采用DGCMG的空間站擾動(dòng)辨識(shí)動(dòng)量管理

王 磊，范高潔，魏傳鋒

（中國(guó)空間技術(shù)研究院載人航天總體部，北京100094）

采用DGCMG的空間站擾動(dòng)辨識(shí)動(dòng)量管理

王 磊，范高潔，魏傳鋒

（中國(guó)空間技術(shù)研究院載人航天總體部，北京100094）

研究長(zhǎng)期在軌空間站的動(dòng)量管理問(wèn)題。針對(duì)動(dòng)量管理過(guò)程中力矩平衡姿態(tài)的求解與穩(wěn)定性進(jìn)行分析，應(yīng)用李亞普諾夫方法，給出一種考慮常值姿態(tài)干擾的動(dòng)量管理控制方法，使用雙框架控制力矩陀螺作為姿態(tài)控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)，進(jìn)行動(dòng)量管理控制仿真。仿真結(jié)果表明該方法控制準(zhǔn)確、收斂快速，可以作為空間站姿態(tài)控制的工程參考。

動(dòng)量管理；力矩平衡姿態(tài)；李亞普諾夫；雙框架控制力矩陀螺

1 引言

空間站平臺(tái)長(zhǎng)期在軌運(yùn)行，測(cè)控通信、自主導(dǎo)航、熱控以及出艙等任務(wù)的約束要求其保持穩(wěn)定的姿態(tài)。同時(shí)，重力梯度力矩、大氣阻力力矩以及光壓力矩等干擾將迫使空間站平臺(tái)的姿態(tài)發(fā)生擾動(dòng)。如果在空間站全壽命過(guò)程要求其保持精確的對(duì)地定向或其它的固定姿態(tài)，意味著將消耗大量的能源、施加持續(xù)不斷的姿態(tài)保持控制，以抵消所有的干擾力矩。實(shí)際上，基于空間站平臺(tái)的幾何構(gòu)型以及質(zhì)量特性，進(jìn)行一定的姿態(tài)變化可以最大限度的減少干擾力矩的影響，同時(shí)空間站絕大多數(shù)任務(wù)并不要求精確的姿態(tài)保持［1］。因此，可以對(duì)空間站進(jìn)行動(dòng)量管理以滿足上述要求。

大型空間站一般采用控制力矩陀螺（CMG）進(jìn)行姿態(tài)控制，這種動(dòng)量交換裝置控制的實(shí)質(zhì)就是利用CMG角動(dòng)量的改變吸收外界力矩對(duì)空間站的干擾，從而實(shí)現(xiàn)平臺(tái)動(dòng)量的相對(duì)穩(wěn)定。理想情況下，動(dòng)量管理的目的是將平臺(tái)控制在力矩平衡姿態(tài)（TEA）處。因此，TEA姿態(tài)的研究成為首要問(wèn)題。早在1966年，Robenon［2］假設(shè)氣動(dòng)力矩為零得到24種可以唯一確定平衡姿態(tài)；而文獻(xiàn)［1］在確定TEA的分析過(guò)程中考慮了氣動(dòng)力矩，但假設(shè)氣動(dòng)力矩不隨時(shí)間變化。文獻(xiàn)［3］介紹了考慮氣動(dòng)干擾的力矩平衡姿態(tài)和動(dòng)量平衡姿態(tài)求解，文獻(xiàn)［4］在模型線性化的基礎(chǔ)上進(jìn)行了TEA姿態(tài)的穩(wěn)定性分析，但并未針對(duì)非線性模型進(jìn)行相應(yīng)結(jié)論的推導(dǎo)。本文將分析非線性模型下TEA姿態(tài)的穩(wěn)定性。

目前常用的動(dòng)量管理方法建立在小角度線性化［5，6］的基礎(chǔ)上。其思路是把空間站的運(yùn)動(dòng)模型在期望的力矩平衡姿態(tài)附近進(jìn)行線性化，然后針對(duì)得到的線性模型進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是控制器設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、方便，但是實(shí)際應(yīng)用中該方法有一定的局限性。首先，這種方法只能用于在軌正常運(yùn)行的空間站。這時(shí)假設(shè)平臺(tái)姿態(tài)偏離TEA并不很大，線性化后的模型可認(rèn)為具有足夠精度，但如果出現(xiàn)較大異常姿態(tài)偏差，則上述控制器不再適用。其次，由于沒(méi)有精確的干擾力矩信息，TEA姿態(tài)無(wú)法準(zhǔn)確得知，給模型線性化帶來(lái)相當(dāng)困難。若采用非線性方法則可克服線性控制器的上述局限。首先，非線性控制器基于系統(tǒng)的非線性模型進(jìn)行設(shè)計(jì)，沒(méi)有小角度條件的限制。其次，無(wú)需知道干擾的精確信息，就可以保證系統(tǒng)漸近收斂于TEA［7，8］。

