3s／2r變換及其逆變換的研究

王 龍，任思敏，付周興，李 忠

（西安科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院，陜西 西安 710054）

0 引言

日常生活中最常用的電機(jī)是交流電機(jī)，但交流電機(jī)的數(shù)學(xué)模型和控制模型較直流電機(jī)的復(fù)雜，如果能將交流電機(jī)的物理模型等效地變換成類似直流電機(jī)的模型，分析和控制就可以大大簡化，坐標(biāo)變換由此而來。Park變換和Clarke變換為交流電機(jī)分析計算時的基本變換，在此坐標(biāo)變換基礎(chǔ)上，3s／2r變換則是三相對稱靜止坐標(biāo)系（a，b，c）到兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（d，q）的變換，以（d，q）坐標(biāo)系為參照，坐標(biāo)系（a，b，c）產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)矢量同坐標(biāo)系（d，q）同步旋轉(zhuǎn)，其在d軸和q軸上的分量不變。定子的電感矩陣被對角化和常數(shù)化，從而使定子的磁鏈方程解耦［1］，這樣大大簡化了發(fā)電機(jī)、電動機(jī)電磁關(guān)系的微分方程，因此3s／2r變換在整個電力系統(tǒng)分析和計算中具有重要的理論和實際意義。但許多文獻(xiàn)都只涉及了其變換系數(shù)的推導(dǎo)，沒有從數(shù)學(xué)角度進(jìn)一步分析三相交流變量和直流分量之間的關(guān)系，本文從數(shù)學(xué)角度分析了兩者之間的關(guān)系。

1 3s／2r變換及其逆變換

Clarke變換是三相對稱靜止坐標(biāo)系（a，b，c）到兩相靜止坐標(biāo)系（D，Q）的變換，而Park變換是將兩相靜止坐標(biāo)系（D，Q）轉(zhuǎn)換到與電網(wǎng)基波頻率同步旋轉(zhuǎn)的（d，q）坐標(biāo)系，Clarke變換矩陣M和Park變換矩陣C如下所示［2，3］：

其中：θ為交流電機(jī)定子與轉(zhuǎn)子之間的夾角。從矩陣的角度分析，3s／2r變換矩陣為R＝CM，其變換優(yōu)點在于將三相靜止坐標(biāo)系中隨時間變化的交流變量經(jīng)變換矩陣R變換成兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的直流分量。

圖1為3s／2r坐標(biāo)關(guān)系及矢量分解圖。圖1中，q軸分量表示有功分量，d軸分量表示無功分量，且d軸滯后q軸90°；θ為q軸與a軸的夾角，亦即交流電機(jī)定子與轉(zhuǎn)子之間的夾角，φ為V與q軸的夾角，V為三相靜止坐標(biāo)系交流變量在復(fù)平面內(nèi)的矢量和，其表達(dá)式為：

圖1 3s／2r坐標(biāo)關(guān)系及矢量分解

由圖1可以看出，q軸、d軸和矢量V都以轉(zhuǎn)速ω逆時針旋轉(zhuǎn)，V在q軸和d軸的分量vq和vd長短不變。

設(shè)Vm為三相交流變量的幅值，若三相坐標(biāo)系的三個交流變量為：

則vd，vq分量與三相交流變量va，vb，vc的關(guān)系式為：

化簡得：

為簡化分析，初始時刻令q軸與a軸重合，則θ＝ωt，由公式（6）可以看出，φ的值決定vd和vq的值。當(dāng)φ一定時，vq和vd的值保持不變；當(dāng)φ＝0°時，V 與q軸重合，vq＝Vm，vd＝0，此時經(jīng)過變換后系統(tǒng)的無功為0，有功達(dá)到最大。

在電力系統(tǒng)的分析中，有時需要系統(tǒng)的無功為0，有功達(dá)到最大，以便提高功率因數(shù)。為防止三相交流變量出現(xiàn)波動，造成vq和vd的值改變，可以在系統(tǒng)中加入鎖相環(huán)，使q軸和矢量V無相位差同頻旋轉(zhuǎn)，達(dá)到無功為0。

相反地，由兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（d，q）到三相靜止坐標(biāo)系（a，b，c）的變換可稱之為逆變換，其關(guān)系式為：

根據(jù)圖1的坐標(biāo)關(guān)系，有：

由此可見，vq和vd的值不僅決定了三相交流變量的幅值，也決定了三相交流變量的初相角。

2 仿真

為驗證以上分析的正確性，搭建MATLAB仿真模型［4，5］，三相交流變量的幅值Vm為1 V，由公式（6）可知三相交流變量的初相角對d－q軸的直流分量有著影響，圖2是不同初相角下d－q直流分量的值。

圖2 不同初相角下d－q分量

從圖2中可以可以看出，不論初相角為多少，vq和vd的值始終為直流量，伴隨著初相角的改變，vq和vd的值是不同的。

圖3是圖2中經(jīng)過PLL鎖相環(huán)后的d－q分量。

從圖3可以看出，不同φ值下，只要加入了PLL鎖相環(huán)，就能時刻保持矢量V和q軸同相位旋轉(zhuǎn)，同時也可以發(fā)現(xiàn)，PLL鎖相的本質(zhì)就是使θ始終與va的相角相等，即θ＝ωt＋φ。

為了分析3s／2r逆變換中vq和vd的值對三相交流變量的影響，分別給定不同vq和vd的值觀察經(jīng)過逆變換后輸出的三相交流變量的波形，如圖4所示。

從圖4中可以看出，不論vq和vd的值是多少，a相交流變量在初始時刻的值都等于vq的值，三相交流變量的初相角和幅值分別為：

圖3 不同初相角下經(jīng)過PLL后的d－q分量

3 結(jié)論

3s／2r變換廣泛應(yīng)用在電力行業(yè)中，它不單使用在交流電機(jī)分析中，還可以在電力控制系統(tǒng)中加以應(yīng)用。不同的控制系統(tǒng)所要求的直流分量也不同，通過以上分析可知，對于初相角不同的三相交流變量可以利用3s／2r公式算出相應(yīng)vq和vd的值。由3s／2r逆變換分析可知，vq和vd的值不僅決定了三相交流變量的幅值，同時也決定三相交流變量的初相角。在控制系統(tǒng)中通常給定vq和vd的值，然后利用3s／2r逆變化公式，通過PI調(diào)節(jié)最終得到所需的三相交流變量。

圖4 不同直流分量值經(jīng)逆變換后的三相交流波形

［1］ 湯蘊璆.Park變換和同步電機(jī)的解耦［J］.哈爾濱電工學(xué)院學(xué)報，1989，12（3）：205－212.

［2］ 張崇魏，張興.PWM整流器及其控制［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2003.

［3］ 但揚清，劉文穎，朱艷偉.瞬時無功理論變換矩陣系數(shù)推導(dǎo)及α－β與dq0變換關(guān)系分析［J］.電力科學(xué)與工程，2011，27（5）：16－19.

［4］ 王賽爽，候永輝.基于 MATLAB實現(xiàn)電力系統(tǒng)派克變換的仿真［J］.中國高新技術(shù)企業(yè)，2012（5）：110－112.

［5］ 黃樂，聶一雄.關(guān)于單相dq0變換法在仿真應(yīng)用中的問題與分析探討［J］.黑龍江科技信息，2012（12）：37－38.