基于計算機模擬與高斯過程回歸的優(yōu)化設(shè)計方法

摘 要：為充分利用計算機試驗數(shù)據(jù)，本文提出了一種基于計算機模擬的優(yōu)化設(shè)計方法。該方法由正交試驗設(shè)計、高斯過程回歸及序列二次規(guī)劃組成。其中，應(yīng)用有限元軟件進行正交試驗，通過高斯過程回歸建立輸入響應(yīng)關(guān)系，采用SQP算法求解優(yōu)化模型。經(jīng)實例驗證，計算結(jié)果合理，優(yōu)化方法有效，從而能夠減少計算機模擬的次數(shù)，提高設(shè)計效率。

關(guān)鍵詞：計算機模擬；高斯過程回歸；優(yōu)化設(shè)計

中圖分類號：TH122

在產(chǎn)品研制與工程應(yīng)用中，計算機模擬（Computer Simulation）越來越重要。例如，設(shè)計人員借助有限元分析（FEA）軟件，可以精確調(diào)控各種參數(shù)，探究復(fù)雜機械系統(tǒng)的輸入響應(yīng)和預(yù)測產(chǎn)品性能。這種在計算機上進行的“數(shù)值試驗”或“虛擬試驗”與模型試驗相比，具有成本低與周期短等特點。然而，因為難以從數(shù)值結(jié)果中獲得非常明確的優(yōu)化信息，所以將計算機模擬技術(shù)直接用于改善產(chǎn)品性能，對于缺乏經(jīng)驗的工程師來講存在較大的困難。因此，有必要將優(yōu)化方法與計算機模擬技術(shù)相結(jié)合，由數(shù)學尋優(yōu)過程代替設(shè)計人員的經(jīng)驗，自動控制設(shè)計改進方向，實現(xiàn)復(fù)雜機械系統(tǒng)和產(chǎn)品的最優(yōu)化設(shè)計。

鑒于二者在結(jié)合上的不足，本文建立了一種基于計算機模擬的優(yōu)化方法。該方法由正交試驗設(shè)計、高斯過程回歸、序列二次規(guī)劃組成。文中給出了設(shè)計優(yōu)化流程，并通過算例表明了該方法的有效性。

1 正交試驗設(shè)計

正交試驗設(shè)計法是統(tǒng)計數(shù)學的重要分支。它是以概率論及數(shù)理統(tǒng)計、專業(yè)知識和實踐經(jīng)驗為基礎(chǔ)，充分利用標準化的正交表來安排試驗方案，并對試驗結(jié)果進行計算分析，最終達到減少試驗次數(shù)，縮短試驗周期，快速找到優(yōu)化方案的一種設(shè)計方法。

正交試驗設(shè)計在試驗因素的全部水平組合中，挑選部分有代表性的水平組合進行試驗，通過對這部分試驗結(jié)果的分析來了解全面試驗的情況。

2 高斯過程回歸

高斯過程（Gaussian Process）是一種自然界中普遍存在且重要的隨機過程，也叫正態(tài)隨機過程，在機器學習等領(lǐng)域中應(yīng)用比較廣泛。

GP是任意有限維隨機變量均具有聯(lián)合高斯分布的集合，將高斯過程應(yīng)用于回歸問題，稱為高斯過程回歸（GPR）。高斯過程回歸是近年來發(fā)展起來的一種機器學習回歸方法，對處理高維度、小樣本、非線性等復(fù)雜問題具有很好的適應(yīng)性[1]。

式中，Nd代表問題的維度（變量的個數(shù)），θk為訓練點xi與xj的維度之間的相關(guān)參數(shù)。

則，測試點x的高斯過程預(yù)測值的均值為

3 序列二次規(guī)劃

非線性約束優(yōu)化問題是實際工程中最常見的優(yōu)化問題，人們通過對它的研究，提出了解決此類問題的許多方法，如罰函數(shù)法，可行方向法，及序列二次規(guī)劃方法（Sequential Quadratic Programming）等。其中，SQP算法是20世紀80年代發(fā)展起來的一種優(yōu)化方法，其通過求解一系列二次規(guī)劃（Quadratic Programming）子問題來實現(xiàn)非線性約束問題的優(yōu)化，具有快速收斂的特點[4]。

4 設(shè)計優(yōu)化流程

建立在計算機模擬與高斯過程回歸基礎(chǔ)上的設(shè)計優(yōu)化流程如圖1所示。首先通過基于計算機模擬的正交試驗獲得訓練集，進而采用高斯過程回歸建立代理模型替代仿真模型，這樣在優(yōu)化循環(huán)中就得以避免反復(fù)的計算機模擬試驗，從而顯著提高設(shè)計優(yōu)化效率。

