基于星間距離測(cè)量的高精度自主導(dǎo)航*

熊 凱，魏春嶺，劉良棟

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

0 引言

實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星自主導(dǎo)航有助于降低衛(wèi)星對(duì)地面測(cè)控的依賴程度，增強(qiáng)衛(wèi)星系統(tǒng)在緊急情況下的自主生存能力.但是，以目前的技術(shù)水平，中高軌衛(wèi)星缺乏高精度自主絕對(duì)導(dǎo)航手段.傳統(tǒng)的衛(wèi)星自主導(dǎo)航方法包括基于光學(xué)敏感器的天文導(dǎo)航方法和基于星間鏈路偽距測(cè)量的方法等［1-4］.其中，基于光學(xué)敏感器的天文導(dǎo)航受到地心方向測(cè)量精度的限制，難以滿足衛(wèi)星高精度自主導(dǎo)航的要求;基于星間鏈路偽距測(cè)量進(jìn)行導(dǎo)航時(shí)存在“虧秩”問題，即僅距離測(cè)量情況下不能對(duì)星座的整體旋轉(zhuǎn)形成有效的幾何約束，造成星座衛(wèi)星的絕對(duì)定位誤差隨時(shí)間增長(zhǎng)而逐步積累.

以往研究表明，將衛(wèi)星軌道動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)化為二體問題處理時(shí)，基于星間測(cè)距的衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是不可觀的.如果考慮衛(wèi)星軌道運(yùn)動(dòng)的三體問題，即同時(shí)考慮地球和月球引力影響，那么星間測(cè)距導(dǎo)航系統(tǒng)是可觀的［5-6］.但是，對(duì)于參與導(dǎo)航的兩顆衛(wèi)星均為地球衛(wèi)星的情況，由于月球引力對(duì)地球衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)的影響較小，導(dǎo)航系統(tǒng)的可觀度較弱，事實(shí)上仍然難以實(shí)現(xiàn)高精度導(dǎo)航.

為了解決這一問題，可以在地球衛(wèi)星和月球衛(wèi)星之間建立星間鏈路進(jìn)行導(dǎo)航，此時(shí)，兩顆衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)方程分別受到地球和月球引力的顯著影響.在這種情況下，導(dǎo)航系統(tǒng)不僅具有可觀性，而且具有較高的可觀度.此時(shí)，基于地球衛(wèi)星和月球衛(wèi)星之間的距離測(cè)量信息以及三體軌道動(dòng)力學(xué)方程，通過設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)臄U(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)算法，可以同時(shí)估計(jì)出地球衛(wèi)星和月球衛(wèi)星的絕對(duì)位置，實(shí)現(xiàn)僅依賴星間測(cè)距信息的高精度自主導(dǎo)航.

本文首先介紹基于地-月衛(wèi)星星間測(cè)距的自主導(dǎo)航方法;其次，針對(duì)初始位置誤差影響導(dǎo)航精度的問題，提出基于“星間測(cè)距+紫外導(dǎo)航敏感器”的組合導(dǎo)航方法;最后，通過計(jì)算 Cramer-Rao下界(CRLB)和數(shù)學(xué)仿真分析了所提導(dǎo)航方法的精度.

1 基于星間測(cè)距的自主導(dǎo)航

本節(jié)介紹星間測(cè)距自主導(dǎo)航的基本方法.首先從直觀上說明選擇1顆地球衛(wèi)星和1顆月球衛(wèi)星參與導(dǎo)航的原因.如果選擇兩顆地球衛(wèi)星參與導(dǎo)航，可能出現(xiàn)衛(wèi)星位置不斷變化而星間距離不變的情況，此時(shí)，衛(wèi)星位置變化不改變觀測(cè)量，僅依賴星間測(cè)距信息顯然無法實(shí)現(xiàn)自主導(dǎo)航.相反，如果選擇1顆地球衛(wèi)星和1顆月球衛(wèi)星參與導(dǎo)航，此時(shí)，星間測(cè)距示意圖如圖1所示.

由圖1可知，隨著衛(wèi)星位置變化，導(dǎo)航系統(tǒng)能夠獲得一組獨(dú)特的星間距離觀測(cè)量序列.對(duì)于處在不同位置上的衛(wèi)星，所得到的星間距離觀測(cè)量序列是不同的.星間距離觀測(cè)量序列中同時(shí)包含了地球衛(wèi)星和月球衛(wèi)星的絕對(duì)位置信息.在獲得觀測(cè)量的基礎(chǔ)上，結(jié)合衛(wèi)星三體軌道動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行濾波處理，能夠估計(jì)出參與導(dǎo)航的衛(wèi)星位置.本文將利用CRLB對(duì)該方法的可行性作進(jìn)一步分析.