本文首先討論力矩平衡姿態(tài)的求解和穩(wěn)定性分析，接著針對(duì)非線性動(dòng)量管理模型給出擾動(dòng)辨識(shí)動(dòng)量管理控制器設(shè)計(jì)，并采用雙框架控制力矩陀螺（DGCMG）作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)進(jìn)行仿真計(jì)算，以驗(yàn)證動(dòng)量管理控制器設(shè)計(jì)的有效性。

2 空間站的力矩平衡姿態(tài)

動(dòng)量管理的目的是使空間站保持力矩平衡姿態(tài)。

力矩平衡姿態(tài)是指無(wú)控情況下，平臺(tái)所受所有外力矩作用之和為零時(shí)的姿態(tài)。這些力矩一般包括系統(tǒng)的慣性力矩、重力梯度力矩和環(huán)境力矩等。由于環(huán)境力矩難以確定，真正的力矩平衡姿態(tài)并不存在［2］。為討論方便，本節(jié)假設(shè)地球和空間站構(gòu)成只受中心引力的保守系統(tǒng)，不存在外界擾動(dòng)。這種忽略環(huán)境擾動(dòng)的假設(shè)并不影響分析力矩平衡姿態(tài)的力學(xué)本質(zhì)。

2.1 系統(tǒng)平衡位置

為便于論述，首先給出用四元數(shù)表示的完整空間站姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型［9］：

其中，ω為空間站角速度向量；ωf為空間站軌道角速度，數(shù)值為n；I為空間站慣量（不包含動(dòng)量交換裝置部分）；空間站姿態(tài)控制系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)（CMG）相對(duì)空間站的動(dòng)量矩在本體坐標(biāo)系Fb中的投影記為h；C為軌道坐標(biāo)系到本體坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，可記為：C=［c1，c2，c3］，其中q=［q1，q2，q3］T。

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣C用四元數(shù)表示為式（2）：

不考慮干擾力矩的作用，系統(tǒng)平衡點(diǎn)的充分條件是上述各式均為零，則可得到式（3）。

上述方程稱(chēng)為平衡點(diǎn)方程。對(duì)于該方程有兩點(diǎn)需要說(shuō)明：

1）由平衡方程所滿足的條件，ω=ωf，可知力矩平衡姿態(tài)需要滿足空間站本體系與軌道系相對(duì)靜止。由此可見(jiàn)，動(dòng)量管理的效果就是使得空間站盡可能處于平衡位置。

2）為避免動(dòng)量交換裝置出現(xiàn)飽和奇異，空間站處于平衡姿態(tài)時(shí)總角動(dòng)量h應(yīng)盡可能小?？紤]理想無(wú)擾情況，假設(shè)總角動(dòng)量達(dá)到極限值，即h=0，將該條件以及運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系（1）代入平衡點(diǎn)方程（3），進(jìn)而空間站的平衡點(diǎn)表達(dá)式可表示為式（4）。

上式不顯含姿態(tài)項(xiàng)，相關(guān)的姿態(tài)關(guān)系包含在列向量c2、c3中。

2.2 平衡姿態(tài)的求解

根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣C的性質(zhì)，可以把c1、c2、c3看作三個(gè)相互正交的單位向量。將c1、c2、c3所表示的抽象空間用下圖的歐氏三維空間形象表出。

圖1 C陣空間Fig.1 Space of matrix C

根據(jù)向量幾何可知，上式左邊項(xiàng)3n2c3×Ic3，必存在關(guān)系3n2c3×Ic3⊥c3，即3n2c3×Ic3位于由c1、c2所組成的平面∏1中。同理可得n2c2×Ic2⊥c2，即n2c3×Ic2位于c1、c3所組成的平面∏2中。由于慣量矩陣I必為正定矩陣，故而有3n2c3×I c3=n2c2×I c2=0。又因?yàn)?/p>

