《認(rèn)識(shí)概率》中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法

周洪琪

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，它蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程之中. 《認(rèn)識(shí)概率》一章是我們?cè)谛W(xué)初步感受概率的基礎(chǔ)上，對(duì)概率進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí)和研究的起始章節(jié). 本章中蘊(yùn)含有一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，這里作一簡(jiǎn)單介紹，以期能拓展同學(xué)們的視野，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)做好鋪墊.

一、 感受“隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小”

隨機(jī)事件就是我們事先無法確定它會(huì)不會(huì)發(fā)生的事件. 一般地，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小. 我們把一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值稱為這個(gè)事件的概率.

例1 （2013·福建福州）袋中有紅球4個(gè)，白球若干個(gè)，它們只有顏色上的區(qū)別. 從袋中隨機(jī)地取出一個(gè)球，如果取到白球的可能性較大，那么袋中白球的個(gè)數(shù)可能是（ ）.

A. 3個(gè) B. 不足3個(gè)

C. 4個(gè) D. 5個(gè)或5個(gè)以上

【分析】根據(jù)取到白球的可能性較大，可以判斷出白球的數(shù)量大于紅球的數(shù)量. ∵袋中有紅球4個(gè)，取到白球的可能性較大，∴袋中的白球數(shù)量大于紅球數(shù)量4個(gè)，即袋中白球的個(gè)數(shù)可能是5個(gè)或5個(gè)以上.

【答案】D.

【說明】本題考查了可能性大小的比較：在總情況數(shù)目相同時(shí)，哪一種包含的情況數(shù)目多，哪一種的可能性就大；反之也成立；若包含的情況相當(dāng)，那么它們的可能性就相等.

二、 掌握“枚舉思想”

三、 領(lǐng)悟“方程思想”

方程思想是指解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，先分析問題中的等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，建立方程或方程組，然后求解方程（組），使原問題獲解. 這一思想方法在解概率題中應(yīng)用廣泛.

例3 一個(gè)不透明的袋中裝有6 個(gè)白球和12個(gè)藍(lán)球，它們除顏色外都相同.

（1） 求從袋中摸出一個(gè)球是白球的概率；

（2） 現(xiàn)從袋中取走若干個(gè)藍(lán)球，并放入相同數(shù)量的白球. 攪拌均勻后，要使從袋中摸出一個(gè)球是白球的概率是，問取走了多少個(gè)藍(lán)球？

【分析】第（1）問根據(jù)簡(jiǎn)單概率的求解方法即可獲解；第（2）問中，由于取走的籃球數(shù)和放入的白球數(shù)相同，即袋中總球數(shù)不變，可以根據(jù)“從袋中摸出一個(gè)球是白球的概率是”這一關(guān)系來建立方程求解.

【點(diǎn)評(píng)】本題中的第（2）問，通過列一元一次方程求解，體現(xiàn)了方程思想在概率解題中的重要作用.

四、 學(xué)會(huì)“用頻率估計(jì)概率的思想”

在我們的實(shí)際生活中，能夠直接計(jì)算求得概率的事件是有限的，在很多情況下要進(jìn)行相應(yīng)的試驗(yàn)，通過實(shí)驗(yàn)、觀察、記錄、分析，計(jì)算出相應(yīng)的頻率來估計(jì)概率. 在隨機(jī)事件中，雖然每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)且無法預(yù)測(cè)的，但這些大量隨機(jī)事件的發(fā)生并不是完全沒有規(guī)律的，在一定的條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一個(gè)實(shí)驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率會(huì)在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)就是事件A發(fā)生的概率的估計(jì)值，所以我們常用大量實(shí)驗(yàn)獲得的頻率來估計(jì)事件發(fā)生的概率，記作P（A），即P（A）=.

例4 （2013·江蘇連云港）在一個(gè)不透明的布袋中，紅球、黑球、白球共有若干個(gè)，除顏色外，形狀、大小、質(zhì)地等完全相同，小新從布袋中隨機(jī)摸出一球，記下顏色后放回布袋中，搖勻后再隨機(jī)摸出一球，記下顏色…如此大量摸球?qū)嶒?yàn)后，小新發(fā)現(xiàn)其中摸出紅球的頻率穩(wěn)定于20%，摸出黑球的頻率穩(wěn)定于50%，對(duì)此實(shí)驗(yàn)，他總結(jié)出下列結(jié)論：①若進(jìn)行大量摸球?qū)嶒?yàn)，摸出白球的頻率穩(wěn)定于30%，②若從布袋中任意摸出一個(gè)球，該球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是紅球. 其中說法正確的是（ ）.