應(yīng)當(dāng)說明，衛(wèi)星在軌運(yùn)動(dòng)符合軌道動(dòng)力學(xué)規(guī)律，其位置變化可通過軌道動(dòng)力學(xué)方程來描述.對(duì)基于星間測(cè)距的自主導(dǎo)航系統(tǒng)而言，除觀測(cè)量以外，動(dòng)力學(xué)方程也能夠提供部分導(dǎo)航信息.采用復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)方程有助于改善系統(tǒng)的可觀性，因此，要求在動(dòng)力學(xué)方程中考慮三體攝動(dòng)(如月球攝動(dòng))的影響.此外，當(dāng)三體攝動(dòng)的影響較弱時(shí)，其影響會(huì)淹沒在其他攝動(dòng)中，不會(huì)對(duì)導(dǎo)航性能的改善起到實(shí)質(zhì)性作用.因此，如果僅依賴星間測(cè)距信息進(jìn)行自主導(dǎo)航，要求參與導(dǎo)航的衛(wèi)星中至少有一顆衛(wèi)星受到三體攝動(dòng)的顯著影響.

下面給出導(dǎo)航方法的數(shù)學(xué)描述.為了設(shè)計(jì)導(dǎo)航濾波算法，要求選擇適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量，并建立描述狀態(tài)變量時(shí)間遞推關(guān)系的狀態(tài)方程，以及描述狀態(tài)變量與觀測(cè)量關(guān)系的觀測(cè)方程.選擇參與導(dǎo)航衛(wèi)星的位置矢量和速度矢量在地心慣性系的3個(gè)分量作為狀態(tài)變量，即

式中，

r0(tk)和v0(tk)表示地球衛(wèi)星的位置矢量和速度矢量，r1(tk)和v1(tk)表示月球衛(wèi)星的位置矢量和速度矢量，下標(biāo)i用于區(qū)分地球衛(wèi)星和月球衛(wèi)星，tk表示時(shí)間.

考慮地球的非球形引力攝動(dòng)和作為三體攝動(dòng)的月球引力攝動(dòng)，作為狀態(tài)方程的衛(wèi)星軌道動(dòng)力學(xué)方程如下所示:

其中，

其中，μe是地球引力常數(shù)，Re是地球半徑，J2是二階帶諧項(xiàng)系數(shù)，表示范數(shù)，即是月球相對(duì)于地心的位置矢量，即rim(tk)=ri(tk)-rm(tk)，μm是月球引力常數(shù)，rm(tk)可通過月球星歷計(jì)算得到.w(tk)表示系統(tǒng)噪聲，用來描述未建模的誤差項(xiàng).應(yīng)當(dāng)說明，上述簡(jiǎn)化的軌道動(dòng)力學(xué)模型主要用于EKF算法中雅克比矩陣的推導(dǎo)，實(shí)際應(yīng)用過程中，應(yīng)采用高精度軌道動(dòng)力學(xué)模型實(shí)現(xiàn)地球衛(wèi)星和月球衛(wèi)星的軌道外推.

基于星間測(cè)距的導(dǎo)航系統(tǒng)測(cè)量模型如下所示:

其中，

y(tk)是tk時(shí)刻地球衛(wèi)星和月球衛(wèi)星之間的距離觀測(cè)量，η(tk)表示測(cè)量噪聲.

本文采用EKF算法處理星間測(cè)距信息，對(duì)參與導(dǎo)航的衛(wèi)星位置和速度進(jìn)行估計(jì);EKF算法根據(jù)狀態(tài)變量(1)、狀態(tài)方程(4)和觀測(cè)方程(7)進(jìn)行設(shè)計(jì).EKF方程可參閱文獻(xiàn)［7］.

文獻(xiàn)［5］研究了基于星間測(cè)距的自主絕對(duì)導(dǎo)航方法，要求參與導(dǎo)航的衛(wèi)星中至少1顆位于地月系拉格朗日L2點(diǎn)，需要通過位置保持控制維持衛(wèi)星在L2點(diǎn)附近的暈軌道運(yùn)行.與文獻(xiàn)［5］不同，本文所選取的參與導(dǎo)航的衛(wèi)星分別為地球衛(wèi)星和月球衛(wèi)星，采取這一方案的優(yōu)勢(shì)在于不需要頻繁的對(duì)衛(wèi)星進(jìn)行位置保持控制.

