)史能力”以及“職前教師對數(shù)學(xué)的理解”．

3.4 中國大陸HPM研究首次走進ESU

值得一提的是，共有7位中國大陸HPM研究者參加了ESU-7．其中6人各作了30分鐘的口頭報告，1人作了15分鐘的簡短口頭報告和海報展示，主題包括汪曉勤：“中國大陸的HPM研究”、王科：“設(shè)計研究——HPM研究領(lǐng)域的新范式”、林佳樂：“HPM的理論框架”這些理論探討，還有田方琳：“數(shù)學(xué)史融入對數(shù)概念教學(xué)”、洪燕君：“HPM視角下圓的面積教學(xué)”、鄒佳晨：“發(fā)生教學(xué)法教橢圓”以及朱琳：“發(fā)生教學(xué)法教導(dǎo)數(shù)”的實踐教學(xué)案例研究．據(jù)香港大學(xué)的蕭文強教授回憶，在HPM領(lǐng)域的國際會議中，大陸學(xué)者最早是華東師范大學(xué)張奠宙教授1988年在法國馬賽Luminy鎮(zhèn)參加的由ICME發(fā)起，HPM主辦的“數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的作用”國際研討會．此后陸續(xù)有郭書春、曲安京等大陸學(xué)者參與ICME的HPM衛(wèi)星會議．但在此之前，華人學(xué)者中只有蕭文強教授曾經(jīng)參加ESU會議．作為大陸學(xué)者第一次參加ESU這一使用英語為通用語言的國際性學(xué)術(shù)會議，ESU-7標(biāo)志著中國大陸HPM研究首次以團隊展示形式走向了世界．

4 若干啟示

4.1 HPM理論框架的構(gòu)建

HPM組織自從1972年成立至今，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系從為何到如何的討論已經(jīng)逐漸走向成熟．克萊因、卡約里等數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家都曾高度評價數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的價值和作用，數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的意義得到更多的關(guān)注、重視和認(rèn)同．?？藸柕摹皞€體發(fā)展重演種族發(fā)展”、弗賴登塔爾的再創(chuàng)造理論、建構(gòu)主義、發(fā)生教學(xué)法，都從各方面提供了HPM研究的方法．而今的HPM研究，又越來越多地與信息技術(shù)、數(shù)學(xué)教育心理學(xué)、認(rèn)知理論等相結(jié)合．HPM的課堂需要有合適的課堂評價模型以評價教學(xué)效果和教育價值．這些都需要研究者在理論研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合實證研究的方法，進行深入地研究和思考，在前人工作基礎(chǔ)上構(gòu)建理論和實踐領(lǐng)域的框架模型．

4.2 HPM教學(xué)案例的深入開發(fā)與實踐

哪些數(shù)學(xué)史材料能夠用于課堂教學(xué)？如何將數(shù)學(xué)史材料用于課堂教學(xué)？這些問題需要在課堂教學(xué)的實踐中進行進一步的研究和驗證．HPM研究者的任務(wù)，是要選擇合適的數(shù)學(xué)專題，挖掘原始的歷史資料和材料，對歷史資料進行重構(gòu)與“再創(chuàng)造”，以開發(fā)出適合課堂實際教學(xué)的案例．歷史的寶藏博大精深，任一數(shù)學(xué)專題的教學(xué)，如導(dǎo)數(shù)、對數(shù)、負(fù)數(shù)的教學(xué)案例，都有豐富的史料可以利用，有不同方案的教學(xué)設(shè)計．HPM研究者與教師一起，對教學(xué)案例進行深入的開發(fā)和實踐，是HPM研究領(lǐng)域的重要工作．

4.3 HPM與教師教育的研究

數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)教師用于數(shù)學(xué)教學(xué)的必備知識[4]，而職前教師和在職教師是實現(xiàn)HPM實踐教學(xué)的關(guān)鍵因素．通過設(shè)計和開發(fā)相應(yīng)的職前和在職教師培訓(xùn)項目的課程，提升數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)，并提高他們運用數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的能力，對教師專業(yè)能力的成長和HPM研究的深入開展，都是不可或缺的重要部分．

4.4 中國HPM研究者的工作任重道遠(yuǎn)

中國大陸的HPM研究第一次走進ESU國際會議，從理論探討、研究方法探索到實踐案例開發(fā)設(shè)計，作了充分精彩的展示，引起了西方學(xué)者的進一步關(guān)注和東西方之間HPM領(lǐng)域的深入交流．大陸的HPM研究者還需要克服語言障礙，深入整理研究成果和案例，在國際HPM學(xué)術(shù)期刊上進行公開發(fā)表和宣傳，以更加積極的姿態(tài)活躍于國際HPM學(xué)術(shù)舞臺．同時要看到，由于中國古文、英文、法文等數(shù)學(xué)史文獻翻譯的問題，很遺憾出現(xiàn)了一些錯誤．需要大陸HPM學(xué)者乃至數(shù)學(xué)史研究者對古代中國數(shù)學(xué)史進行進一步的宣傳和校正，以更加準(zhǔn)確地傳播古老東方的數(shù)學(xué)史成果和思想精髓．東西方的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育還需繼續(xù)深入地交融合作，反思對方的做法和經(jīng)驗，建立適用的理論和實踐，以真正提高數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的理論和實踐水平．

2014–08–12

G40-034

A

1004–9894（2014）06–0086–04

[責(zé)任編校：周學(xué)智]