5 算例分析

選擇板厚h=10mm，截面如圖2所示的懸臂托架作為算例研究研究對象。

方式將懸臂懸梁托架進行支撐和施加載荷，其中，均布載荷為5MPa。根據(jù)功能要求，托架選定合金鋼材料（alloy steel（SS）），彈性模量為E=2.1e+11Pa，泊松比ν=0.28，質(zhì)量密度ρ=7700kg/m^3，屈服力Y=6.2e+08N/m^2，而且外形尺寸不能變化。中心開孔大小由d1、d2和d3控制，這些尺寸可以在一定的范圍內(nèi)變化。要求最大von Mises應(yīng)力不超過[σ]=300MPa，最大變形不超過[δ]=0.21mm，在滿足上述條件的情況下，確定d1、d2和d3，最小化懸臂托架的體積，即用材最少。其數(shù)學模型為：

如上所述，本算例中影響目標函數(shù)的因素有d1，d2與d3，對每個因素指定三個水平。對于3因素3水平試驗，若不考慮交互作用，可參考L9（34）正交表，僅包含9個水平組合，就能反映試驗方案包含27個水平組合的全面試驗的情況。

通過上述正交試驗，獲得輸入值、響應(yīng)值均為9×3矩陣的訓練集。然后采用MATLAB軟件，分別編制高斯回歸函數(shù)以及優(yōu)化程序。具體實現(xiàn)過程如下：

（1）編制高斯回歸函數(shù)?；诒?中的試驗數(shù)據(jù)，按照前述的高斯回歸方法，求解θ和β，建立對應(yīng)的高斯回歸模型。

（2）編制優(yōu)化程序，由主函數(shù)、目標函數(shù)及約束函數(shù)組成。主函數(shù)調(diào)用MATLAB非線性約束優(yōu)化函數(shù)fmincon（obj，x0，A，b，Aeq，beg，1b，ub，con，options）其中通過設(shè)置options選取SQP算法。

（3）編制目標函數(shù)（obj），調(diào)用步驟1獲得的高斯回歸模型預(yù)測（計算）設(shè)計變量對應(yīng)的體積，作為目標函數(shù)的返回值。

（4）編制約束函數(shù)（con），調(diào)用步驟1獲得的高斯回歸模型預(yù)測（計算）設(shè)計變量對應(yīng)的最大應(yīng)力與最大變形，作為約束函數(shù)的返回值。

（5）求解。優(yōu)化結(jié)果為[d1，d2，d3]=[19.3747，10.0，33.3501]，對應(yīng)的目標函數(shù)為76176mm3。

將優(yōu)化點輸入到仿真系統(tǒng)SolidWorks/Simulation中進行試驗驗證。經(jīng)CAD三維測量，優(yōu)化點對應(yīng)的懸臂托架的體積為75914mm3，與數(shù)值優(yōu)化的結(jié)果相差為0.34%。經(jīng)有限元分析，得到懸臂托架的應(yīng)力分布圖最大應(yīng)力為284.2MPa，最大變形為0.2112mm。最大應(yīng)力接近應(yīng)力約束，最大變形超限0.0012mm?？紤]到小樣本、回歸預(yù)測誤差、數(shù)值方法的計算誤差等因素，計算結(jié)果說明本文方法是有效合理的。

6 結(jié)束語

本文建立了一種基于計算機模擬的優(yōu)化方法，通過正交試驗提供基于有限元分析（FEA）的樣本數(shù)據(jù)，采用高斯過程回歸建立設(shè)計變量（輸入）與目標函數(shù)、約束函數(shù)（輸出）之間的響應(yīng)關(guān)系，SQP求解優(yōu)化模型。

經(jīng)FEA模擬驗證，數(shù)值優(yōu)化結(jié)果合理。表明高斯過程回歸在小樣本的情況下，仍然具有很好的數(shù)據(jù)建模能力，能夠減少計算機模擬試驗的次數(shù)。因而，在基于計算機模擬的優(yōu)化設(shè)計過程中得以避免反復(fù)的計算機試驗，達到了提高設(shè)計效率的目的。

參考文獻：

[1]何志昆，劉光斌，趙曦晶.高斯過程回歸方法綜述[J].控制與決策，2013（08）：1121-1129.

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[3]Sacks J.，Schiller S.B.，Welch W.Design for Computer Experiments [J].Techno-metrics，1989.

[4]謝亞君，馬昌鳳.約束Minimax問題的SQP-Filter算法及其收斂性[J].西華大學學報，2011（06）：66-69.

[5]張俊，胡其登.一體化的CAD/CAE系統(tǒng)發(fā)展趨勢[J].CAD/CAM與制造業(yè)信息化，2009（Z1）：34-37.

作者簡介：陳宗帥（1988.02-），男，山東臨沂人，在讀碩士，研究方向：現(xiàn)代設(shè)計方法。

作者單位：西華大學 機械工程與自動化學院，成都 610039