2 “星間測(cè)距+紫外導(dǎo)航敏感器”組合導(dǎo)航

考慮到星間測(cè)距信息不直接反映地球衛(wèi)星和月球衛(wèi)星的絕對(duì)位置，對(duì)狀態(tài)變量的修正作用較弱，較大的初始位置誤差導(dǎo)致濾波收斂速度較慢.另外，自主導(dǎo)航系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程都是非線性的，較大的初始位置誤差會(huì)造成較大的線性化誤差，該誤差如果得不到及時(shí)修正，會(huì)隨著濾波迭代過程不斷積累，從而持續(xù)影響估計(jì)精度.因此，基于星間測(cè)距的自主導(dǎo)航系統(tǒng)易受初始位置誤差影響.上述分析與數(shù)學(xué)仿真結(jié)果是一致的.

為了克服初始位置誤差的影響，本文提出，融合星間測(cè)距信息和紫外導(dǎo)航敏感器的測(cè)量信息，建立“星間測(cè)距+紫外導(dǎo)航敏感器”組合導(dǎo)航系統(tǒng).地球圓盤無論在白天或夜間均存在適應(yīng)于探測(cè)的紫外臨邊輻射的特征，且輻射信號(hào)穩(wěn)定，隨經(jīng)緯度和季節(jié)變化很小，隨觀測(cè)方位角變化也很小.這一特征為紫外導(dǎo)航敏感器地心方向測(cè)量提供了良好的信號(hào)基礎(chǔ).正在研制的紫外導(dǎo)航敏感器采用光機(jī)電一體化結(jié)構(gòu)，能同時(shí)對(duì)地球和恒星成像，集成了地球敏感器和星敏感器的功能［8］.采用紫外導(dǎo)航敏感器可以直接從成像信息中提取導(dǎo)航所需的星光角距觀測(cè)量，避免導(dǎo)航精度受姿態(tài)誤差或敏感器安裝誤差影響.

通過地球衛(wèi)星上的紫外導(dǎo)航敏感器獲得的星光角距觀測(cè)量是地心方向矢量和恒星方向矢量的夾角，如圖2所示.

圖2 星光角距觀測(cè)量Fig.2 Star-Earth angle measurement

圖2中，us1是恒星方向矢量是地心方向矢量.紫外導(dǎo)航的主要問題是定位精度受地心方向測(cè)量精度的限制，并且，以目前的技術(shù)水平，地心方向測(cè)量精度很難得到大幅度提升.

將星光角距測(cè)量信息引入自主導(dǎo)航系統(tǒng)，能夠增強(qiáng)測(cè)量信息的修正作用，相當(dāng)于為星間測(cè)距導(dǎo)航提供了中等精度的先驗(yàn)位置信息;在此基礎(chǔ)上，基于高精度的星間測(cè)距信息，可以實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星高精度自主導(dǎo)航.所建立的組合導(dǎo)航系統(tǒng)觀測(cè)方程可寫為如下形式:

式中，

y1(tk)表示組合導(dǎo)航系統(tǒng)的觀測(cè)量，v1(tk)表示測(cè)量噪聲，αsj(tk)是星光角距，usj(tk)(j=1，2，…，N)是恒星方向矢量，下標(biāo)j用于區(qū)分不同的恒星.

3 導(dǎo)航系統(tǒng)性能分析

本節(jié)利用CRLB分析導(dǎo)航系統(tǒng)的性能.CRLB是根據(jù)給定的系統(tǒng)模型、先驗(yàn)信息以及噪聲統(tǒng)計(jì)特性計(jì)算得到的狀態(tài)估計(jì)誤差均方差的最小值，CRLB的取值直接反映了一個(gè)導(dǎo)航系統(tǒng)的本質(zhì)特性，可以作為衡量系統(tǒng)可觀度大小的指標(biāo).如果用于計(jì)算CRLB的模型與實(shí)際系統(tǒng)相符，那么任何一種濾波算法都不能超越CRLB所規(guī)定的估計(jì)精度.相對(duì)于一般的可觀性分析方法，CRLB的優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:首先，借助CRLB不僅能夠?qū)€性系統(tǒng)的可觀性進(jìn)行分析，還能對(duì)非線性系統(tǒng)的可觀性進(jìn)行分析;其次，利用CRLB不僅能夠判斷系統(tǒng)是否可觀，在系統(tǒng)不可觀的情況下，還能辨別出哪些狀態(tài)變量是不可觀的;再次，CRLB不僅能夠?qū)捎^性進(jìn)行定性分析，還能進(jìn)行定量分析，即針對(duì)每個(gè)狀態(tài)變量，給出狀態(tài)估計(jì)所能達(dá)到的最高精度.關(guān)于CRLB的具體計(jì)算方法可參閱文獻(xiàn)［9］.

