基于Raleigh-Ritz的五自由度并聯(lián)機(jī)床剛度分析及仿真

賈艷麗，劉 巖

（南陽理工學(xué)院 軟件學(xué)院，南陽 473000）

基于Raleigh-Ritz的五自由度并聯(lián)機(jī)床剛度分析及仿真

賈艷麗，劉 巖

（南陽理工學(xué)院 軟件學(xué)院，南陽 473000）

0 引言

并聯(lián)機(jī)床(Parallel Machine Tool, PMT)是一種新型機(jī)床，具有精度高、響應(yīng)快和剛度大等特點[1～3]。并聯(lián)機(jī)床的高剛度特性可以在高速金屬加工過程中，保證加工精度以及提高刀具使用時間[4,5]，因此剛度是并聯(lián)機(jī)床設(shè)計制造過程中的重要指標(biāo)，對并聯(lián)機(jī)床的性能有著重要指導(dǎo)意義[6]。并聯(lián)機(jī)床的剛度分析通常采用結(jié)構(gòu)矩陣分析法、雅克比矩陣法以及假設(shè)模態(tài)法等數(shù)值方法以及Anasys軟件模擬方法等，其中數(shù)值方法雖然能夠在工作空間內(nèi)進(jìn)行分析，但是建模過程復(fù)雜，通用性不強(qiáng)，而軟件模擬方法適合針對某一固定位置進(jìn)行剛度分析，不適合對并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間剛度進(jìn)行分析[7,8]。為解決以上問題，本文根據(jù)有限元基本原理，對一種五自由度并聯(lián)機(jī)床進(jìn)行了剛度分析，并進(jìn)行了剛度仿真，為并聯(lián)機(jī)床的優(yōu)化設(shè)計及性能分析提供了一定的理論基礎(chǔ)。

1 并聯(lián)機(jī)床機(jī)構(gòu)分析

五自由度并聯(lián)機(jī)床是一種五自由度虛擬軸機(jī)床，主要有動平臺、靜平臺、驅(qū)動支鏈以及約束支鏈構(gòu)成，機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D如圖1所示，靜平臺上設(shè)有全局坐標(biāo)系OA-XAYAZA，動平臺上設(shè)有動坐標(biāo)系OB-XBYBZB，假設(shè)Ri表示Ai與OA之間的距離，iθ表示OAAi與XA軸之間的夾角，ri表示Bi與OB之間的距離，i?表示OBBi與XB軸之間的夾角，其中i=1,2,…,5。

通過機(jī)構(gòu)分析可以知道，中間支鏈具有5個剛體自由度，由此可知中間支鏈不會影響動平臺其他5個自由度方向的剛度，因此進(jìn)行剛度分析時可以忽略中間支鏈，根據(jù)有限理論對并聯(lián)機(jī)床進(jìn)行機(jī)構(gòu)離散，離散化模型如圖2所示。

圖1 并聯(lián)機(jī)床拓?fù)鋱D

圖2 并聯(lián)機(jī)床離散化

2 有限元單元剛度分析

根據(jù)五自由度并聯(lián)機(jī)床機(jī)構(gòu)特性及離散化后的有限元模型可知，構(gòu)成五自由度并聯(lián)機(jī)床的基本有限元單元有兩類，一類是空間三角單元，此類單元有1～10。第二類基本單元是空間桿單元，此類單元是11～15，因此需要對以上兩種單元進(jìn)行有限元剛度建模。本文采用的建模方法是Raleigh-Ritz方法。首先建立空間桿單元有限元剛度模型，在外力的作用下單元上的平衡方程為一維微分方程。設(shè)坐標(biāo)x處的應(yīng)力分布為σ(x)，截面積為A(x)，軸向外力為f(x)，則桿單元在該處的應(yīng)力為σ(x)A(x)，可以得到如下的基本方程：

