考慮風(fēng)場條件的一類平流層飛艇返回過程建模與航跡規(guī)劃研究*

孫 帥，李智斌，田科豐

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術(shù)重點實驗室，北京100190)

0 引言

平流層飛艇的上升與返回過程是目前飛艇研究領(lǐng)域的一個熱點.如何使大型飛艇不依靠其他輔助工具(如降落傘等)，以一種保證外形恒定，保證安全的方式從平流層駛回地面并且精確返場，是目前國內(nèi)外研究中的一大難題.

在平流層飛艇研究的相關(guān)文獻中，對飛艇返回過程軌跡規(guī)劃問題關(guān)注較少;而在已有研究上升過程軌跡規(guī)劃問題的文獻中，文獻［1］中飛艇建模過程中只考慮了飛艇依靠浮力上升，忽略了氣動力的作用;文獻［2］中的飛艇模型假令質(zhì)量隨高度變化，在任意位置與飛艇的浮力平衡，但未考慮內(nèi)外壓差變化對飛艇外形的影響.本文根據(jù)飛艇氣囊內(nèi)外保持恒定壓差的假設(shè)，利用浮力、氣動力對飛艇進行操縱，建立了一種全新的飛艇三維運動模型.

同時，航跡規(guī)劃問題是飛艇返回過程制導(dǎo)控制研究的基礎(chǔ).傳統(tǒng)的航跡規(guī)劃問題主要是以直接打靶法代表的直接法和基于Hamilton方程的間接法.而近年來發(fā)展起來的高斯偽譜法以其收斂速度快，精度高，逐漸被廣泛采用于飛行器航跡規(guī)劃研究中.

本文基于高斯偽譜法設(shè)計了飛艇返回過程時間最短和燃料消耗最優(yōu)的準則下的參考航跡，同時考慮了大氣密度溫度狀態(tài)，以及不同高度風(fēng)場的變化，有一定的工程參考價值.

1 飛艇模型的建立

1.1 模型總體參數(shù)設(shè)計

本文中采用文獻［2-3］所用的飛艇模型，其中艇長為l=200 m，氣囊直徑d=500 m，氣囊總體積Uh=263 746 m3.

值得說明的是，文獻［2］將飛艇的工作高度與壓力高度設(shè)置為相同值，本文為確保安全，給飛艇高度控制留出一定裕量，在研究中將目標高度設(shè)置為21 km，略低于壓力高度24 km.

另外，在文獻［3］中將最大速度限設(shè)定為20 m/s，但其在仿真過程中速度已經(jīng)超過速度限，并且從經(jīng)驗來看飛艇的速度即使達到35 m/s是完全正常的.故本文在研究中將速度限設(shè)定為

30 m/s.

1.2 建立坐標系

首先定義4個坐標系［4］:

1)艇體坐標系:原點取在飛艇質(zhì)心(航跡研究中考慮壓心、質(zhì)心重合);Ox1軸與艇體縱軸重合，指向頭部為正;Oy1軸位于艇體縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，與Ox1軸垂直，指向上為正;Oz1軸垂直于Ox1y1平面，方向按右手法則確定.

2)航跡坐標系:原點位于飛艇質(zhì)心;Ox2與飛艇速度矢量方向V重合;Oy2軸位于包含速度矢量V的鉛垂面內(nèi)，垂直于Ox2軸，指向上為正;Oz2軸垂直于其他兩軸并構(gòu)成右手系，在航跡系中的速度為V2.

3)速度坐標系:Ox3軸與飛艇質(zhì)心的速度矢量V重合;Oy3軸位于艇體向?qū)ΨQ平面內(nèi)與Ox3垂直，指向上為正;Oz3垂直于Ox3y3平面，與兩軸構(gòu)成右手系.

4)地面坐標系:原點A選在放飛起點上;Ax軸沿水平面指向目標點，Ay軸沿垂線向上;Az軸與其他兩軸垂直并構(gòu)成右手系.

需說明的一點是，下文中變量角標帶數(shù)字的即說明該變量定義在對應(yīng)坐標系內(nèi).

定義攻角α，側(cè)滑角β，為速度矢量V在艇體對稱平面內(nèi)與體軸Ox1的夾角和速度矢量與艇體縱向?qū)ΨQ平面的夾角.

定義航跡傾角θ，為飛艇速度矢量V與水平面間的夾角.速度矢量在水平面上方為正.航跡偏角為ψV，是速度矢量V在水平面中投影與地面系A(chǔ)x的夾角.

