中心對(duì)稱(chēng)量子態(tài)的量子失協(xié)

(上饒師范學(xué)院，江西 上饒 334001)

引言

量子失協(xié)是比量子糾纏更廣泛的一類(lèi)量子關(guān)聯(lián)。在量子信息、量子計(jì)量、凝聚態(tài)物理等學(xué)科中有重要應(yīng)用[1,2]。計(jì)算量子失協(xié)是一個(gè)比較困難的問(wèn)題，即使一個(gè)一般的兩比特量子系統(tǒng)也沒(méi)有一個(gè)完整的解析公式。已有的結(jié)果包括諸如限制在著名的“Χ”態(tài)等?！唉丁睉B(tài)是一個(gè)4×4的只有對(duì)角線(xiàn)和反對(duì)角線(xiàn)上存在非零值的密度矩陣。文[3,4]介紹了它的代數(shù)性質(zhì)和關(guān)于量子失協(xié)解析公式的相關(guān)結(jié)果?！唉丁睉B(tài)密度矩陣包含了許多有名的量子態(tài)，諸如Bell對(duì)角態(tài)，Werner態(tài)，Isotropic態(tài)等等。n×n中心對(duì)稱(chēng)態(tài)密度矩陣滿(mǎn)足：aij=an-i+1,n-j+1。在本文中我們通過(guò)局域正交變換建立中心對(duì)稱(chēng)態(tài)和“Χ”態(tài)之間的聯(lián)系，得到了中心對(duì)稱(chēng)態(tài)密度矩陣的量子失協(xié)的解析公式。

1 中心對(duì)稱(chēng)態(tài)和“Χ”態(tài)密度算子

量子力學(xué)中密度算子必須是厄米、非負(fù)并且跡為1的一個(gè)方陣。一個(gè)一般的4×4中心對(duì)稱(chēng)態(tài)記為

(1)

其中p1，…，p7為參數(shù)。對(duì)雙量子比特“Χ”態(tài)，我們有

(2)

其中q1，…，q7為實(shí)參數(shù)，考慮如下雙Hadamard變換

(3)

(4)

為Hadamard變換。矩陣R為實(shí)對(duì)稱(chēng)正交陣。

由(1)-(3)我們有如下關(guān)系：

H?HρcH?H=ρx

(5)

且

H?HρxH?H=ρc

(6)

這里它們之間的矩陣元素有如下關(guān)系

Imp14=-Imp41=q5=-p3-p5,

Imp23=-Imp32=q7=-p3-p5

(7)

反之，

(8)

將ρc用Pauli矩陣展開(kāi)可得

(9)

對(duì)ρc實(shí)行Hadamard變換可得

(10)

事實(shí)上，由ρx的Bloch表示，我們有

〔1-2(q2+q3)〕σz?σz-2(q5-q7)σx?σx-2(q5+q7)σy?σx}

(11)

因此，我們有中心對(duì)稱(chēng)態(tài)的量子失協(xié)可以轉(zhuǎn)化為Χ態(tài)的量子失協(xié)

Q(ρc)=Q(ρx)

(12)

2 物理解釋

考慮各向異性Dzyaloshinsky-Moriya 相互作用XXZ模型。當(dāng)Dzyaloshinsky向量D為X方向時(shí)，雙量子比特的哈密頓量為

(13)

(14)

由(14)知矩陣為中心對(duì)稱(chēng)矩陣，注意到，中心對(duì)稱(chēng)矩陣的和與積還是中心對(duì)稱(chēng)矩陣，因此，相應(yīng)的吉布斯密度矩陣也是中心對(duì)稱(chēng)的。即該模型量子失協(xié)是可計(jì)算的。

考慮NMR(核磁共振，nuclear magnetic resonance)自旋分子或者原子對(duì)量子關(guān)聯(lián)的演化。相應(yīng)的密度算子為：

(15)

這是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)矩陣，其中

(16)