考慮兩顆衛(wèi)星參與導(dǎo)航的情況，其中1顆在半長(zhǎng)軸為12 275 km，軌道傾角為109.8°的圓軌道上環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)，另外1顆在半長(zhǎng)軸為1 995 km，軌道傾角為90°的圓軌道上環(huán)繞月球運(yùn)動(dòng).采用高精度軌道仿真軟件模擬產(chǎn)生真實(shí)軌道數(shù)據(jù)，用于計(jì)算CRLB，并在下一節(jié)用于模擬產(chǎn)生觀測(cè)數(shù)據(jù)和評(píng)估濾波精度.

首先，對(duì)比基于地-月衛(wèi)星星間測(cè)距的自主導(dǎo)航系統(tǒng)和基于“星間測(cè)距+紫外導(dǎo)航敏感器”的組合導(dǎo)航系統(tǒng)的性能.假定星間距離測(cè)量精度為10 m，星光角距測(cè)量精度為0.02°，仿真時(shí)間為地球衛(wèi)星的5個(gè)軌道周期，觀測(cè)數(shù)據(jù)每1秒更新1次.初始位置誤差在1～20 km之間變化時(shí)，對(duì)應(yīng)星間測(cè)距導(dǎo)航系統(tǒng)和組合導(dǎo)航系統(tǒng)定位誤差的CRLB如圖3所示.

圖3 對(duì)應(yīng)不同初始誤差的定位誤差方差下界Fig.3 Lower bounds of the position error with different initial errors

顯然，星間測(cè)距導(dǎo)航系統(tǒng)的性能受到初始位置誤差的顯著影響，而組合導(dǎo)航系統(tǒng)受初始位置誤差的影響不大.如果再考慮初始誤差對(duì)線性化誤差的放大作用，初始誤差對(duì)星間測(cè)距導(dǎo)航性能的影響更嚴(yán)重.

下面對(duì)比基于紫外導(dǎo)航敏感器的自主導(dǎo)航系統(tǒng)和基于“星間測(cè)距+紫外導(dǎo)航敏感器”的組合導(dǎo)航系統(tǒng)的性能.假定初始位置誤差為1 km，星光角距測(cè)量精度在 0.01°～0.1°之間變化時(shí)，對(duì)應(yīng)紫外導(dǎo)航系統(tǒng)和組合導(dǎo)航系統(tǒng)定位誤差的CRLB如圖4所示.不難看出，紫外導(dǎo)航精度取決于星光角距測(cè)量精度，而組合導(dǎo)航的穩(wěn)態(tài)精度主要取決于星間測(cè)距導(dǎo)航的精度.將地-月衛(wèi)星星間測(cè)距與地球衛(wèi)星上的紫外導(dǎo)航敏感器相結(jié)合，所得到的組合導(dǎo)航系統(tǒng)定位精度較高，且受初始誤差影響較小.

圖4 對(duì)應(yīng)不同測(cè)量精度的定位誤差方差下界Fig.4 Lower bounds of the position error with different measurement accuracy

4 仿真結(jié)果

仿真過程中，采用EKF算法處理根據(jù)軌道數(shù)據(jù)模擬產(chǎn)生的測(cè)量數(shù)據(jù)，同時(shí)估計(jì)地球衛(wèi)星和月球衛(wèi)星的位置速度.假定星間距離測(cè)量精度為10 m，星光角距測(cè)量精度為0.02°.EKF算法的系統(tǒng)噪聲方差陣和測(cè)量噪聲方差陣分別根據(jù)動(dòng)力學(xué)建模誤差和測(cè)量噪聲的幅度選取，初始誤差方差陣取為仿真中設(shè)置的實(shí)際初始誤差方差的2倍.假定初始位置誤差為10 km，星間測(cè)距導(dǎo)航系統(tǒng)和組合導(dǎo)航系統(tǒng)的位置估計(jì)誤差曲線如圖5所示.

