拓撲優(yōu)化在提高電機底座固有頻率中的應(yīng)用＊

宋志強，史青錄，彭萬萬，陳貫祥

（1.太原科技大學(xué) 機械工程學(xué)院，山西 太原 030024；2.中北大學(xué) 機械工程與自動化學(xué)院，山西 太原 030051）

0 引言

電機作為旋轉(zhuǎn)機械設(shè)備，在現(xiàn)代生產(chǎn)中扮演著不可或缺的角色，但電機振動時有發(fā)生。振動問題往往是多種復(fù)雜因素綜合造成的，其中電機和底座之間發(fā)生共振就是其表現(xiàn)形式之一。當轉(zhuǎn)子達到一定轉(zhuǎn)速時，轉(zhuǎn)軸頻率和底座固有頻率重合就會發(fā)生共振，共振將在電機上產(chǎn)生動載荷，如果在該轉(zhuǎn)速下繼續(xù)運行下去，必將加速轉(zhuǎn)子、軸承等部件的磨損，從而導(dǎo)致疲勞失效。通過模態(tài)分析，可以大致了解底座結(jié)構(gòu)固有頻率的分布，經(jīng)過設(shè)計改進，使電機的工作轉(zhuǎn)速盡量避開系統(tǒng)的共振頻率區(qū)域，以提高電機的使用壽命。

1 有限元前處理流程

建立有限元模型是整個分析過程的關(guān)鍵，合理的模型既能保證計算結(jié)果的精度，又不致使計算量太大和對計算機存儲容量的要求太高。有限元前處理流程如圖1所示。

2 建立底座有限元模型

2.1 單元類型選擇

根據(jù)底座的形狀特征和精度要求，模型全部采用二階四面體單元，主要考慮以下兩點：一是高階單元的曲線或曲面邊界能更好地逼近結(jié)構(gòu)的邊界曲線或曲面；二是高階單元的高次位移函數(shù)能更好地逼近結(jié)構(gòu)復(fù)雜的位移分布［1］。

2.2 單元屬性定義

有限元中的每一個單元除了表現(xiàn)出一定的外部形狀外，還應(yīng)具備一組計算所需的內(nèi)部特征參數(shù)，這些參數(shù)用來定義結(jié)構(gòu)材料的性能、描述單元本身的物理特征和其他輔助幾何特征等。該模型屬性參數(shù)為：單元類型Psolid，材料為Steel，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，密度為7 900 kg／m3。

圖1 有限元前處理流程圖

2.3 網(wǎng)格質(zhì)量檢查

網(wǎng)格質(zhì)量是指網(wǎng)格幾何形狀的合理性。有些網(wǎng)格形狀是不允許的，它們會導(dǎo)致單元剛度矩陣為零或負值，使有限元計算出現(xiàn)致命錯誤，這種網(wǎng)格稱為畸形網(wǎng)格。底座結(jié)構(gòu)有限元網(wǎng)格單元質(zhì)量控制為：縱橫比（aspect）的范圍為5～6；歪扭角（skew）的范圍為60～75；翹曲（warpage）的范圍為30～40；雅可比（jacobian）的范圍為0.5～0.6；三角形（tria）的范圍為20～120；坍塌（tet collapse）的范圍為0.15～0.5。

2.4 模型簡化和施加約束

為了操作可行性，對模型進行簡化處理。由于電機部分彈性體模態(tài)不在考慮范圍內(nèi)，故用集中質(zhì)量單元（CONM2）代替，并用rbe3單元固定在底座支架上。用剛性單元rbe2模擬電機與底座以及底座與地面的螺栓連接，并約束其6個自由度。底座結(jié)構(gòu)有限元模型如圖2所示。