這里N為粒子數(shù)，a為耦合常數(shù)，β為轉(zhuǎn)換溫度。文[7]計(jì)算了該模型當(dāng)p=u=0和q=r時(shí)的量子失協(xié)，應(yīng)用這個(gè)方法執(zhí)行Hadamard變換，則矩陣有如下Χ態(tài)的結(jié)構(gòu)

(17)

寫(xiě)成Bloch形式為：

(18)

對(duì)上式施行局域酉變換消除‘xy’交叉項(xiàng)，使得密度矩陣化簡(jiǎn)為實(shí)Χ型。即

(19)

(20)

由Χ態(tài)量子失協(xié)的計(jì)算方法，我們得到Q=min{Q1,Q2}

(21)

這里

(22)

Q2=Sr-S-D1log2D1-D2log2D2,

(23)

(24)

在方程(22)和(23)中，S,Sr分別表示密度矩陣的熵，其中

(25)

這里λj為密度矩陣的本征值

(26)

(27)

考慮如下(PP)態(tài)

(28)

這里|Ψ〉為任意2量子比特純態(tài)，I為密度算子，且概率α∈〔0,1〕這個(gè)態(tài)在(NMR)核磁共振量子計(jì)算中作為一個(gè)可能的資源，容易驗(yàn)證

〈Ψ|=α(|00〉+|11〉)+b(|01〉+|10〉)

(29)

(|a|2+|b|2=1/2,且{|00〉,|01〉,|10〉,|11〉為計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正交基})，這個(gè)態(tài)ppp滿(mǎn)足中心對(duì)稱(chēng)態(tài)的條件，因此可以利用上面的性質(zhì)計(jì)算量子失協(xié)。

3 結(jié)論

我們通過(guò)局域正交變換建立了中心對(duì)稱(chēng)態(tài)和Χ型矩陣的聯(lián)系。由此推出了中心對(duì)稱(chēng)態(tài)可計(jì)算的量子失協(xié)計(jì)算公式和方法，并且討論了中心對(duì)稱(chēng)態(tài)在各種物理系統(tǒng)中的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

[1] K.Modi,A.Brodutch,H.Cable,T.Paterik,and V.Vedral.The classical-quantum boundary for correlations;discord and related measures[J].Rev.Mod.Phys,2012,84:1655-1707.

[2] T.Yu and J.H.Eberly.Evolution from Entanglement to Decoherence of Bipartite Mixed “Χ”States[J] .Quantum lnf.Comput,2007,7:459-468.

[3] A.R.P.Rau.Algebraic characterization of Χ-states in quantum information[J].J.Phys.A:Math.Theor,2009,42:0412002.

[4] M.Ali,A.R.P.Rau.and G.Alber.Quantum discord for two-qubit Χ-states[J].Phys.Rev.A,2010,81:042105.

[5] Q.Chen,C.Zhang,S.Yu,X.X.Yi,and C.H.Oh.Quantum discord of two-qubit X-states[J].Phys.Rev.A,2011,84:042313.

[6] Y.-Y.Chen and Y.Zhi.Thermal quantum discord in the anisotropic Heisenberg XXZ model with the Dzyaloshindkii-Moriya interaction[J].Commun.Theor.Phys,2010,54:02536102.

[7] E.B.Fel'dman,E.I.Kuznersova,and M.A.Yurishchev.Quantum correlations in a system of nuclear s=1/2 spins in a srtong magnetic field[J].J.Phys.A:Math.Theor,2012,45:475304.

[8] F.F.Fanchini,T.Werlang,C.A.Brasil,L.G.E.Arrusa,and A.O.Caldeira. Non-Markovian Dynamics of Quanrnm Discord[J].Phys.Rev.A,2010,81:052107.

[9] J.Maziero,R.Auccaise,L.C.C'eleri,D.O.Soares-Pinto,E.R.deAzevedo,T.J.Bonagamba,R.S.Sarthour,I.S.Oliveira,and R.M.Serra.Quantum discord in nuclear magnetic resonance systems at room temperature[J].Braz.J.Phys,2013,43:86-93.

[10] 郭艷芬，等.高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的若干策略與方法探析[J].職教論壇，2013(14)：49-50.