上式說(shuō)明在平衡點(diǎn)處，c2、c3為慣量I的特征向量。

由力學(xué)知識(shí)可知，慣量I的特征向量的物理意義為慣性主軸相對(duì)于體坐標(biāo)系的方向余弦。而根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣的定義可知，c2、c3分別為軌道坐標(biāo)系相對(duì)于體坐標(biāo)系的方向余弦，因此，在力矩平衡條件下必有空間站軌道坐標(biāo)系與慣性主軸坐標(biāo)系的各軸相互平行。對(duì)于大型空間站而言，通常假設(shè)航天器本體坐標(biāo)系的各軸與慣性主軸重合，因此無(wú)擾動(dòng)條件下空間站的力矩平衡姿態(tài)可以簡(jiǎn)述為“空間站本體系與軌道系的坐標(biāo)軸相互平行”。由于上述兩坐標(biāo)系各軸均有方向，故而組合之下共有24種力矩平衡姿態(tài)。

2.3 力矩平衡姿態(tài)的穩(wěn)定性

實(shí)際工程通常將當(dāng)?shù)厮疆?dāng)?shù)卮怪弊藨B(tài)（LVLH）定義為穩(wěn)定的平衡姿態(tài)，這將給控制器設(shè)計(jì)帶來(lái)一定的方便。但所有的24個(gè)力矩平衡姿態(tài)穩(wěn)定性有所差別。下面將利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論來(lái)討論力矩平衡姿態(tài)的穩(wěn)定性問(wèn)題，然后依據(jù)平衡姿態(tài)的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制器。

系統(tǒng)的廣義能量積分如式（5）所示。

其中V1為相對(duì)動(dòng)能函數(shù)，其表達(dá)式如式（6）所示。

其中，ωα=ω-ωf。Φ為動(dòng)力學(xué)勢(shì)能函數(shù)，其表達(dá)式見(jiàn)式（7）所示。

由于c2、c3是單位向量，因此式（8）所示關(guān)系恒成立。

設(shè)o1、o2、o3分別為空間站軌道坐標(biāo)系的三軸，b1、b2、b3為空間站本體系的三軸。當(dāng)且僅當(dāng)o2‖bmax、o3‖bmin時(shí)等號(hào)成立，其中bmax、bmin分別為慣量最大主軸和慣量最小主軸。從而由上面的分析知，廣義能量積分滿足H≥0當(dāng)且僅當(dāng)o2‖bmax、o3‖bmin時(shí)等號(hào)成立。又對(duì)于理想約束的的保守動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)而言，積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，即H·=0。

綜上，廣義能量積分H滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性條件，空間站系統(tǒng)的平衡位置o2‖bmax、o3‖bmin在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定。

需要注意的是，平衡位置o2‖bmax、o3‖bmin實(shí)質(zhì)上對(duì)應(yīng)四個(gè)力矩平衡姿態(tài)，它們分別是：

由上述分析可知，整個(gè)系統(tǒng)存在四個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。顯然每個(gè)平衡點(diǎn)均不是全域穩(wěn)定的，即每個(gè)平衡點(diǎn)附近必然存在一個(gè)鄰域εi，使得在該鄰域內(nèi)，此平衡點(diǎn)穩(wěn)定。

3 擾動(dòng)情況下的動(dòng)量管理

針對(duì)受常值干擾力矩的空間站，設(shè)計(jì)動(dòng)量管理的擾動(dòng)辨識(shí)控制律，可保證系統(tǒng)達(dá)到力矩平衡姿態(tài)。

3.1 非線性系統(tǒng)控制分析

考慮一個(gè)如式（9）所示的簡(jiǎn)單的非線性系統(tǒng)。

其中x為狀態(tài)變量，u為控制量，d為未知常值干擾。令xe為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，即滿足式（10）。

存在定理：假設(shè)在平衡點(diǎn)xe的某一鄰域內(nèi)，存在一個(gè)正定函數(shù)V（x）且其導(dǎo)數(shù)具有如式（11）所示形式。

其中向量a僅在平衡點(diǎn)xe處為0，b·可寫(xiě)成式（12）。

設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制律使得式（13）成立。

其中Ka、Kz均為正定矩陣，且有式（14）。

則該控制律可保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

證明：構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)如式（15）。

其中K為一個(gè)正定矩陣。那么對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)可得式（16）。

上式可整理為如式（17）所示形式：

其中X定義滿足式（18）。

顯然，必存在正定矩陣K使得P正定，因此有

并且充要條件為X=0，即有式（19）。

由LaSalle不變集原理［10］可得，在該控制律下，系統(tǒng)狀態(tài)將漸近收斂于式（20）所示不變集W。

進(jìn)而證明系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。證畢。

3.2 常值擾動(dòng)下控制律設(shè)計(jì)
由于針對(duì)不同的空間站質(zhì)量分布情況，廣義積分的符號(hào)特性有差別，所以廣義積分函數(shù)不能直接作為李雅普諾夫函數(shù)。因此，根據(jù)空間站重力梯度穩(wěn)定特性，分別設(shè)計(jì)相應(yīng)的動(dòng)量管理控制器。
對(duì)于重力梯度穩(wěn)定的空間站，控制律如式（21）所示。