由Hooke定律可以得到位移u(x)的二階微分方程：

根據(jù)最小勢能原理，公式(2)的變分函數(shù)如下所示：

其中abr是積分常數(shù)。

設(shè)單元節(jié)點位移構(gòu)成的位移響亮為{u}，形函數(shù)矩陣為[N]，可以得到：

將公式(5)帶入公式(4)中，并帶入單元的材料等參數(shù)，可以得到帶有形函數(shù)形式的變分函數(shù)，并進(jìn)行變分求解進(jìn)行極小化，如公式(5)所示：

通過矩陣計算，可以得到局部坐標(biāo)系下的剛度矩陣KL，通過Z-Y-X形式的歐拉角變換矩陣R，可以得到全局坐標(biāo)系下的剛度矩陣KG，如公式(6)所示。

通過得到的各個單元在全局坐標(biāo)系下的剛度矩陣，根據(jù)有限元原理，可以得到五自由度并聯(lián)機(jī)床的剛度矩陣K。對剛度矩陣K進(jìn)行邊界條件處理后既可以得到并聯(lián)機(jī)床的剛度分布情況。

3 仿真及模擬分析

3.1 剛度分布仿真分析

機(jī)構(gòu)的剛度特性和機(jī)械結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，五自由度并聯(lián)機(jī)床的結(jié)構(gòu)如表1所示，根據(jù)給定的物理參數(shù)，支鏈的截面積簡化為7.8×10-4m2，動平臺、靜平臺及支鏈的彈性模量均設(shè)為2.03×1011N/m2。五自由度并聯(lián)機(jī)床有五個自由度，其中沿X、Y兩個方向的剛度值對加工質(zhì)量的影響最大，設(shè)α為動平臺相對靜平臺繞Y軸的轉(zhuǎn)角。

表1 并聯(lián)機(jī)床主要結(jié)構(gòu)參數(shù)

此并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有5自由度，為了能夠在笛卡爾坐標(biāo)系表示機(jī)構(gòu)的剛度特性，在此固定1個方向的自由度，其余兩個自由度在笛卡爾坐標(biāo)系X-Y平面內(nèi)表示，用Z表示機(jī)構(gòu)的靜剛度特性。分別假設(shè)α=0°和α=25°兩種條件下，采用極坐標(biāo)搜索形式數(shù)值求解位置工作空間，進(jìn)行靜剛度分析，結(jié)果如圖3所示。

圖3 剛度分布

從圖3中可以看出，當(dāng)α=0°時X與Y方向的剛度明顯大于α=25°時的對應(yīng)剛度，說明動平臺平行于靜平臺時剛度特性優(yōu)良，并且中間剛度位置低于邊界值，是由于處于邊界位姿時靠近機(jī)構(gòu)的奇異位置引起的。機(jī)構(gòu)剛度的最小值出現(xiàn)在工作空間的中心處，并且最小剛度值都大于允許剛度值，表明并機(jī)床的靜剛度滿足靜剛度指標(biāo)。在同一位置時X、Y兩方向的剛度也不相同，符合機(jī)構(gòu)各向異性的機(jī)構(gòu)特性。為檢驗計算結(jié)果，利用有限元軟件對并聯(lián)機(jī)床的中心位置進(jìn)行了剛度模擬仿真。

3.2 剛度模擬仿真分析

為進(jìn)行軟件仿真，首先建立五自由度并聯(lián)機(jī)床的三維模型，通過網(wǎng)格劃分以及邊界條件設(shè)定，進(jìn)行剛度模擬仿真，圖4為彈性變形的結(jié)果圖。

圖4 剛度模擬仿真彈性變形結(jié)果

根據(jù)圖4所示的彈性變形，利用胡克定律得到該位姿下動平臺中心點處的X方向剛度，計算結(jié)果為5.9×108N/m，該位姿情況下有限元理論計算結(jié)果為6.2×108N/m，與圖4中所示的結(jié)果進(jìn)行對比分析，相對誤差為4.76%，造成誤差的主要原因在于對球副的簡化以及動平臺的簡化分析，但是結(jié)果的誤差滿足工程應(yīng)用，表明了Raleigh-Ritz方法對并聯(lián)機(jī)床進(jìn)行剛度分析的有效性。