圖2 底座結(jié)構(gòu)有限元模型

3 底座結(jié)構(gòu)模態(tài)分析

3.1 模態(tài)分析理論及計算方法

模態(tài)分析是確定設(shè)計結(jié)構(gòu)或機械零部件的振動特性并得到結(jié)構(gòu)固有頻率和振型的過程［2］。有阻尼的N自由度系統(tǒng)的強迫振動運動微分方程可以表示為：

其中：［M］，［C］和［K］分別為系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；｛x″｝，｛x′｝，｛x｝和｛F｝分別為系統(tǒng)各點加速度列陣、速度列陣、位移列陣和激勵力列陣。模態(tài)分析時，要求解的是固有頻率和振型參數(shù)，與外載荷無關(guān)，即｛F｝＝｛0｝，則得到系統(tǒng)的自由振動方程。在計算系統(tǒng)的固有頻率和振型時，結(jié)構(gòu)阻尼的影響很小，可以忽略不計，這時無阻尼自由振動的微分方程為：

其對應(yīng)的特征方程為：

其中：ωi為系統(tǒng)的第i階固有頻率。N自由度的系統(tǒng)就有N 個固有頻率［3］。

3.2 模態(tài)分析結(jié)果

在Hypermesh中創(chuàng)建模態(tài)分析載荷步，利用求解器Radioss進行求解。本模型為有約束的模態(tài)分析。模態(tài)的振型階次越高，與該模態(tài)頻率對應(yīng)的變形就越小，由于高階模態(tài)對結(jié)構(gòu)的動力學(xué)影響很小，并考慮到外部激勵多處于低頻區(qū)域［4］，故底座結(jié)構(gòu)一般關(guān)心較低的幾階頻率。所求得的底座結(jié)構(gòu)前6階固有頻率見表1，各階振型如圖3所示。

在模態(tài)分析結(jié)果中，振型的大小只是一個相對的量值（位移相對值），它表征的是各點在某一階固有頻率上振動量值的相對比值，反映該固有頻率上振動的傳遞情況，并不反映實際振動的數(shù)值［5］。在振型圖中，前兩階振型為沿某一坐標軸的來回擺動；第3階為彎曲變形；第4和第5階為彎扭組合；第6階為局部模態(tài)，指模態(tài)振型在結(jié)構(gòu)的大部分自由度上接近零（模型大部分保持原狀，只在局部發(fā)生較大變形），僅在少部分自由度上存在明顯的幅值。局部模態(tài)對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的貢獻幾乎為零，因此，對于結(jié)構(gòu)整體動特性和響應(yīng)分析，可以忽略局部模態(tài)的影響。

表1 底座的前6階固有頻率和振型

圖3 底座的前6階模態(tài)振型圖

4 模型固有頻率優(yōu)化

提高結(jié)構(gòu)剛度是改善結(jié)構(gòu)振動性能的有效措施，通過對結(jié)構(gòu)固有頻率進行控制和調(diào)整，能有效降低結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。對于多自由度系統(tǒng)，避免共振的措施就是不使系統(tǒng)受到擾頻等于或接近于系統(tǒng)任一階固有頻率的外力作用［6］。為避免電機系統(tǒng)發(fā)生共振，提高其底座的固有頻率是行之有效的方法。究竟要提高哪一階模態(tài)的固有頻率，要視電機實際的工作轉(zhuǎn)速而定。本文以提高第1階固有頻率為例，闡述優(yōu)化底座結(jié)構(gòu)固有頻率的方法。

4.1 拓撲優(yōu)化簡介

結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化是一個在給定設(shè)計變量和約束條件下求解目標函數(shù)最優(yōu)化的過程。目標函數(shù)、設(shè)計變量、約束函數(shù)為優(yōu)化問題的三要素，其主要思想是在給定的設(shè)計區(qū)域內(nèi)尋求材料的最優(yōu)分布問題。經(jīng)過拓撲優(yōu)化，可以尋找到結(jié)構(gòu)合理的載荷傳遞路徑，將材料分布在最需要加強的區(qū)域，極大限度地提高材料的利用效率，使結(jié)構(gòu)的模態(tài)、剛度等性能大幅提升［7］。