A. ①②③ B. ①②

C. ①③ D. ②③

【分析】∵在一個(gè)不透明的布袋中，紅球、黑球、白球共有若干個(gè)，其中摸出紅球的頻率穩(wěn)定于20%，摸出黑球的頻率穩(wěn)定于50%，∴①若進(jìn)行大量摸球?qū)嶒?yàn)，摸出白球的頻率穩(wěn)定在：1-20%-50%=30%，故此選項(xiàng)正確；∵摸出黑球的頻率穩(wěn)定在50%，大于其他頻率，∴②從布袋中任意摸出一個(gè)球，該球是黑球的概率最大，故此選項(xiàng)正確；③若再摸球100次，不一定有20次摸出的是紅球，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤. 故正確的有①②.

【答案】B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用頻率來估計(jì)概率，根據(jù)頻率與概率的關(guān)系求解是解答本題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了“用頻率估計(jì)概率的思想方法”.

【說明】利用頻率估計(jì)概率時(shí)，還必須明確以下幾點(diǎn)：①事件發(fā)生的概率是一個(gè)確定值，而頻率不是確定的，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，頻率的大小搖擺不定，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)增大時(shí)，頻率的大小波動(dòng)變小，并逐漸穩(wěn)定在概率附近；②通過實(shí)驗(yàn)用頻率估計(jì)概率的大小時(shí)，必須保證實(shí)驗(yàn)是在相同條件下進(jìn)行，否則結(jié)果會(huì)受到影響；③實(shí)驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，頻率與概率的誤差可能比較大，但也不是說實(shí)驗(yàn)次數(shù)多時(shí)，每次頻率與概率的誤差就一定比實(shí)驗(yàn)次數(shù)少時(shí)的誤差小，這是隨機(jī)事件本身的特點(diǎn)決定的；④當(dāng)進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn)時(shí)，頻率和概率可以非常接近，但不一定相等，兩者存在一定的偏差也是正常的，如隨機(jī)地“拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣”，理論上著地后“正面朝上”的概率為，但拋擲2 000次，并不能保證著地后恰好有1 000次“正面朝上”，但大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)（如布豐、羅曼諾夫斯基等做的“拋擲質(zhì)地均勻的硬幣實(shí)驗(yàn)”）發(fā)現(xiàn)，硬幣著地后“正面朝上”發(fā)生的頻率就在附近波動(dòng).

五、 感悟“數(shù)形結(jié)合的思想”

“數(shù)”和“形”之間有著密切的聯(lián)系，在一定條件下，可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透. 根據(jù)研究問題的需要，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，進(jìn)而探求問題的解答的思想方法即數(shù)形結(jié)合的思想方法. 本章中，利用表格、頻率分布折線圖、圖形面積等探求概率的過程，便體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合的思想方法”.

例5 甲、乙兩人制作了如圖1所示的一個(gè)靶（把兩個(gè)同心圓平均分成了6份）玩擲飛鏢的游戲. 規(guī)定：當(dāng)飛鏢擲中黑色區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝（沒有擲中靶或擲到邊界線時(shí)重新投擲）. 你認(rèn)為甲獲勝的可能性大，還是乙獲勝的可能性大？

【分析】只要先弄清黑色區(qū)域面積和整個(gè)圖形的面積關(guān)系即可.

【解答】根據(jù)題意，這個(gè)靶子是將“兩個(gè)同心圓平均分成了6份”而制得，所以圓環(huán)部分分得的6塊圖形的面積相等，小圓內(nèi)分得的6塊小扇形的面積也相等. 所以可以將圖形下方的三塊黑色圖形分別通過翻折變換到圖形的上方（如圖2，為了看得清，將翻折后得到的圖形顏色變淡了）. 黑色區(qū)域的面積是整個(gè)圖形面積的一半. 所以，飛鏢擲中黑色區(qū)域的可能性為，擲中白色區(qū)域的可能性也為，甲、乙獲勝的可能性一樣.