1.3 大氣及風(fēng)場模型的建立

采用標準大氣模型［5］可知0～30 km任意高度大氣的溫度和氣壓值，再通過理想氣體狀態(tài)方程，得到大氣密度.

風(fēng)場模型采用文獻［3］中北半球某地秋季的風(fēng)場數(shù)據(jù)，經(jīng)過多項式擬合，得到

式中，we為風(fēng)速Vw東向分量，wn為北向分量，利用正態(tài)化方法得到標準高度=(h-μd)/σd，正態(tài)化參數(shù) μd=12 135，σd=902 2，h為飛艇距海平面垂直高度.

在海拔高度8～16 km東風(fēng)的風(fēng)速達到30 m/s以上，已經(jīng)基本接近于飛艇的最大允許速度，這對飛艇的制導(dǎo)控制造成了很大的不便，所以設(shè)計出一條滿足各項約束的返回軌跡就顯得尤為重要.

1.4 飛艇質(zhì)心運動動力學(xué)模型的建立

方程中各量角標均對應(yīng)1.2節(jié)中坐標系.根據(jù)速度的合成與分解，對于航速矢量V，有

考慮到風(fēng)速也是在地面慣性系下研究，而飛艇的速度則是在航跡坐標系下，所以需將飛艇的速度投影到慣性坐標系中得到

此時認為氣流沒有垂直方向的運動，H(θ，ψV)為速度系到地面系的坐標轉(zhuǎn)換矩陣，得到

同時，根據(jù)牛頓第二定律

式中Ω為航跡坐標系相對地面系的轉(zhuǎn)動角速度，m為飛艇總質(zhì)量，其中合外力F如下所示:

式中G、B、A3和T2分別為重力，浮力，氣動力和推力.因為受力情況在航跡坐標系中研究，所以須將上式中的量投影到航跡坐標系中.

在航跡坐標系下，有Ω×V2=VΩz2j2-VΩy2k2，根據(jù)航跡坐標系與地面慣性系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，有Ω=，其中j2、k2為單位向量

dVw項是在地面慣性系中，可以利用慣性系到航跡坐標系的轉(zhuǎn)換陣將其投影到航跡坐標系，有

重力G與浮力B均在地面慣性系中，按照坐標系相對關(guān)系，有

氣動力A3表示在飛艇速度系中，當不考慮速度系與航跡系的夾角速度傾斜角以及氣動產(chǎn)生的側(cè)向力時，速度系與航跡坐標系重合，于是有

式中，L為氣動升力，D為氣動阻力.

同理，螺旋槳推力T表示在航跡坐標系中有

H(α，β)為本體系到速度系的轉(zhuǎn)換矩陣，同時在飛艇研究中，認為飛艇的速度系與航跡坐標系重合，則H(α，β)也為本體系到飛艇航跡坐標系的轉(zhuǎn)換陣.

飛艇在下降過程中為了維持氣囊內(nèi)外恒定壓差，則需不斷吸入空氣.此時飛艇質(zhì)量會發(fā)生很大變化，有壓強關(guān)系

其中內(nèi)外壓差ΔP=300 Pa且飛艇內(nèi)沖入的氦氣質(zhì)量是一定的，同時認為飛艇內(nèi)部氣囊與外界大氣熱量交換足夠快，氣囊內(nèi)外氣體溫度一致，應(yīng)用理想氣體狀態(tài)方程，氦氣體積為

其中Temp(h)為不同高度上的大氣溫度，R氦為狀態(tài)常數(shù).

飛艇總體積一定，則空氣體積可以得到U空氣=Uh-U氦，則可以得到氣囊中空氣質(zhì)量

從而可以得到飛艇質(zhì)量隨高度變化的關(guān)系式

式中ms為飛艇中氣體以外的固定質(zhì)量.

綜合以上結(jié)果，可得

因為飛艇內(nèi)部充滿大量氣體，其在大氣中運動時產(chǎn)生的附加質(zhì)量效應(yīng)不能忽略，在上式中有［2］

2 優(yōu)化問題的建立與求解

根據(jù)以上假設(shè)與推導(dǎo)建立了一類飛艇三維運動的動力學(xué)模型;根據(jù)此模型，將研究飛艇返回過程的航跡規(guī)劃.軌跡規(guī)劃問題可看作一個非線性規(guī)劃問題來求解［2-3，6-7］，其中規(guī)劃目標為燃料消耗最省或時間最優(yōu).其性能指標函數(shù)分別為

式中:u=［αTβ］T為飛艇的控制輸入，其中α、T和β分別為瞬時平衡［4］的攻角、螺旋槳推力和側(cè)滑角;A為控制量功率消耗加權(quán)陣;t0，tf分別為返回過程的初始時刻和末時刻.