4.2 確定設(shè)計變量、約束條件及目標

這里采用變密度法，以1階模態(tài)作為對電機系統(tǒng)振動影響最大的模態(tài)，因此把提高1階固有頻率設(shè)為優(yōu)化設(shè)計的目標。設(shè)計變量（Design variables）為組成模型的所有四面體單元的密度值，根據(jù)經(jīng)驗，約束響應(yīng)（Dconstraints）設(shè)置為模型體積分數(shù)（Volfrac）上限的30%（即優(yōu)化后體積不超過原底座結(jié)構(gòu)體積30%作為約束），目標（Objective）設(shè)置為 Max，模態(tài)階數(shù)（Mode number）為1。

4.3 提交計算

設(shè)置結(jié)果保存路徑后，運行Optistruct進行求解。經(jīng)過21次迭代后，得到最后一次迭代的單元密度云圖，見圖4。圖4中大部分區(qū)域的單元密度收斂于1或0，且最大密度值為1，說明優(yōu)化迭代已進行徹底。頻率與剛度及質(zhì)量相關(guān)，提高剛度成為提高頻率最直接的方法。紅色區(qū)域（A處）表示需要加強的區(qū)域，可以適當增加厚度、加肋板或改變材質(zhì)。

圖4 材料最優(yōu)分布云圖

4.4 查看頻率迭代變化曲線和迭代數(shù)據(jù)

在結(jié)果文件中，打開base＿hist.mvw文件，可以觀察頻率隨迭代次數(shù)變化的情況，從中可以計算出頻率增加的比例。圖5為1階頻率迭代變化曲線，表2為首、末兩次迭代數(shù)據(jù)。

圖5 1階頻率迭代變化曲線

由表2可以看出：經(jīng)過優(yōu)化處理，第1階固有頻率增加了79.82%（迭代數(shù)據(jù)表示頻率變化率，不同于模態(tài)振型圖中的固有頻率），由此可計算出優(yōu)化后的第1階固有頻率增加為380.72 Hz；第6階頻率在迭代過程中出現(xiàn)降低的情況，即在優(yōu)化過程中會優(yōu)先考慮某些因素，這是允許的。由此可知，只要處理得當，可以明顯提高底座結(jié)構(gòu)的第1階固有頻率，使其避開電機的工作頻率，從而有效控制共振的發(fā)生。

表2 首、末兩次迭代數(shù)據(jù)

5 結(jié)論

（1）通過模態(tài)分析，得到了電機底座低階振動固有特性，并可以動態(tài)、直觀地觀察每階振型的變化。

（2）優(yōu)化后第1階固有頻率提高了79.82%，其他幾階固有頻率也有不同程度的提高，避開了可能發(fā)生共振的頻率。

（3）優(yōu)化結(jié)果顯示了滿足設(shè)計要求的材料最優(yōu)分布，為電機底座的最優(yōu)設(shè)計提供了參考，體現(xiàn)了拓撲優(yōu)化方法在機械零部件初始設(shè)計過程中的應(yīng)用價值。

［1］ 曾攀.有限元分析及應(yīng)用［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2003.

［2］ 李瑞虎，王凱，謝國燦.基于ANSYS的平面凸輪有限元模態(tài)分析［J］.機械傳動，2006，30（6）：61－63.

［3］ 翟文波.基于ANSYS技術(shù)的直線振動電機模態(tài)分析［J］.微電機，2011，44（4）：29－31.

［4］ 宋桂霞.某大客車車架結(jié)構(gòu)模態(tài)分析［J］.計算機輔助工程，2011，20（2）：24－27.

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［6］ 侯之超，鄭兆昌.關(guān)于線性系統(tǒng)避免共振的條件［J］.振動與沖擊，1997，16（3）：15－20.

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