【點(diǎn)評(píng)】本題借助圖形面積使問題獲解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，同時(shí)本題解答也滲透了“整體的數(shù)學(xué)思想”.

六、 體會(huì)“分類討論的思想”

在解決一些稍復(fù)雜的概率問題，如問題中含有多種可能的情況時(shí)，往往需要考慮到各種情況對(duì)應(yīng)的結(jié)果數(shù)，這就需要進(jìn)行分類討論.

【答案】.

【說明】分類討論思想是重要的數(shù)學(xué)思想方法，分類時(shí)要求正確選擇分類的標(biāo)準(zhǔn)，做到不重復(fù)不遺漏. 同時(shí)本題也滲透了“枚舉思想”和“數(shù)形結(jié)合思想”等思想方法，考查了對(duì)平面直角坐標(biāo)系的認(rèn)識(shí)及對(duì)格點(diǎn)直角三角形的認(rèn)識(shí). 先找到所有等可能的結(jié)果（n種），然后根據(jù)格點(diǎn)性質(zhì)找出符合條件的直角三角形（m種），最后求出所求事件的概率為. 同學(xué)們解答本題時(shí)容易誤認(rèn)為“能夠構(gòu)成三角形的總個(gè)數(shù)為25個(gè)”，也就是認(rèn)為直線OB上的5個(gè)點(diǎn)也與點(diǎn)O、B構(gòu)成三角形，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)嘉澤初級(jí)中學(xué)）

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，它蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程之中. 《認(rèn)識(shí)概率》一章是我們?cè)谛W(xué)初步感受概率的基礎(chǔ)上，對(duì)概率進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí)和研究的起始章節(jié). 本章中蘊(yùn)含有一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，這里作一簡(jiǎn)單介紹，以期能拓展同學(xué)們的視野，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)做好鋪墊.

一、 感受“隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小”

隨機(jī)事件就是我們事先無法確定它會(huì)不會(huì)發(fā)生的事件. 一般地，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小. 我們把一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值稱為這個(gè)事件的概率.

例1 （2013·福建福州）袋中有紅球4個(gè)，白球若干個(gè)，它們只有顏色上的區(qū)別. 從袋中隨機(jī)地取出一個(gè)球，如果取到白球的可能性較大，那么袋中白球的個(gè)數(shù)可能是（ ）.

A. 3個(gè) B. 不足3個(gè)

C. 4個(gè) D. 5個(gè)或5個(gè)以上

【分析】根據(jù)取到白球的可能性較大，可以判斷出白球的數(shù)量大于紅球的數(shù)量. ∵袋中有紅球4個(gè)，取到白球的可能性較大，∴袋中的白球數(shù)量大于紅球數(shù)量4個(gè)，即袋中白球的個(gè)數(shù)可能是5個(gè)或5個(gè)以上.

【答案】D.

【說明】本題考查了可能性大小的比較：在總情況數(shù)目相同時(shí)，哪一種包含的情況數(shù)目多，哪一種的可能性就大；反之也成立；若包含的情況相當(dāng)，那么它們的可能性就相等.

二、 掌握“枚舉思想”

三、 領(lǐng)悟“方程思想”

方程思想是指解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，先分析問題中的等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，建立方程或方程組，然后求解方程（組），使原問題獲解. 這一思想方法在解概率題中應(yīng)用廣泛.

例3 一個(gè)不透明的袋中裝有6 個(gè)白球和12個(gè)藍(lán)球，它們除顏色外都相同.

（1） 求從袋中摸出一個(gè)球是白球的概率；

（2） 現(xiàn)從袋中取走若干個(gè)藍(lán)球，并放入相同數(shù)量的白球. 攪拌均勻后，要使從袋中摸出一個(gè)球是白球的概率是，問取走了多少個(gè)藍(lán)球？

【分析】第（1）問根據(jù)簡(jiǎn)單概率的求解方法即可獲解；第（2）問中，由于取走的籃球數(shù)和放入的白球數(shù)相同，即袋中總球數(shù)不變，可以根據(jù)“從袋中摸出一個(gè)球是白球的概率是”這一關(guān)系來建立方程求解.

【點(diǎn)評(píng)】本題中的第（2）問，通過列一元一次方程求解，體現(xiàn)了方程思想在概率解題中的重要作用.