圖5 導(dǎo)航系統(tǒng)位置估計(jì)誤差曲線Fig.5 Position estimation error curves of navigation systems

圖5中實(shí)線表示位置估計(jì)誤差曲線，虛線表示100 m的期望定位精度.從圖中可以看出，本文所提組合導(dǎo)航方法對(duì)初始位置誤差不敏感，能夠大幅度提高導(dǎo)航精度.應(yīng)當(dāng)說明，初始位置誤差較小的情況下(1 km)，僅采用地-月衛(wèi)星星間測(cè)距信息也能達(dá)到類似的導(dǎo)航精度，這說明星間測(cè)距導(dǎo)航性能易受初始位置誤差影響的判斷是正確的.在相同的條件下，經(jīng)過蒙特卡羅仿真，星間測(cè)距導(dǎo)航、紫外導(dǎo)航和組合導(dǎo)航定位誤差均方根的統(tǒng)計(jì)值分別為290 m、136 m和64 m.應(yīng)當(dāng)說明，月球和地球衛(wèi)星之間的相對(duì)距離測(cè)量會(huì)存在地球和月球遮擋導(dǎo)致信號(hào)中斷的問題，并且，遠(yuǎn)距離測(cè)距會(huì)導(dǎo)致信號(hào)延遲，天體遮擋和信號(hào)延遲對(duì)濾波器收斂時(shí)間和精度的影響還需要進(jìn)一步仿真分析.

5 結(jié)論

本文研究基于地球衛(wèi)星和月球衛(wèi)星的星間測(cè)距信息同時(shí)確定地球衛(wèi)星和月球衛(wèi)星絕對(duì)位置的自主導(dǎo)航方法.該方法存在導(dǎo)航性能易受初始位置誤差影響的問題，在衛(wèi)星初始位置誤差較大的情況下，濾波收斂速度較慢，在衛(wèi)星的幾個(gè)軌道周期內(nèi)難以得到理想的導(dǎo)航精度.針對(duì)這一問題，本文將光學(xué)導(dǎo)航信息引入衛(wèi)星自主導(dǎo)航系統(tǒng)，提出“星間測(cè)距+紫外導(dǎo)航敏感器”的組合導(dǎo)航方法，紫外導(dǎo)航敏感器的主要作用是提供中等精度的初始位置信息;該方法的優(yōu)勢(shì)在于能夠顯著改善導(dǎo)航濾波器的收斂性，在衛(wèi)星初始位置誤差和星光角距測(cè)量誤差較大的情況下實(shí)現(xiàn)快速導(dǎo)航，取得優(yōu)于100 m的定位精度.

［1］CHRISTIAN J A，LIGHTSEY E G.Review of options for autonomous cislunar navigation ［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，2009，46(5):1023-1036.

［2］FANG J，NING X.Installation direction analysis of star sensors by hybrid condition number［J］.IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement，2009，58:3576-3582.

［3］PSIAKI M L.Absolute orbit and gravity determination using relative position measurements between two satellites［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2011，34(5):1285-1297.

［4］蘇曉丹.一種通過觀測(cè)兩顆恒星確定飛行器姿態(tài)的算法［J］.導(dǎo)航與控制，2009，8(2):22-25.SU X D.An algorithm to determine aircraft attitude through observation of two stars［J］.Navigation and Control，2009，8(2):22-25.

［5］HILL K，BORN G H.Autonomous interplanetary orbit determination using satellite-to-satellite tracking ［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics，2007，30(3):679-686.

［6］HILL K，BORN G H.Autonomous orbit determination from lunar halo orbits using crosslink range［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，2008，45(3):548-553.

［7］秦永元，張洪鉞，汪叔華.卡爾曼濾波與組合導(dǎo)航原理［M］.西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社，1998:185-187.

［8］尉志軍，劉曉軍.三軸紫外光學(xué)成像敏感器［J］.光電工程，2008，35(11):86-90.WEI Z J，LIU X J.Three-axis ultraviolet optical sensor［J］.Opto-Electronic Engineering，2008，35(11):86-90.

［9］ZHANG X，WILLETT P，BAR-SHALOM Y.Dynamic Cramer-Rao bound for target tracking in clutter［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2005，41(4):1154-1167.