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      高職數(shù)學(xué)中極限的求法總結(jié)

      2014-04-29 00:00:00王志英
      中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊 2014年13期

      摘 要:極限理論是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),極限方法是深入研究函數(shù)和解決各種實際問題的基本思想方法。本文就函數(shù)極限的求法做簡單的歸納總結(jié)。

      關(guān)鍵詞:極限 無窮小 洛必達(dá)法則 重要極限 左右極限

      中圖分類號:G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1673-9795(2014)05(a)-0177-02

      在《高等數(shù)學(xué)》這門課程中,極限是一條主線,它是貫穿始終的一個重要概念,在這里將極限的各種求法總結(jié)歸納如下。

      1 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

      (1)定義:設(shè)函數(shù)在點的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義,如果則稱函數(shù)在點連續(xù)。

      (2)定理:一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

      例1:求

      解:由于在連續(xù),所以。

      總結(jié):這種求極限的方法又稱“代入法”,只要函數(shù)在這一點連續(xù),就可以使用這種方法。

      2 利用無窮小量的性質(zhì)求極限

      (1)無窮小量具有如下性質(zhì):無窮小量與有界函數(shù)的乘積仍為無窮小量。

      例2:求

      解:因為∞時,為無窮小量,為有界函數(shù),故∞時,為無窮小量,所以

      =0

      總結(jié):、為常見的有界函數(shù)。

      (2)無窮小量與無窮大量具有如下關(guān)系:

      在自變量的同一變化過程中,如果為無窮大,則為無窮??;如果為無窮小,且則為無窮大。

      例3:求

      解:由于所以:。

      3 利用等價無窮小代換求極限

      (1)定理:設(shè),

      ①若,則。

      ②若,則。

      常用的等價無窮?。寒?dāng)時,,,,,,,,。

      例4:求

      解:當(dāng)時,,,所以:

      ==0。

      總結(jié):使用等價無窮小代換可以大大減少計算量,使求極限變得簡單。另外,在使用等價無窮小代換求極限的過程中要注意,等價無窮小代換只能在求極限的乘除運算中使用,而在加減運算中不能使用。

      4 利用洛必達(dá)法則求極限

      (1)洛必達(dá)法則(一):若函數(shù)分別滿足下列條件:

      ①;

      ②在點的左右近旁可導(dǎo),且:;

      ③存在(或為),則:。

      例5:求

      解:這是一個型的未定式,我們利用洛必達(dá)法則來計算。由于,所以:

      ==1。

      (2)洛必達(dá)法則(二):若函數(shù)分別滿足下列條件:

      ①;

      ②在點的左右近旁可導(dǎo),且;

      ③存在(或為),則:。

      例6:求

      解:

      總結(jié):洛必達(dá)法則式求型和型極限非常重要的方法,需要注意的是只有在存在時才能使用洛必達(dá)法則,否則法則失效。

      5 利用二個重要極限求極限

      (1)第一個重要極限:。

      例6:求

      解:

      (2)第二個重要極限:。

      例7:求

      解:=

      。

      6 利用左右極限求極限

      定理:函數(shù)在點處極限存在的充要條件是在點處的左極限和右極限存在且相等,即:

      。

      例8:求函數(shù)在處的極限。

      解:由于,,所以: .

      總結(jié):對于分段函數(shù)在分點處極限是否存在,由于分點兩側(cè)解析式不同,因此只能使用左右極限進行判斷。

      參考文獻(xiàn)

      [1]趙佳音.高等數(shù)學(xué)[M].北京大學(xué)出版社,2004:10-36.

      [2]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社,2007:133-136.

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