四、 學(xué)會(huì)“用頻率估計(jì)概率的思想”

在我們的實(shí)際生活中，能夠直接計(jì)算求得概率的事件是有限的，在很多情況下要進(jìn)行相應(yīng)的試驗(yàn)，通過實(shí)驗(yàn)、觀察、記錄、分析，計(jì)算出相應(yīng)的頻率來估計(jì)概率. 在隨機(jī)事件中，雖然每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)且無法預(yù)測(cè)的，但這些大量隨機(jī)事件的發(fā)生并不是完全沒有規(guī)律的，在一定的條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一個(gè)實(shí)驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率會(huì)在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)就是事件A發(fā)生的概率的估計(jì)值，所以我們常用大量實(shí)驗(yàn)獲得的頻率來估計(jì)事件發(fā)生的概率，記作P（A），即P（A）=.

例4 （2013·江蘇連云港）在一個(gè)不透明的布袋中，紅球、黑球、白球共有若干個(gè)，除顏色外，形狀、大小、質(zhì)地等完全相同，小新從布袋中隨機(jī)摸出一球，記下顏色后放回布袋中，搖勻后再隨機(jī)摸出一球，記下顏色…如此大量摸球?qū)嶒?yàn)后，小新發(fā)現(xiàn)其中摸出紅球的頻率穩(wěn)定于20%，摸出黑球的頻率穩(wěn)定于50%，對(duì)此實(shí)驗(yàn)，他總結(jié)出下列結(jié)論：①若進(jìn)行大量摸球?qū)嶒?yàn)，摸出白球的頻率穩(wěn)定于30%，②若從布袋中任意摸出一個(gè)球，該球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是紅球. 其中說法正確的是（ ）.

A. ①②③ B. ①②

C. ①③ D. ②③

【分析】∵在一個(gè)不透明的布袋中，紅球、黑球、白球共有若干個(gè)，其中摸出紅球的頻率穩(wěn)定于20%，摸出黑球的頻率穩(wěn)定于50%，∴①若進(jìn)行大量摸球?qū)嶒?yàn)，摸出白球的頻率穩(wěn)定在：1-20%-50%=30%，故此選項(xiàng)正確；∵摸出黑球的頻率穩(wěn)定在50%，大于其他頻率，∴②從布袋中任意摸出一個(gè)球，該球是黑球的概率最大，故此選項(xiàng)正確；③若再摸球100次，不一定有20次摸出的是紅球，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤. 故正確的有①②.

【答案】B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用頻率來估計(jì)概率，根據(jù)頻率與概率的關(guān)系求解是解答本題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了“用頻率估計(jì)概率的思想方法”.

【說明】利用頻率估計(jì)概率時(shí)，還必須明確以下幾點(diǎn)：①事件發(fā)生的概率是一個(gè)確定值，而頻率不是確定的，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，頻率的大小搖擺不定，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)增大時(shí)，頻率的大小波動(dòng)變小，并逐漸穩(wěn)定在概率附近；②通過實(shí)驗(yàn)用頻率估計(jì)概率的大小時(shí)，必須保證實(shí)驗(yàn)是在相同條件下進(jìn)行，否則結(jié)果會(huì)受到影響；③實(shí)驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，頻率與概率的誤差可能比較大，但也不是說實(shí)驗(yàn)次數(shù)多時(shí)，每次頻率與概率的誤差就一定比實(shí)驗(yàn)次數(shù)少時(shí)的誤差小，這是隨機(jī)事件本身的特點(diǎn)決定的；④當(dāng)進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn)時(shí)，頻率和概率可以非常接近，但不一定相等，兩者存在一定的偏差也是正常的，如隨機(jī)地“拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣”，理論上著地后“正面朝上”的概率為，但拋擲2 000次，并不能保證著地后恰好有1 000次“正面朝上”，但大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)（如布豐、羅曼諾夫斯基等做的“拋擲質(zhì)地均勻的硬幣實(shí)驗(yàn)”）發(fā)現(xiàn)，硬幣著地后“正面朝上”發(fā)生的頻率就在附近波動(dòng).