其中z滿足式（22）。

于是上述控制律又可改寫(xiě)為式（23）。

李雅普諾夫函數(shù)如式（24）所示。

對(duì)于重力梯度不穩(wěn)定的空間站，控制律如式（25）～（26）所示。

同時(shí)，根據(jù)式（20）、式（22）以及式（28）可知，控制收斂后，常值干擾力矩d可由d=-Kzz估算得出。需要指出的是，實(shí)際工程中控制結(jié)果收斂往往是在期望值附近的某個(gè)精度區(qū)域內(nèi)，同理，利用上式進(jìn)行擾動(dòng)力矩估算也收斂于實(shí)際值的附近區(qū)間，而非精確環(huán)境力矩值。因此，該方法中的擾動(dòng)辨識(shí)側(cè)重在控制計(jì)算過(guò)程中對(duì)干擾力矩的量級(jí)以及范圍進(jìn)行估算，進(jìn)而提高控制精度和穩(wěn)定性。

4 DGCMG操縱律

系統(tǒng)控制力矩由五平行構(gòu)型DGCMG提供。

4.1 相關(guān)知識(shí)

設(shè)初始時(shí)刻外框架軸、內(nèi)框架軸和轉(zhuǎn)子軸兩兩垂直。DGCMG采用平行構(gòu)型。

陀螺坐標(biāo)系定義為初始時(shí)刻外框架軸為X軸，內(nèi)框架軸為Z軸，Y軸由右手定則確定。同時(shí)，αi表示第i個(gè)DGCMG的內(nèi)框架角，βi表示第i個(gè)DGCMG的外框架角，i=1，2，…，n。五陀螺平行構(gòu)型DGCMG系統(tǒng)的總角動(dòng)量如式（29）所示。

其中：

Hi為第i個(gè)DGCMG角動(dòng)量，i=1，2，3，4，5。Hi=IwxΩi。Iwx為轉(zhuǎn)子軸向慣量，Ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速。

輸出控制力矩uc滿足公式（30）。

4.2 操縱率設(shè)計(jì)

篇幅所限，下面簡(jiǎn)要給出DGCMG操縱律的設(shè)計(jì)思想和計(jì)算公式，詳細(xì)內(nèi)容可參見(jiàn)文獻(xiàn)［11］。

n個(gè)DGCMG構(gòu)成的系統(tǒng)具有2n個(gè)自由度，輸出指令力矩需要三個(gè)自由度，那么系統(tǒng)擁有2n-3個(gè)冗余自由度。利用這些冗余自由度可以在保證指令力矩輸出的前提下對(duì)框架角分布進(jìn)行設(shè)計(jì)，以期獲得良好的框架角分布以躲避奇異。這也正是本操縱律的設(shè)計(jì)思想。

在平行構(gòu)型中，所有陀螺外框架軸平行。由式（30）可看出，外框軸方向的力矩輸出只與內(nèi)框架角和內(nèi)框架角速度有關(guān)，而與外框架軸相垂直平面內(nèi)的力矩輸出由外框架角及其速度和內(nèi)框架角及其速度共同決定。因此，這個(gè)控制問(wèn)題可分解為一個(gè)沿外框架軸的一維輸出問(wèn)題和一個(gè)與之正交的二維平面輸出問(wèn)題。其中，一維問(wèn)題用以確定內(nèi)框架指令角速率，而二維平面問(wèn)題用以確定外框架指令角速率，并對(duì)理想分布時(shí)的力矩輸出進(jìn)行補(bǔ)償。具體見(jiàn)公式（31）。

5 采用DGCMG的動(dòng)量管理仿真算例

雖然針對(duì)不同空間站質(zhì)量分布情況設(shè)計(jì)了兩種控制器，但其設(shè)計(jì)原理一致，而且控制方法相同，因此，僅需對(duì)其中一種控制器進(jìn)行仿真驗(yàn)證，即可證明控制方法的正確性。這里選擇對(duì)設(shè)計(jì)相對(duì)復(fù)雜的重力梯度不穩(wěn)定情況的控制律進(jìn)行仿真計(jì)算。

1）空間站初始條件：

空間站處于圓軌道，軌道角速率為n= 0.00675°/s；

空間站初始姿態(tài)為

（q1，q2，q3，q0）=［0.0447，0.0447，0.0447，0.997］；

空間站初始角速度為ω0=（0.001，-0.0637，0.001）T°/s。

表1 空間站仿真條件Table 1 Simulation conditions of space station

2）非線性控制器參數(shù)

