基于分數(shù)階傅里葉變換的數(shù)字水印算法

摘 要：數(shù)字水印是近年來發(fā)展起來的數(shù)字媒體版權(quán)保護的一種新的技術(shù)，并受到了國際學(xué)術(shù)界的高度關(guān)注。本文利用分數(shù)階傅立葉域的圖像基本特征，提出了一種將二值圖像水印嵌入FRFT系數(shù)幅度函數(shù)中的水印算法。仿真結(jié)果表明，該水印算法對濾波、噪聲、壓縮等常規(guī)圖像處理及常見的圖像攻擊具有較強的魯棒性。

關(guān)鍵詞：分數(shù)階；傅里葉變換；數(shù)字水印

中圖分類號：TP309.7

面對互聯(lián)網(wǎng)時代，數(shù)字產(chǎn)品的版權(quán)保護問題以及數(shù)字信息的安全傳輸問題已經(jīng)迫在眉睫，數(shù)字水印技術(shù)作為一種嶄新的信息技術(shù)，是解決這類問題的一種最有效和最具有潛力的技術(shù)，它對于規(guī)范數(shù)字化市場、促進信息產(chǎn)業(yè)的健康持續(xù)發(fā)展具有極為重要的意義[1-2]。變換域算法是目前數(shù)字水印技術(shù)的主要研究領(lǐng)域[3]。分數(shù)階傅立葉變換是一種新的時頻變換工具，對于分析某些非平穩(wěn)信號具有十分優(yōu)良的特性，越來越受到信號處理界的重視。

1 水印實現(xiàn)算法

水印的實現(xiàn)算法包括水印加密、水印嵌入和水印提取、解密等過程。由于水印加密和解密過程相對比較成熟，以下僅對嵌入和提取的過程，闡述基于分數(shù)階傅里葉變換的算法[4]。

1.1 水印的嵌入

水印嵌入的具體算法如下：

（1）將置亂加密后的水印圖像按行掃描，變成一維序列W；

（2）首先對原始圖像I（x，y）進行階數(shù)為（P1，P2）的二維離散分數(shù)階Fourier變換，F(xiàn)（k，h）=FP1，P2（I（x，y）），得到圖像的分數(shù)階Fourier矩陣F（k，h）。將F（k，h）分解為幅度部分A（k，h）的和相位部分P（k，h）的乘積，即

A（k，h）=|F（k，h）|，P（k，h）=F（k，h）/A（k，h） （1）

（3）產(chǎn)生隨機數(shù)序列。利用下面的公式生成兩個一維服從均勻分布且相關(guān)性很小的隨機序列k1、k2。

xk+1=μxk（1-xk） （2）

其中，0<μ<4，0

（4）將F（k，h）的幅度矩陣A（k，h）按行掃描，轉(zhuǎn)換成一維向量F_abs，保存后將其進行降序排列成遞減數(shù)列S，并將S中的每個數(shù)在F_abs中的對應(yīng)位置保存到一維向量index中。

（5）將水印加入到S的L后的N（N=L*9，L為水印一維序列的長度）個系數(shù)中，這里的9也可以是其他正整數(shù)，表示隨機序列的長度。設(shè)i是1到L的整數(shù)，j為1到9的整數(shù)，對每一個W（i）按以下方式進行處理：

若W（i）=0，則修改：S（L+（i-1）*9+j）=S（L+（i-1）*9+j）*（1+alfa*k1（j））；

若W（i）=1，則修改：S（L+（i-1）*9+j）=S（L+（i-1）*9+j）*（1+alfa*k2（j））；

其中，alfa為嵌入強度。

（6）根據(jù)index將排序嵌入水印后的序列S變換為原來的幅度矩陣向量F_abs’，并轉(zhuǎn)化為二維的幅度矩陣A′（k.h）。

（7）將嵌入水印的幅度部分和相位部分重新組合為分數(shù)階Fourier域的系數(shù)矩陣F′（k.h）=A′（k.h）×P（k，h）。最后將疊加了水印信息的圖像分數(shù)階Fourier域矩陣F′（k.h）經(jīng)過階數(shù)為（-P1，-P2）的分數(shù)階Fourier變換得到水印圖像I′。

1.2 水印的提取

水印的檢測是水印嵌入的逆過程，可提取出嵌入到載體圖像里的數(shù)字水印。

2 實驗的結(jié)果及其分析

本文使用的原始圖像是384×384的灰度圖像“l(fā)ena.bmp”，如圖1（a）所示。水印圖像是64×64的灰度圖像“gj.bmp”如圖1（c）所示。將原始圖像進過分數(shù)階傅里葉變換，然后按照以上算法將水印圖像嵌入原始圖像中，選擇的變換階數(shù)為（P1，P2）=0.7。嵌入水印后的圖像如圖1（b）所示，提取并解密后的水印如圖1（d）所示。

（a）原始圖像 （b）嵌入水印后的圖像

（c）原始的水印 （d）提取的水印圖像

圖1 嵌入水印前的原始圖像和原始水印圖像

數(shù)字水印系統(tǒng)最重要的特征就是魯棒性，為了檢驗魯棒性，需要對含有水印的圖像進行各種攻擊。對含有水印的載體圖像分別做如下攻擊處理：高斯低通濾波、圖像變亮、圖像變暗、增加圖像對比度、添加高斯噪聲、添加椒鹽噪聲、添加乘積性噪聲。

通過各種攻擊之后，采用本算法可提取出嵌入的水印信息。水印的透明性可以用PSNR值表示，反映出嵌入水印后圖像質(zhì)量的改變程度。其結(jié)果如表1所示。

水印的魯棒性可用提取出的水印與原始的水印的相似程度即歸一化相關(guān)系數(shù)NC值表示。對于水印來說，NC值越接近于1，說明水印的魯棒性越好。如表1所示。

從表中看出，通過對嵌入水印的載體圖像進行各種攻擊后，對比未被攻擊時的圖像，PSNR值和NC值都比較接近。說明提取的水印與原始的水印的相似程度很高，也說明該算法的抗攻擊能力比較好。

3 結(jié)束語

利用圖像在分數(shù)階傅里葉（FRFT）域系數(shù)的幅度和相位特征，提出了一種在FRFT域嵌入二值圖像的水印算法。在階數(shù)P接近于1時，F(xiàn)RFT系數(shù)的幅度對應(yīng)圖像的背景信息，水印的嵌入方案采用乘性算法，修改FRFT系數(shù)的幅度函數(shù)。通過仿真驗證了算法的魯棒性。仿真結(jié)果表明該算法對JPEG壓縮、椒鹽噪聲、濾波等攻擊具有較好的魯棒性。

參考文獻：

[1]劉永生.基于變換域數(shù)字水印算法研究[D].南京信息工程大學(xué)，2007.

[2]林雪輝，蔡利棟.基于Hilbert曲線的數(shù)字圖像置亂方法研究[J].中國體視學(xué)與圖像分析，2004（04）：224-227.

[3]王娟鋒，穆曉敏，楊守義.一種基于分數(shù)階Fourier域的數(shù)字水印[J].計算機工程與應(yīng)用，2007（08）：43-45.

[4]王娟鋒.基于分數(shù)階Fourer域圖像特征的數(shù)字水印算法研究[D].鄭州大學(xué)，2007.

作者簡介：唐朝霞（1974.09-），女，重慶人，本科，助理工程師，主要從事多媒體信息技術(shù)及智能系統(tǒng)研究。

作者單位：重慶交通大學(xué) 信息技術(shù)中心，重慶 400074

基金項目：重慶交通大學(xué)研究生優(yōu)質(zhì)課程項目。