五、 感悟“數(shù)形結(jié)合的思想”

“數(shù)”和“形”之間有著密切的聯(lián)系，在一定條件下，可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透. 根據(jù)研究問題的需要，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，進(jìn)而探求問題的解答的思想方法即數(shù)形結(jié)合的思想方法. 本章中，利用表格、頻率分布折線圖、圖形面積等探求概率的過程，便體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合的思想方法”.

例5 甲、乙兩人制作了如圖1所示的一個(gè)靶（把兩個(gè)同心圓平均分成了6份）玩擲飛鏢的游戲. 規(guī)定：當(dāng)飛鏢擲中黑色區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝（沒有擲中靶或擲到邊界線時(shí)重新投擲）. 你認(rèn)為甲獲勝的可能性大，還是乙獲勝的可能性大？

【分析】只要先弄清黑色區(qū)域面積和整個(gè)圖形的面積關(guān)系即可.

【解答】根據(jù)題意，這個(gè)靶子是將“兩個(gè)同心圓平均分成了6份”而制得，所以圓環(huán)部分分得的6塊圖形的面積相等，小圓內(nèi)分得的6塊小扇形的面積也相等. 所以可以將圖形下方的三塊黑色圖形分別通過翻折變換到圖形的上方（如圖2，為了看得清，將翻折后得到的圖形顏色變淡了）. 黑色區(qū)域的面積是整個(gè)圖形面積的一半. 所以，飛鏢擲中黑色區(qū)域的可能性為，擲中白色區(qū)域的可能性也為，甲、乙獲勝的可能性一樣.

【點(diǎn)評(píng)】本題借助圖形面積使問題獲解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，同時(shí)本題解答也滲透了“整體的數(shù)學(xué)思想”.

六、 體會(huì)“分類討論的思想”

在解決一些稍復(fù)雜的概率問題，如問題中含有多種可能的情況時(shí)，往往需要考慮到各種情況對(duì)應(yīng)的結(jié)果數(shù)，這就需要進(jìn)行分類討論.

【答案】.

【說明】分類討論思想是重要的數(shù)學(xué)思想方法，分類時(shí)要求正確選擇分類的標(biāo)準(zhǔn)，做到不重復(fù)不遺漏. 同時(shí)本題也滲透了“枚舉思想”和“數(shù)形結(jié)合思想”等思想方法，考查了對(duì)平面直角坐標(biāo)系的認(rèn)識(shí)及對(duì)格點(diǎn)直角三角形的認(rèn)識(shí). 先找到所有等可能的結(jié)果（n種），然后根據(jù)格點(diǎn)性質(zhì)找出符合條件的直角三角形（m種），最后求出所求事件的概率為. 同學(xué)們解答本題時(shí)容易誤認(rèn)為“能夠構(gòu)成三角形的總個(gè)數(shù)為25個(gè)”，也就是認(rèn)為直線OB上的5個(gè)點(diǎn)也與點(diǎn)O、B構(gòu)成三角形，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)嘉澤初級(jí)中學(xué)）

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，它蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程之中. 《認(rèn)識(shí)概率》一章是我們?cè)谛W(xué)初步感受概率的基礎(chǔ)上，對(duì)概率進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí)和研究的起始章節(jié). 本章中蘊(yùn)含有一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，這里作一簡(jiǎn)單介紹，以期能拓展同學(xué)們的視野，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)做好鋪墊.

一、 感受“隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小”

隨機(jī)事件就是我們事先無法確定它會(huì)不會(huì)發(fā)生的事件. 一般地，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小. 我們把一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值稱為這個(gè)事件的概率.

例1 （2013·福建福州）袋中有紅球4個(gè)，白球若干個(gè)，它們只有顏色上的區(qū)別. 從袋中隨機(jī)地取出一個(gè)球，如果取到白球的可能性較大，那么袋中白球的個(gè)數(shù)可能是（ ）.

A. 3個(gè) B. 不足3個(gè)

C. 4個(gè) D. 5個(gè)或5個(gè)以上

【分析】根據(jù)取到白球的可能性較大，可以判斷出白球的數(shù)量大于紅球的數(shù)量. ∵袋中有紅球4個(gè)，取到白球的可能性較大，∴袋中的白球數(shù)量大于紅球數(shù)量4個(gè)，即袋中白球的個(gè)數(shù)可能是5個(gè)或5個(gè)以上.

【答案】D.