4 結(jié)論

通過對五自由度并聯(lián)機(jī)床進(jìn)行機(jī)構(gòu)特性分析，確定了構(gòu)成并聯(lián)機(jī)床的基本有限單元，然后通過Raleigh-Ritz方法得到單元及整體的剛度矩陣，通過整體剛度矩陣對五自由度并聯(lián)機(jī)床進(jìn)行了剛度計算，得到了工作空間的剛度分布情況，并利用有限元軟件進(jìn)行了剛度仿真，通過對比兩種方法得到的剛度結(jié)果，驗證了Raleigh-Ritz方法分析靜剛度的正確性，并表明了并聯(lián)機(jī)床的靜剛度滿足工作需求。Raleigh-Ritz方法相對于其他剛度分析方法建模過程清晰，并適合計算機(jī)自動求解，對并聯(lián)機(jī)床的可靠性以及并聯(lián)機(jī)床的優(yōu)化設(shè)計具有一定的理論指導(dǎo)意義。

[1]李長河,蔡光起.并聯(lián)機(jī)床發(fā)展與國內(nèi)外研究現(xiàn)狀[J].青島理工大學(xué)學(xué)報,2008,29(01):7-13.

[2]汪勁松,黃田.并聯(lián)機(jī)床-機(jī)床行業(yè)面臨的機(jī)遇與挑戰(zhàn)[J].中國機(jī)械工程,1999,10(10):1103-1107.

[3]段廣洪,李鐵民.并聯(lián)機(jī)器的起源和發(fā)展[J].世界制造技術(shù)與裝備市場,2006(1):41-48.

[4]孟祥志.一種新型立臥轉(zhuǎn)換式三桿混聯(lián)機(jī)床的設(shè)計研究[D].沈陽:東北大學(xué),2004.

[5]Kim B H,Park T,Shin H Y, et al.A comparative study of the tension estimation methods for cable supported bridges[J].Steel Structures,2007,7(3):77-84.

[6]Krenk S.Complex modes and frequencies in damped structural vibrations[J].Journal of Sound and Vibration,2004,270: 981-996.

[7]吳海兵,劉遠(yuǎn)偉,左敦穩(wěn).交叉式并聯(lián)機(jī)床工作空間分析[J]. 機(jī)械科學(xué)與技術(shù),2009,28(4):472-475.

[8]徐開元,徐武彬,唐滿賓.基于有限元的機(jī)床滑鞍結(jié)構(gòu)的動特性分析[J].機(jī)械設(shè)計與制造.2011(04),170-173.

Stiffness analysis and simulation of 5-dof parallel machine tool based on raleigh-ritz method

JIA Yan-li，LIU Yan

針對軟件模擬方法適合某一固定位置的剛度分析，不適合對并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間剛度分析的問題，提出了一種基于Raleigh-Ritz的五自由度并聯(lián)機(jī)床剛度分析方法。首先利用有限元基本原理對并聯(lián)機(jī)床的機(jī)構(gòu)分析離散出基本單元，然后利用Raleigh-Ritz方法計算出基本單元的剛度矩陣，裝配后得到系統(tǒng)剛度矩陣，最后通過系統(tǒng)剛度矩陣對并聯(lián)機(jī)床的剛度進(jìn)行了分析，得到了并聯(lián)機(jī)床工作空間內(nèi)的剛度分布，并利用剛度分析軟件進(jìn)行了仿真實驗，對分析結(jié)果進(jìn)行了對比分析，為并聯(lián)機(jī)床的優(yōu)化設(shè)計提供了理論依據(jù)。

Raleigh-Ritz方法；有限元理論；并聯(lián)機(jī)床；剛度矩陣

賈艷麗（1977 -），女，河南新野人，講師，碩士，研究方向為軟件設(shè)計與數(shù)據(jù)挖掘。

TP193

A

1009-0134(2014)06(上)-0098-03

10.3969/j.issn.1009-0134.2014.06(上).29

2014-03-20

河南省科技攻關(guān)計劃項目（A13060232）