考慮動力學(xué)的微分約束，利用辛普森公式將微分約束離散化

初始狀態(tài)為

考慮邊界約束與末端約束

再利用基于Matlab的GPOPS工具包，進行數(shù)值求解.

3 仿真結(jié)果分析

對于能耗最優(yōu)回收模式，對應(yīng)仿真結(jié)果為圖1和圖2，設(shè)定燃料消耗指標為式(19)，其中

因為u中第1，3項攻角和側(cè)滑角的變化可以認為是升降舵和方向舵的舵面操縱，且變化速度較慢，能耗較小;而第二項為飛艇主推螺旋槳，考慮需要耗費較大的電能，所以加權(quán)值較大.

可將飛艇回收軌跡按任務(wù)時間可分為以下3個模式階段:

1)水平巡航階段(0～6 000 s):飛艇在21 km平流層高度，向東飛行45 km，向南飛行16 km.在起始階段飛艇沿北風(fēng)順風(fēng)飛行約4 km，隨即逆風(fēng)向南飛行.在此階段飛艇推力，以及攻角、速度均保持在一個恒定值.此階段主要是為穿越強風(fēng)帶，并且能夠到達目標點留出足夠多的空間裕量.

圖1 能耗最優(yōu)條件下飛艇狀態(tài)分析(高度h，航速v，攻角α，推力T)Fig.1 The airship states under the optimal fuel consumption(height h，velocity v，attack angle α，thrust T)

圖2 能耗最優(yōu)條件下飛艇三維航跡Fig.2 The 3-D Trajectory of airship under the optimal fuel consumption

2)快速穿越階段(6 000～9 000 s):飛艇從21 km到達4 km左右高度，其中快速穿越了8～18 km附近很強的東風(fēng)帶，穿越過程中飛艇順風(fēng)朝向東北方飛行，在此過程推力值及攻角不斷增大.隨攻角由負值變向正值的過程，飛艇下降速度由快到慢.

3)尋的調(diào)整階段(9 000 s～tf):在此過程中，飛艇推力和攻角變化較為劇烈，不斷調(diào)整航速以及航跡傾角與偏角，達到目標值.

對于時間最優(yōu)回收過程，仿真結(jié)果對應(yīng)圖3和圖4.其指標函數(shù)為式(19).以任務(wù)時間來劃分，時間最優(yōu)飛艇回收過程軌跡可分為兩個階段.

1)巡航調(diào)整階段(0～1 000 s):飛艇在21 km高空逆風(fēng)巡航飛行，飛艇推力保持在一個比較高的量級(＞5 kN)，使得飛艇一直在最大航速運行.

2)快速下降階段(1 000～3 700 s):飛艇順風(fēng)飛行，并且推力保持在最大值，不斷調(diào)整攻角，以調(diào)整航速，最終達到目標狀態(tài).

圖3 時間最優(yōu)條件下飛艇狀態(tài)(高度h，航速v，攻角α，推力T)Fig.3 The airship states in the timing optimal process(height h，velocity v，attack angle α，thrust T)

圖4 時間最優(yōu)狀態(tài)飛艇三維航跡Fig.4 The 3-D Trajectory of airship in the fuel consumption optimal process

4 結(jié)論

綜上所述，在采用浮力與氣動力復(fù)合控制方法下的定壓飛艇的航跡較為類似，均在平流層巡航一段距離，然后以較大的速度順風(fēng)穿越激流區(qū).最后到達目標狀態(tài).這也給工程實踐帶來一定啟示.特別是燃耗最優(yōu)的軌跡設(shè)計中，在高空階段飛艇推力值要求較小，這對全電飛艇主推螺旋槳的選取提供方便，能夠很好地結(jié)合工程實踐.

在以后的工作中，可以進一步對壓差變化的動態(tài)過程進行考慮，另外大氣溫度的變化也可更加細化的體現(xiàn)在模型中，從而設(shè)計出更具有實踐參考價值的飛艇航跡.

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