【說明】本題考查了可能性大小的比較：在總情況數(shù)目相同時(shí)，哪一種包含的情況數(shù)目多，哪一種的可能性就大；反之也成立；若包含的情況相當(dāng)，那么它們的可能性就相等.

二、 掌握“枚舉思想”

三、 領(lǐng)悟“方程思想”

方程思想是指解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，先分析問題中的等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，建立方程或方程組，然后求解方程（組），使原問題獲解. 這一思想方法在解概率題中應(yīng)用廣泛.

例3 一個(gè)不透明的袋中裝有6 個(gè)白球和12個(gè)藍(lán)球，它們除顏色外都相同.

（1） 求從袋中摸出一個(gè)球是白球的概率；

（2） 現(xiàn)從袋中取走若干個(gè)藍(lán)球，并放入相同數(shù)量的白球. 攪拌均勻后，要使從袋中摸出一個(gè)球是白球的概率是，問取走了多少個(gè)藍(lán)球？

【分析】第（1）問根據(jù)簡(jiǎn)單概率的求解方法即可獲解；第（2）問中，由于取走的籃球數(shù)和放入的白球數(shù)相同，即袋中總球數(shù)不變，可以根據(jù)“從袋中摸出一個(gè)球是白球的概率是”這一關(guān)系來建立方程求解.

【點(diǎn)評(píng)】本題中的第（2）問，通過列一元一次方程求解，體現(xiàn)了方程思想在概率解題中的重要作用.

四、 學(xué)會(huì)“用頻率估計(jì)概率的思想”

在我們的實(shí)際生活中，能夠直接計(jì)算求得概率的事件是有限的，在很多情況下要進(jìn)行相應(yīng)的試驗(yàn)，通過實(shí)驗(yàn)、觀察、記錄、分析，計(jì)算出相應(yīng)的頻率來估計(jì)概率. 在隨機(jī)事件中，雖然每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)且無法預(yù)測(cè)的，但這些大量隨機(jī)事件的發(fā)生并不是完全沒有規(guī)律的，在一定的條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一個(gè)實(shí)驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率會(huì)在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)就是事件A發(fā)生的概率的估計(jì)值，所以我們常用大量實(shí)驗(yàn)獲得的頻率來估計(jì)事件發(fā)生的概率，記作P（A），即P（A）=.

例4 （2013·江蘇連云港）在一個(gè)不透明的布袋中，紅球、黑球、白球共有若干個(gè)，除顏色外，形狀、大小、質(zhì)地等完全相同，小新從布袋中隨機(jī)摸出一球，記下顏色后放回布袋中，搖勻后再隨機(jī)摸出一球，記下顏色…如此大量摸球?qū)嶒?yàn)后，小新發(fā)現(xiàn)其中摸出紅球的頻率穩(wěn)定于20%，摸出黑球的頻率穩(wěn)定于50%，對(duì)此實(shí)驗(yàn)，他總結(jié)出下列結(jié)論：①若進(jìn)行大量摸球?qū)嶒?yàn)，摸出白球的頻率穩(wěn)定于30%，②若從布袋中任意摸出一個(gè)球，該球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是紅球. 其中說法正確的是（ ）.

A. ①②③ B. ①②

C. ①③ D. ②③

【分析】∵在一個(gè)不透明的布袋中，紅球、黑球、白球共有若干個(gè)，其中摸出紅球的頻率穩(wěn)定于20%，摸出黑球的頻率穩(wěn)定于50%，∴①若進(jìn)行大量摸球?qū)嶒?yàn)，摸出白球的頻率穩(wěn)定在：1-20%-50%=30%，故此選項(xiàng)正確；∵摸出黑球的頻率穩(wěn)定在50%，大于其他頻率，∴②從布袋中任意摸出一個(gè)球，該球是黑球的概率最大，故此選項(xiàng)正確；③若再摸球100次，不一定有20次摸出的是紅球，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤. 故正確的有①②.

【答案】B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用頻率來估計(jì)概率，根據(jù)頻率與概率的關(guān)系求解是解答本題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了“用頻率估計(jì)概率的思想方法”.