3）陀螺參數(shù)

陀螺轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)軸方向慣量估計(jì)值為Iwx= 0.006 kg·m2，轉(zhuǎn)速為n=5000 r/s?？紤]常值干擾。仿真結(jié)果如圖2～9所示。

圖2 四元數(shù)的時(shí)間歷程Fig.2 History of eular parameters

圖3 陀螺角動(dòng)量的時(shí)間歷程Fig.3 History of anglemomentum

圖4 角速度的時(shí)間歷程Fig.4 History of angle rate

圖5 控制力矩的時(shí)間歷程Fig.5 History of torque

圖2 ～圖5顯示在動(dòng)量管理控制器的作用下，四元素與姿態(tài)角速度都在5個(gè)軌道周期內(nèi)收斂至期望值，同時(shí)作為控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)的DGCMG的角動(dòng)量與輸出力矩也在5個(gè)軌道周期內(nèi)收斂至0。仿真結(jié)果一方面說(shuō)明控制有效，另一方面收斂速度的一致也說(shuō)明了仿真計(jì)算的正確性。需要指出的是：為證明非線性控制器的優(yōu)點(diǎn)，空間站初始姿態(tài)距TEA姿態(tài)偏差選取較大，因此初始控制力矩值偏大，但持續(xù)時(shí)間較短，造成控制曲線的變化不明顯。

圖6 雙框陀螺內(nèi)框架角曲線Fig.6 The curve of DGCMGs'inner gimble angle

圖6 ～圖9顯示控制力矩陀螺的內(nèi)、外框架角與框架角速度在5個(gè)軌道周期內(nèi)收斂至期望值。說(shuō)明陀螺操縱率的正確。同時(shí)，對(duì)比控制力矩與姿態(tài)曲線可以證明陀螺輸出的仿真結(jié)果與控制輸出結(jié)果一致。進(jìn)一步證明了控制器的有效性。最終，5只陀螺的內(nèi)框架角收斂于零，外框架角在［-π，π］之間均勻分布，既體現(xiàn)了操縱率內(nèi)框架角一致，外框角均布以躲避奇異的設(shè)計(jì)思想，又與圖3最終角動(dòng)量收斂于0的結(jié)果一致。

圖7 雙框陀螺外框架角曲線Fig.7 The curve of DGCMGs'outter gimble angle

圖8 雙框陀螺內(nèi)框架角速度曲線Fig.8 The curve of DGCMGs'inner gimble angle rate

圖9 雙框陀螺外框架角速度曲線Fig.9 The curve of DGCMGs'outter gimble angle rate

6 結(jié)論

本文研究了空間站力矩平衡姿態(tài)與動(dòng)量管理的問(wèn)題。首先針對(duì)考慮重力梯度力矩的空間站姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行力矩平衡姿態(tài)的求解以及穩(wěn)定性分析。接著利用李雅普諾夫方法設(shè)計(jì)了空間站非線性擾動(dòng)辨識(shí)動(dòng)量管理控制器，并介紹了雙框架控制力矩陀螺的操縱率設(shè)計(jì)，最后數(shù)值仿真證明動(dòng)量管理控制器的設(shè)計(jì)合理、有效。可以為我國(guó)空間站的精確動(dòng)量管理提供技術(shù)支持和工程參考。建議增加一句本研究成果的意義。

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M omentum M anagement and Disturbance Identification of Space Station Using DGCMG

WANG Lei，F(xiàn)AN Gaojie，Wei Chuanfeng
（Institute ofManned Space System Engineering，China Academy of Space Technology，Beijing 100094，China）

This investigation focuses on the momentum management of a long-term orbiting space station.Firstly，the solution and its stability of Torque Equilibrium Attitude duringmomentum managementwere analyzed.Then a momentum management controller considering a constant attitude disturbance was given using Lyapunov theory.Finally themomentum management control simulation was carried out to illuminate itwith the steering law of parallelmounted DGCMG.It is proved that the control result is correctand convergent.Themomentum management controller can be applied to the attitude control of space station.

momentum management；torque equilibrium attitude；Lyapunov；double-gimbaled controlmoment gyro

V448.2

A

1674-5825（2014）04-0312-07

2014-02-12；

2014-06-27

王磊（1983-），男，博士，工程師，研究方向?yàn)楹教炱骺傮w設(shè)計(jì)。E-mail：tuobalei@126.com