【說明】利用頻率估計(jì)概率時(shí)，還必須明確以下幾點(diǎn)：①事件發(fā)生的概率是一個(gè)確定值，而頻率不是確定的，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，頻率的大小搖擺不定，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)增大時(shí)，頻率的大小波動(dòng)變小，并逐漸穩(wěn)定在概率附近；②通過實(shí)驗(yàn)用頻率估計(jì)概率的大小時(shí)，必須保證實(shí)驗(yàn)是在相同條件下進(jìn)行，否則結(jié)果會(huì)受到影響；③實(shí)驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，頻率與概率的誤差可能比較大，但也不是說實(shí)驗(yàn)次數(shù)多時(shí)，每次頻率與概率的誤差就一定比實(shí)驗(yàn)次數(shù)少時(shí)的誤差小，這是隨機(jī)事件本身的特點(diǎn)決定的；④當(dāng)進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn)時(shí)，頻率和概率可以非常接近，但不一定相等，兩者存在一定的偏差也是正常的，如隨機(jī)地“拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣”，理論上著地后“正面朝上”的概率為，但拋擲2 000次，并不能保證著地后恰好有1 000次“正面朝上”，但大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)（如布豐、羅曼諾夫斯基等做的“拋擲質(zhì)地均勻的硬幣實(shí)驗(yàn)”）發(fā)現(xiàn)，硬幣著地后“正面朝上”發(fā)生的頻率就在附近波動(dòng).

五、 感悟“數(shù)形結(jié)合的思想”

“數(shù)”和“形”之間有著密切的聯(lián)系，在一定條件下，可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透. 根據(jù)研究問題的需要，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，進(jìn)而探求問題的解答的思想方法即數(shù)形結(jié)合的思想方法. 本章中，利用表格、頻率分布折線圖、圖形面積等探求概率的過程，便體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合的思想方法”.

例5 甲、乙兩人制作了如圖1所示的一個(gè)靶（把兩個(gè)同心圓平均分成了6份）玩擲飛鏢的游戲. 規(guī)定：當(dāng)飛鏢擲中黑色區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝（沒有擲中靶或擲到邊界線時(shí)重新投擲）. 你認(rèn)為甲獲勝的可能性大，還是乙獲勝的可能性大？

【分析】只要先弄清黑色區(qū)域面積和整個(gè)圖形的面積關(guān)系即可.

【解答】根據(jù)題意，這個(gè)靶子是將“兩個(gè)同心圓平均分成了6份”而制得，所以圓環(huán)部分分得的6塊圖形的面積相等，小圓內(nèi)分得的6塊小扇形的面積也相等. 所以可以將圖形下方的三塊黑色圖形分別通過翻折變換到圖形的上方（如圖2，為了看得清，將翻折后得到的圖形顏色變淡了）. 黑色區(qū)域的面積是整個(gè)圖形面積的一半. 所以，飛鏢擲中黑色區(qū)域的可能性為，擲中白色區(qū)域的可能性也為，甲、乙獲勝的可能性一樣.

【點(diǎn)評(píng)】本題借助圖形面積使問題獲解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，同時(shí)本題解答也滲透了“整體的數(shù)學(xué)思想”.

六、 體會(huì)“分類討論的思想”

在解決一些稍復(fù)雜的概率問題，如問題中含有多種可能的情況時(shí)，往往需要考慮到各種情況對(duì)應(yīng)的結(jié)果數(shù)，這就需要進(jìn)行分類討論.

【答案】.

【說明】分類討論思想是重要的數(shù)學(xué)思想方法，分類時(shí)要求正確選擇分類的標(biāo)準(zhǔn)，做到不重復(fù)不遺漏. 同時(shí)本題也滲透了“枚舉思想”和“數(shù)形結(jié)合思想”等思想方法，考查了對(duì)平面直角坐標(biāo)系的認(rèn)識(shí)及對(duì)格點(diǎn)直角三角形的認(rèn)識(shí). 先找到所有等可能的結(jié)果（n種），然后根據(jù)格點(diǎn)性質(zhì)找出符合條件的直角三角形（m種），最后求出所求事件的概率為. 同學(xué)們解答本題時(shí)容易誤認(rèn)為“能夠構(gòu)成三角形的總個(gè)數(shù)為25個(gè)”，也就是認(rèn)為直線OB上的5個(gè)點(diǎn)也與點(diǎn)O、B構(gòu)成三角形，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)嘉澤初級(jí)中學(xué)）